湖北省高考數(shù)理科試題及解析(全部題目)

2014年湖北省高考數(shù)學(xué)理科試題及解析1.為虛數(shù)單位，A.－1B.1C.－D.【解題提示】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算【解析】選A.2.若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)是84，則實(shí)數(shù)＝A.2B.C.1D.【解題提示】考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式【解析】選C.因?yàn)?，令，得，所以，解得a＝1.3.設(shè)為全集，是集合，則“存在集合使得”是“”的A.充分而不必要的條件B.必要而不充分的條件C.充要條件D.既不充分也不必要的條件【解題提示】考查集合與集合的關(guān)系，充分條件與必要條件的判斷【解析】選C.依題意，若，則，當(dāng)，可得；若，不妨另，顯然滿(mǎn)足，故滿(mǎn)足條件的集合是存在的.4.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回歸方程為，則A.B.C.D.【解題提示】考查根據(jù)已知樣本數(shù)判繪制散點(diǎn)圖，由散點(diǎn)圖判斷線(xiàn)性回歸方程中的與的符號(hào)問(wèn)題【解析】選B.畫(huà)出散點(diǎn)圖如圖所示，y的值大致隨x的增加而減小，因而兩個(gè)變量呈負(fù)相關(guān)，所以，5..在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），給出編號(hào)①、②、③、④的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②【解題提示】考查由已知條件，在空間坐標(biāo)系中作出幾何體的大致形狀，進(jìn)一步得到正視圖與俯視圖【解析】選D.在坐標(biāo)系中標(biāo)出已知的四個(gè)點(diǎn)，根據(jù)三視圖的畫(huà)圖規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為=4\*GB3④與俯視圖為=2\*GB3②，故選D.6.若函數(shù)EQf(x)，滿(mǎn)足，則稱(chēng)EQf(x)，為區(qū)間[-1,1]上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)：①；②；③其中為區(qū)間的正交函數(shù)的組數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3【解題提示】考查微積分基本定理的運(yùn)用【解析】選C.對(duì)=1\*GB3①，，則、為區(qū)間上的正交函數(shù)；等的四段弧”用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出來(lái)。13.設(shè)是一個(gè)各位數(shù)字都不是0且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).將組成的3個(gè)數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為，按從大到小排成的三位數(shù)記為（例如，則，）.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，任意輸入一個(gè)，輸出的結(jié)果________.【解析】當(dāng)，則；當(dāng)，則；當(dāng)，則；當(dāng)，則，終止循環(huán)，故輸出答案：495【誤區(qū)警示】解答本題時(shí)易犯的錯(cuò)誤是循環(huán)計(jì)算時(shí)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤14.設(shè)是定義在上的函數(shù)，且，對(duì)任意，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，則稱(chēng)為關(guān)于函數(shù)的平均數(shù)，記為，例如，當(dāng)時(shí)，可得，即為的算術(shù)平均數(shù).當(dāng)時(shí)，為的幾何平均數(shù)；當(dāng)時(shí)，為的調(diào)和平均數(shù)；（以上兩空各只需寫(xiě)出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可）【解析】：（1）設(shè)，（x＞0），則經(jīng)過(guò)點(diǎn)、的直線(xiàn)方程為，令y=0，求得，

∴當(dāng)，（x＞0）時(shí)，為a，b的幾何平均數(shù)（2）設(shè)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的直線(xiàn)方程為，令，所以，所以當(dāng)時(shí)，為的調(diào)和平均數(shù)答案：（1）（2）【誤區(qū)警示】解答本題時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是不能正確理解新定義15.（選修4-1：幾何證明選講）如圖，為⊙外一點(diǎn)，過(guò)作⊙的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，過(guò)的中點(diǎn)作割線(xiàn)交⊙于兩點(diǎn)，若則.【解析】由切割線(xiàn)定理得，所以，.答案：4【誤區(qū)警示】解答本題時(shí)容易出現(xiàn)的問(wèn)題是錯(cuò)誤使用切割線(xiàn)定理。16.（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程是，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是，則與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_(kāi)______.【解析】由消去得，由得，解方程組得與的交點(diǎn)坐標(biāo)為.答案：【誤區(qū)警示】解答本題時(shí)容易出現(xiàn)的問(wèn)題是消去中的參數(shù)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。17.某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度（單位：）隨時(shí)間（單位;h）的變化近似滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系：求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差；若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11，則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？【解題指南】（Ⅰ）將化為y=Asinωx+φ+b可求得只一天的溫度最大值和最小值，進(jìn)而求得最大溫差。（Ⅱ）由題意可得，當(dāng)f（t）＞11時(shí)，需要降溫，由f（t）＞11，求得，即

，解得t的范圍，可得結(jié)論．【解析】（Ⅰ）因?yàn)橛之?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。于是在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故實(shí)驗(yàn)室這一天最高溫度為12，最低溫度為8，最大溫差為4。（Ⅱ）依題意，當(dāng)時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫由（1）得，故有即。又，因此，即。在10時(shí)至18時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫。18.已知等差數(shù)列滿(mǎn)足：＝2，且成等比數(shù)列.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說(shuō)明理由.【解題指南】（Ⅰ）由，，成等比數(shù)列可求得公差d,從而根據(jù)通項(xiàng)公式表示出數(shù)列的通項(xiàng)；（Ⅱ）根據(jù)的通項(xiàng)公式表示出的前n項(xiàng)和公式Sn,令，解此不等式?！窘馕觥浚?）設(shè)數(shù)列的公差為，依題意，成等比數(shù)列，故有化簡(jiǎn)得，解得或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，從而得數(shù)列的通項(xiàng)公式為或。（2）當(dāng)時(shí)，。顯然此時(shí)不存在正整數(shù)，使得成立。當(dāng)時(shí)，令，即，解得或（舍去），此時(shí)存在正整數(shù)，使得成立，的最小值為41。綜上，當(dāng)時(shí)，不存在滿(mǎn)足題意的；當(dāng)時(shí)，存在滿(mǎn)足題意的，其最小值為41。19.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在棱,上移動(dòng)，且.當(dāng)時(shí)，證明：直線(xiàn)平面;是否存在，使平面與面所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【解題指南】（Ⅰ）建立坐標(biāo)系，求出，可得BC1∥FP，利用線(xiàn)面平行的判定定理，可以證明直線(xiàn)BC1∥平面EFPQ；

（Ⅱ）求出平面EFPQ的一個(gè)法向量、平面MNPQ的一個(gè)法向量，利用面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角，建立方程，即可得出結(jié)論．【解析】以為原點(diǎn)，射線(xiàn)分別為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系。由已知得（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即而，且，故直線(xiàn)平面。（Ⅱ）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由可得，于是可取同理可得平面的一個(gè)法向量為若存在，使得平面與面所成的二面角為直二面角，則，即解得故存在，使平面與面所成的二面角為直二面角。20.計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過(guò)去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量(年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和.單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過(guò)120的年份有35年，超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.求未來(lái)4年中，至多1年的年入流量超過(guò)120的概率；水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系：年入流量X發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)，欲使水電站年利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？【解題指南】（Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根據(jù)二項(xiàng)分布，求出未來(lái)4年中，至少有1年的年入流量超過(guò)120的概率；

（Ⅱ）分三種情況進(jìn)行討論，分別求出一臺(tái)，兩臺(tái)，三臺(tái)的數(shù)學(xué)期望，比較即可得到．【解析】（Ⅰ）依題意，，，由二項(xiàng)分布，在未來(lái)4年中至多有一年的年入流量超過(guò)120的概率為（Ⅱ）記水電站年總利潤(rùn)為安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形由于水庫(kù)年入流量總大于40，故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)，（2）安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形依題意，當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此；當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此；由此得的分布列如下Y420010000P0.20.8所以，。（3）安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形依題意，當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此；當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此；當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此由此得的分布列如下Y3400820015000P0.20.70.1所以，。綜上，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái)。在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，記點(diǎn)M的軌跡為C.求軌跡為C的方程設(shè)斜率為k的直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，求直線(xiàn)與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)公共點(diǎn)，三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍?！窘忸}指南】（Ⅰ）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，直接由題意列等式，整理后即可得到M的軌跡C的方程；

（Ⅱ）設(shè)出直線(xiàn)l的方程為，和（Ⅰ）中的軌跡方程聯(lián)立化為關(guān)于y的一元二次方程，求出判別式，再在直線(xiàn)y-1=k（x+2）中取y=0得到，然后分判別式小于0、等于0、大于0結(jié)合x(chóng)0＜0求解使直線(xiàn)l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍．【解析】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn),依題意得，即化簡(jiǎn)整理得故點(diǎn)的軌跡的方程為。（Ⅱ）在點(diǎn)的軌跡中，記依題意，可設(shè)直線(xiàn)的方程為由方程組，可得①（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，把帶入軌跡的方程，得故此時(shí)直線(xiàn)與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)（2）當(dāng)時(shí)，方程①的判別式②設(shè)直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，則由，令，得③（?。┤簦散冖劢獾茫?。即當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與沒(méi)有公共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn)，故此時(shí)直線(xiàn)與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)。（ⅱ）若或由②③解得，或。即當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與沒(méi)有公共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與只有兩個(gè)公共點(diǎn)，與沒(méi)有公共點(diǎn)故當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與軌跡恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)。（ⅲ）若由②③解得，或即當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與有兩個(gè)公共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn)故此時(shí)直線(xiàn)與軌跡恰好有三個(gè)公共點(diǎn)。綜合（1）（2）可知，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與軌跡恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與軌跡恰好有三個(gè)公共點(diǎn)。22.為圓周率，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；求這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)；將這6個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論.【解題指南】（Ⅰ）先求函數(shù)定義域，然后在定義域內(nèi)解不等式f'（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πl(wèi)ne＜πl(wèi)n3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．再根據(jù)函數(shù)y=lnx，y=ex，y=πx在定義域上單調(diào)遞增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，從而六個(gè)數(shù)的最大數(shù)在π3與3π之中，最小數(shù)在3e與e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的結(jié)論，得f（π）＜f（3）＜f（e），即lnπ，由此進(jìn)而得到結(jié)論；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得，故只需比較e3與πe和eπ與π3的大?。桑á瘢┛傻?＜x＜e時(shí)，，令，有，從而，即得①，由①還可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得結(jié)論；【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以。?dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；