空間向量及其線性運(yùn)算

1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算1.理解空間向量的含義，能夠區(qū)別于平面向量，懂得一些特殊向量如零向量和單位向量。理解相等向量和相反向量，后續(xù)進(jìn)一步理解共面向量和異面向量。加法、減法和數(shù)乘等線性法則、以及結(jié)合律和交換律等運(yùn)算律，并通過空間幾何體加深對(duì)運(yùn)算的理解。培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。在滑翔過程中,飛行員會(huì)受到來(lái)自不同方向、大小各異的力，如拉力、風(fēng)力、重力.國(guó)慶節(jié)期間，某游客從上海世博園（O）游覽結(jié)束后乘車到外灘（A）觀賞黃浦江，然后抵達(dá)東方明珠（B）游玩，如圖（1），游客的實(shí)際位移是什么？可以用什么數(shù)學(xué)概念來(lái)表示這個(gè)過程？OABD圖（2）問題1我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過平面向量的概念和線性運(yùn)算，你能類比平面向量，給出空間向量的概念和線性運(yùn)算嗎？追問(1)平面向量是什么？你能類比平面向量給出空間向量的概念嗎？平面向量的概念空間向量的概念

平面內(nèi)，既有大小又有方向的量，稱為平面向量，平面向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作或|a|.

空間中，既有大小又有方向的量，稱為空間向量，空間向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作或|a|.追問(2)如何表示平面向量？你能類比平面向量的表示，給出空間向量的表示嗎？

平面向量的表示法空間向量的表示法

(1)有向線段(1)有向線段A(起點(diǎn))B(終點(diǎn))a(2)字母a，b，c，…(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y)(2)字母a，b，c，…(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y，z)acb印刷體：a手寫體：追問(3)從平面向量的概念出發(fā)，我們又學(xué)習(xí)了不少新的概念.你還記得有哪些嗎？你能把這些概念推廣到空間向量中嗎？零向量：?jiǎn)挝幌蛄浚合嗟认蛄浚合喾聪蛄浚汗簿€向量：模為0的向量，記作

0；零向量的方向任意；模為1的向量；模和方向都相同的兩個(gè)向量，記作a＝b；模相同，方向相反的兩個(gè)向量，記作a＝－b；零向量：?jiǎn)挝幌蛄浚合嗟认蛄浚合喾聪蛄浚浩矫嫦蛄康南嚓P(guān)概念空間向量的相關(guān)概念

共線向量：方向相同或相反的兩個(gè)非零向量，叫做共線向量或平行向量，記作a∥b；規(guī)定，零向量和任意向量共線.共線向量：若表示空間向量的有向線段所在直線平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a∥b；規(guī)定，零向量和任意向量共線.空間向量的基礎(chǔ)概念

說明任意兩個(gè)空間向量都可以平移到同一平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩向量.問題2

在學(xué)習(xí)完平面向量的相關(guān)概念以后，我們研究了平面向量的線性運(yùn)算.你能類比平面向量，研究空間向量的線性運(yùn)算嗎？追問(1)

平面向量的線性運(yùn)算有哪些？我們?nèi)绾窝芯窟@些運(yùn)算？平面向量的線性運(yùn)算有加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算.先研究它們的定義及運(yùn)算法則，再研究它們的運(yùn)算律.追問(2)

平面向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算的定義及運(yùn)算法則分別是什么？你能類比它們得出空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算的定義及運(yùn)算法則嗎？特點(diǎn):共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減1.向量加法三角形法則:特點(diǎn):首尾順次連，起點(diǎn)指終點(diǎn)特點(diǎn):同起點(diǎn)，對(duì)角連2.向量加法平行四邊形法則:3.向量減法三角形法則:AOB實(shí)數(shù)λ與平面向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：①

|λa|＝|λ||a|；②若λ>0，λa與a的方向相同；

若λ<0，λa與a的方向相反；

若λ＝0，λa＝0.(2)數(shù)乘運(yùn)算：

由于任意兩個(gè)空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，

這樣任意兩個(gè)空間向量的運(yùn)算就可以轉(zhuǎn)化為平面向量的運(yùn)算．空間向量的線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化平面向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算加法：(三角形法則，首尾接)(平行四邊形法則，同起點(diǎn))減法：

(三角形法則，同起點(diǎn)/指向被減向量)數(shù)乘：(結(jié)果仍是一個(gè)向量)交換律：結(jié)合律：分配律：因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)空間向量都可平移到同一平面內(nèi)，所以任意兩個(gè)空間向量的運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為平面向量的運(yùn)算.課本P5-1.舉出一些表示三個(gè)不同在一個(gè)平面內(nèi)的向量的實(shí)例．生活中的例子，如墻角的三條棱所在的直線可用于表示三個(gè)不同在一個(gè)平面內(nèi)的向量．ABCDEF第2題ABCD圖【拓展提升】空間向量的線性運(yùn)算課本P5-2EF同起點(diǎn)的兩個(gè)平面向量的和向量為平行四邊形的對(duì)角線所在向量；同起點(diǎn)的三個(gè)空間向量的和向量為平行六面體的體對(duì)角線所在向量.ABCDEF(第4題)課本P5-4.如圖，已知四面體ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量.【考查要點(diǎn)】空間向量的加法法則(平行