安徽省阜陽市潁上第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

潁上一中新高二開學(xué)考數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.R2.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.3.已知，則（）A. B. C. D.4.某人從一魚池中捕得120條魚，做了記號后再放回池中，經(jīng)過一段時間后，再從該魚池中捕得100，經(jīng)過發(fā)現(xiàn)有記號的魚有10條（假定該魚池中魚的數(shù)量既不減少也不增加）則池中大約有魚（）A.120 B.1000條 C.130條 D.1200條5.命題“，”為真命題的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.6.阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置.我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1.由物理學(xué)知識可知，某阻尼器的運(yùn)動過程可近似為單擺運(yùn)動，其離開平衡位置的位移和時間的函數(shù)關(guān)系為，如圖2，若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時間分別為，，，且，，則在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為（）圖1圖2A. B. C.1s D.7.若，，則（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，則（）A.2 B.0 C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.如圖，在正六邊形中，下列命題正確的是（）A. B.C. D.10.若函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的一個“等域區(qū)間”.下列函數(shù)存在“等域區(qū)間”的是（）A. B. C. D.11.如圖，在棱長為1的正方體中，、、分別是、、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.、、、四點(diǎn)共面 B.平面截正方體所得截面為等腰梯形C.三棱錐的體積為 D.異面直線與所成角的余弦值為12.把定義域?yàn)榍彝瑫r滿足以下兩個條件的函數(shù)稱為“函數(shù)”：（1）對任意的，總有；（2）若，，則有成立.下列說法正確的是（）A.若為“函數(shù)”，則B.若為“函數(shù)”，則一定是增函數(shù)C.函數(shù)在上是“函數(shù)”D.函數(shù)在上是“函數(shù)”（表示不大于的最大整數(shù)）第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.如圖，在中，，，，則的值為______.14.下列敘述中正確的是______.（填寫所有正確命題的序號）①隨機(jī)從某校高一600名男生中抽取60名學(xué)生調(diào)查身高，該調(diào)查中樣本量是60②數(shù)據(jù)2，3，3，5，9，9的中位數(shù)為3和5，眾數(shù)為3和9③數(shù)據(jù)9，10，11，11，16，20，22，23的75%分位數(shù)為21④若將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都加上2，則平均數(shù)和方差都沒有發(fā)生變化15.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，.的外接圓半徑為1，，若邊上的一點(diǎn)滿足，且，則的面積為______.16.在棱長為2的正方體中，是的中點(diǎn)，是上的動點(diǎn)，則三棱錐外接球表面積的最小值為______.四、解答題：本小題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，在平面四邊形中，，，.（1）若，求的面積；（2）若，，求.18.如圖，已知平面，平面，為等邊三角形，，為的中點(diǎn)，求證：（1）平面.（2）平面平面.（3）求直線和平面所成的角的正弦值.19.俄羅斯與烏克蘭的軍事沖突導(dǎo)致石油、天然氣價(jià)格飆升.燃油價(jià)格問題是人們關(guān)心的熱點(diǎn)問題，某網(wǎng)站為此進(jìn)行了調(diào)查.現(xiàn)從參與者中隨機(jī)選出100人作為樣本，并將這100人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示（1）求樣本中數(shù)據(jù)落在的頻率；（2）求樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)；（3）若將頻率視為概率，現(xiàn)在要從和兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求抽取的2人中至少有1人的年齡在這一組的概率.20.已知，，設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的值域.21.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對，使得關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.22.已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.（1）求的值；（2）判斷的單調(diào)性；（3）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：12345678CAADBCCC9101112ACDBCBCDAD13.；14.①③；15.；16.；1.C【分析】解不等式化簡集合，求出函數(shù)的值域化簡集合，再利用交集、補(bǔ)集的定義求解作答.【詳解】解不等式，得，即，因此，當(dāng)時，，則，因此，所以，.故選：C.2.A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡復(fù)數(shù)，從而得到的共軛復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)椋?故選：A3.A【分析】觀察題目中角的特征可知，將要求的角轉(zhuǎn)化成已知角即，，再利用誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】由題意可知，將角進(jìn)行整體代換并利用誘導(dǎo)公式得；；所以，即.故選：A.4.D【分析】設(shè)池中有魚約條，根據(jù)條件列出方程求解，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)池中有魚約條，則由題意可知，解得，故池中魚約有1200條.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡單隨機(jī)抽樣，屬于基礎(chǔ)題型.5.B【分析】對命題，進(jìn)行求解，可得，再通過充分條件和必要條件進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)槊}，是真命題，當(dāng)時，，若恒成立，則，結(jié)合選項(xiàng)，命題是真命題的一個充分不必要條件是，故選：B.6.C【分析】先根據(jù)周期求出，再解不等式，得到的范圍即得解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，又，所以，則，由可得，所以，，所以，，故，所以在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為1s.故選：C.7.C【分析】根據(jù)和的單調(diào)性可以判斷選項(xiàng)A與B，再根據(jù)的單調(diào)性可以判斷選項(xiàng)C與D，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，，令，則該函數(shù)在為增函數(shù)，∴，故A錯誤；令，則該函數(shù)在為減函數(shù)，則，則有，故B錯誤；令，則該函數(shù)為減函數(shù)，所以，則，故C正確；由C可知，，又，所以，故D錯誤；故選：C.8.C【分析】根據(jù)條件，可以證明是周期為4的周期函數(shù)，計(jì)算出和，由周期性可得，再利用函數(shù)的對稱性即可求解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，又為偶函數(shù)，所以，所以，即，所以，故是以4為周期的周期函數(shù)；由，易得，，所以，所以，，解得，；所以；故選：C.9.ACD【分析】本題考查平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合圖形依次判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A：∵，∴A正確.選項(xiàng)B：取的中點(diǎn)為，如上圖所示，則，∴B錯誤.選項(xiàng)C：在正六邊形中，，，所以中，，則；同理，，∵，∴C正確.選項(xiàng)D：設(shè)六邊形邊長為1，則，，原式化簡為：，∴D正確.故選：ACD.10.BC【分析】根據(jù)“等域區(qū)間”的定義，由與直線至少有2個交點(diǎn)逐項(xiàng)判斷.【詳解】對于A，且對稱軸為，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；對于D，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；對于BC，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；由題意可知，當(dāng)與直線至少有2個交點(diǎn)時，符合題意，因?yàn)楹瘮?shù)只有1個零點(diǎn)，所以與直線只有1個交點(diǎn)，A錯誤.在同一坐標(biāo)系中作出與直線的圖象，由圖象可知，與直線有2個交點(diǎn)，B正確.在同一坐標(biāo)系中作出與直線的圖象由圖象可知，單調(diào)遞增且與直線有2個交點(diǎn)，C正確.在單位圓中，由三角函數(shù)的定義可得當(dāng)且僅當(dāng)時，，當(dāng)在同一坐標(biāo)系中作出與直線的圖象由圖象可知：與直線只有1個交點(diǎn)，D錯誤.故選：BC.11.BCD【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷ABD選項(xiàng)，利用錐體的體積公式可判定C選項(xiàng)，綜合可得出合適的選項(xiàng).【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、、、.對于A選項(xiàng)，，，.設(shè)，即，所以，，該方程組無解，所以，、、、四點(diǎn)不共面，A錯；對于B選項(xiàng)，，，所以，，則，又因?yàn)?，同理可得，即，所以，平面截正方體所得截面為等腰梯形，B對；對于C選項(xiàng)：，，C對；對于D選項(xiàng)，，，所以，，因此，異面直線與所成角的余弦值為，D對.故選：BCD.12.AD【分析】對于A，由條件（1）得.由條件（2），得，所以，故A說法正確；對于B和C，舉反例說明其說法錯誤；對于D，說明函數(shù)符合條件（1）（2），故D說法正確.【詳解】對于A，若函數(shù)為“函數(shù)”，則由條件（1）得.由條件（2）得當(dāng)時，，所以，故A說法正確；對于B，若，，則滿足條件（1）（2），但不是增函數(shù)，故B說法錯誤；對于C，當(dāng)，時，，，，，不滿足條件（2），所以不是“函數(shù)”，故C說法錯誤；對于D，在上的最小值是0，顯然符合條件（1）.設(shè)上的每一個數(shù)均由整數(shù)部分和小數(shù)部分構(gòu)成，設(shè)的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，即則.設(shè)的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，即，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，所以函數(shù)滿足條件（2），所以在上是“函數(shù)”，故D說法正確.故選：AD.13.【詳解】試題分析：考點(diǎn)：向量數(shù)量積14.①③【分析】根據(jù)樣本容量的定義即可判斷①選項(xiàng)；根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可判斷②選項(xiàng)；根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法即可判斷③選項(xiàng)；根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式即可判斷④選項(xiàng).【詳解】因?yàn)闃颖局邪膫€體數(shù)稱為樣本量，所以①正確；因?yàn)閿?shù)據(jù)2，3，3，5，9，9的中位數(shù)為，所以②錯誤，由于.所以該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是第6項(xiàng)與第7項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為21，故③正確；若將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都加上2，則易知平均數(shù)增加2，方差是不變化的，故④錯誤.故答案為：①③.15./【分析】先利用正弦定理求得，再次利用正弦定理得到，從而得到，進(jìn)而利用余弦定理即可求得，由此利用三角形面積公式即可得解.【詳解】根據(jù)題意，得到圖形如下，因?yàn)榈耐饨訄A半徑，，所以由正弦定理得，可得，因?yàn)檫吷系囊稽c(diǎn)滿足，且，所以，則，，，，所以由正弦定理可得，，故，又，所以，所以由余弦定理，可得，故，即，所以.故答案為：.16.【解析】作出圖形，設(shè)，利用基本不等式可求得的最大值，可求得的最小值，利用正弦定理求得外接圓直徑的最小值，可求得該三棱錐外接球直徑的最小值，由此可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長為，圓柱的外接球半徑為，取圓柱的軸截面，則該圓柱的軸截面矩形的對角線的中點(diǎn)到圓柱底面圓上每個點(diǎn)的距離都等于，則為圓柱的外接球球心，由勾股定理可得.本題中，∵平面，設(shè)的外接圓為圓，可將三棱錐內(nèi)接于圓柱，如下圖所示：設(shè)的外接圓直徑為，，該三棱錐的外接球直徑為，則.如下圖所示：設(shè)，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，由，可得，，所以，的最大值為，由正弦定理得，即的最小值為3，因此，，所以，三棱錐外接球的表面積為.故三棱錐外接球的表面積的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.17.（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理求出，再求出的面積；（2）設(shè)，在中，由正弦定理得①，在中，由正弦定理得②，①②兩式相除，即得解.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，，即，解得，所以的面積.（2）設(shè)，在中，由正弦定理得，即，①在中，，，由正弦定理得，即，②①②兩式相除，得，即，整理得.又因?yàn)?，所以，?【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18.19.（1）0.4（2）55（3）【分析】（1）利用頻率分布直方圖所有小矩形面積和為1計(jì)算求解即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖和第60百分位數(shù)定義計(jì)算即可；（3）利用分層抽樣的概念和古典概型計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，樣本中數(shù)據(jù)落在的頻率為（2）樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)落在第四組，且第60百分位數(shù)為（3）與兩組的頻率之比為，現(xiàn)從和兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，則組抽取2人，記為，，組抽取4人，記為1，2，3，4.所有可能的情況為，，，，，，，，，，，，，，，共15種.其中至少有1人的年齡在的情況有，，，，，，，，，共9種，故所求概率.20.參考答案：1.（1）（2）.【分析】（1）結(jié)合圖像，由最大最小值可得，由可得，由函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)可求，從而可得答案.（2）原不等式等價(jià)于，使得成立，令，利用函數(shù)單調(diào)性求解最小值即可得答案.【詳解】（1）由所給函數(shù)圖像可知，，，即，所以，又圖像過點(diǎn)，所以，，解得，，因?yàn)?，所以?dāng)時，，故.（2）若對于，關(guān)于的不等式恒成立，即對于，關(guān)于的不等式恒成立，即對于，恒成立.當(dāng)時，，令時，為減函數(shù)，所以當(dāng)時，取得最小值為，即的最小值為，故實(shí)數(shù)，所以的最大值為.21.（1），（2）【分析】（1）化簡得到，解不等式，得到答案.（2），則，故，得到值域.【詳解】（1）.取，，解得，.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2），則，故，.22.（1）；（2）在R上單調(diào)遞增；（3）【分析】（1）易知為奇函數(shù)，可得，代入解析式，可求出的值；（2）先判斷在上的單調(diào)性，再結(jié)合是定義在R的奇函數(shù)，可推出在定義域上單調(diào)遞增；（3）根據(jù)的奇偶性，可得在上恒成立，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可知在上恒成立，進(jìn)而令，可得，從而不等式可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)而分離參數(shù)可得，求出的最大值，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)榈膱D象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以為奇函數(shù)，所以，即，解得.（2）易知的定義域?yàn)镽，令，因?yàn)楹瘮?shù)及都在