由數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列通項公式方法總結(jié)

由遞推關(guān)系求數(shù)列通項問題—“不動點”法由遞推公式求其數(shù)列通項歷來是高考的重點和熱點題型，對那些已知遞推關(guān)系但又難求通項的數(shù)列綜合問題，充分運用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解決這類問題的著手點和關(guān)鍵．與遞推關(guān)系對應(yīng)的函數(shù)的“不動點”決定著遞推數(shù)列的增減情況，因此我們可以利用對函數(shù)“不動點”問題的研究結(jié)果，來簡化對數(shù)列通項問題的探究。筆者在長期的教學(xué)實踐中，不斷總結(jié)探究反思，對那些難求通項的數(shù)列綜合問題，形成利用函數(shù)不動點知識探究的規(guī)律性總結(jié)，以期對同學(xué)們解題有所幫助．1不動點的定義一般的，設(shè)了〔X）的定義域為D,若存在心ED，使成立，則稱為的不動點，或稱（忌冰J為圖像的不動點。2求線性遞推數(shù)列的通項定理1設(shè)冷十+也工〔訂），且為的不動點，滿足遞推關(guān)系嗎二了（冷（，總二…，證明是公比為a的等比數(shù)列。證：???是的不動點，所以，所以，所以，.??數(shù)列是公比為金的等比數(shù)列。例1已知數(shù)列｛%｝的前訊項和為且鳩二占-北廠跖，&呂川⑴證明：｛叫T｝是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列｛$｝的通項公式，并求出使得盤+1>垃成立的最小正整證：⑴當(dāng)n=1時，a=-14；當(dāng)n>2時，a=S-S=-5a+5a+1,即6礙二気+10工2）即1 nnn—1 nn—1，記 ，令，求出不動點心二1,由定理1知：6066爲(wèi)_1=；〔込_1_衛(wèi)22），又a—1=—15弟，所以數(shù)列｛a—1｝是等比數(shù)列。（2）解略。1n3求非線性遞推數(shù)列的通項定理2設(shè) ，且是的不動點，數(shù)列滿足遞推關(guān)系，總二…，cx-\-d2c（i）若珂工乃，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（ii）珂二冷二礎(chǔ)，則數(shù)列是公差為的等差a十用

數(shù)列。說眄+色 3—￡珂證：（i）由題設(shè)知□鬲亠撫 c3—C：疋同理岀-b=（a-門叨西.@—亡砧叫-\-b—刈珂a—c(d!—CX2)^n+3_必2所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。（ii）由題設(shè)知=疋的解為兀1二也二心,...且=1_1說勢i_兩一莎斗上（ii）由題設(shè)知=疋的解為兀1二也二心,...且=1_1說勢i_兩一莎斗上1:喬7 0caK十』（口一皈血十土盛）3-曬血廠亦 &_%_cax一：筍+』+卞咼-c d+c^0 1— — 3_%)宓_%)a-e^a-c^%_心.a-dd+; 12c12c，所以數(shù)列是公差為 的等差數(shù)列。&一吒馬，一心務(wù)一知心+圧 □十r例2設(shè)數(shù)列｛%｝的前"項和為顯，且方程工一理-工-①二0有一根為顯-1（応時"）。求數(shù)列｛理｝的通項公式。解：依題丐二13￡,且毘“尸-叮陰"）■%二o,將比二孟-莒-1代入上式，得1 _2-Sk亍記”*丄，令"E，求出不動點心九由定理1 _2-Sk亍所以數(shù)列■■■ y—［是公差為-1的等差數(shù)列，所以E=因此數(shù)列｛%｝的通項公式為叫

例3已知數(shù)列仏｝中,曲：K+1（I）設(shè)^=|a=，求數(shù)列｛乞｝的通項公式.（II）例3已知數(shù)列仏｝中,曲：K+1（I）設(shè)^=|a=，求數(shù)列｛乞｝的通項公式.（II）求使不等式%<%戟<3成立的疔的X、—占解：（1）依題嗎+1=35 1 5^-2，記畑二%紐，令fd，求出不動點咼=h 2由定理2（i）知：直兩式相除得到M-1M+1是以工為公比’ 為首項的等比數(shù)=-2-4b_1=-2-列，所以,（II）解略。列，所以,3.I1.定理3設(shè) ，且是的不動點，數(shù)列滿足遞推關(guān)系，左二23…，則有T.ax+d?In，故代>0，則>0是公比為?In，故代>0，則>0是公比為2的等比數(shù)列。耳+1—珂—「％—咼詛 」一瑪?。?；若門F，則'In%'是公比為2的等比數(shù)列。dj!+l_X2-務(wù)—牝J證：*?*是的不動點，???=b-tJZj ， dx2=b—曲；菖話+1-珂a-+￡■-（2lj-ljh+^）zl a-+匕2ci?j -b理+1—孔■J 1 ._ n. —a +P—（2&? +占）疋2 a-~l-?匕一Acr <y3+阪f-hx：-3例4已知數(shù)列仗」?jié)M足叫=4， .⑴求證：心=3；⑵求證：兀敘<耳；⑶求數(shù)列的通項公式．證：⑴、⑵證略；⑶依題 ，記 ，令了㈡）二x，求出不動點兀一斗 2忙一4= = ；由定理3知：^M41￡-3= = ；由定理3知：^M41￡-3_]=（兀阪-4 2xa-4Ln尋所以汙心-1L丿￥，又呂=駅》所以咤詈斗氓圣.’ 五1一1T T兀一1 「、又 ，令 ，則數(shù)列心是首項為1，公比為，的等比數(shù)列?所以▽対?由Z心,得川二巴所以I嘉利用函數(shù)“不動點”法求解較復(fù)雜的遞推數(shù)列的通項問題，并不局限于以上三種類型，基于高考數(shù)列試題的難度，本文不再對更為復(fù)雜的遞推數(shù)列進行論述，以下兩個定理供有興趣