第六章角動(dòng)量守恒2

1§1.角動(dòng)量與力矩單位:kgm2/s，量綱:L2MT-1大小:

角動(dòng)量是除動(dòng)量和能量之外的轉(zhuǎn)動(dòng)形式的另一個(gè)守恒量；它不但能描述經(jīng)典力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，在近代物理理論中在表征狀態(tài)方面也是不可缺少的一個(gè)基本量。方向：由右手定則確定一.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量？角動(dòng)量：位矢r與動(dòng)量mv的矢積OXYZAB圖6.1、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量2兩點(diǎn)討論:⑴角動(dòng)量是相對(duì)于給定的參考點(diǎn)定義的，且參考點(diǎn)在所選的參考系中必須是固定點(diǎn)；參考點(diǎn)不同，角動(dòng)量亦不同，如圓錐擺。一般把參考點(diǎn)取在坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣，才有⑵角動(dòng)量是矢量，可用分量形式表示。在直角坐標(biāo)系中其中：圖6.2、圓錐擺的角動(dòng)量3二、力矩作用力F，其作用點(diǎn)的位矢為r，它對(duì)O點(diǎn)的力矩被定義為方向：由右手定則確定；大小:M=rFsinθ。在直角坐標(biāo)系中，其分量表示圖6.3、力矩4例6.1：試求作用在圓錐擺上的拉力T、重力mg和合力F對(duì)o’

點(diǎn)、o點(diǎn)、oo’

軸的力矩。

討論力矩時(shí)，必須明確指出是對(duì)那點(diǎn)或那個(gè)軸的力矩；o'oαTLFmg力矩拉力T重力mg合力Fo'點(diǎn)o點(diǎn)oo'軸mgLsinα×mgLsinα×00000TLcosαsinα⊙FLcosα×圖6.4、題6.1圖5例6.2：在圖示情況下，已知圓錐擺的質(zhì)量為m，速率為v，求圓錐擺對(duì)o點(diǎn),o’點(diǎn),oo’軸的角動(dòng)量。

在討論質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量時(shí)，必須指明是對(duì)那點(diǎn)或那個(gè)軸的角動(dòng)量o'oαlvm圖6.5、題6.2圖6三、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理角動(dòng)量和力矩的物理意義：體現(xiàn)在兩者所遵從的物理規(guī)律上。7表明：角動(dòng)量的增量等于沖量矩（角沖量）的積分?！|(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理②該定理是由牛頓定律導(dǎo)出，故它僅適用于慣性系。兩點(diǎn)說(shuō)明:①各量均對(duì)同一參考點(diǎn)；即8四、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律當(dāng)守恒條件:①

F=∑Fi=0；②力F通過(guò)定點(diǎn)O，即有心力；③當(dāng)外力對(duì)定點(diǎn)的某一分量為零時(shí)，則角動(dòng)量的該分量守恒：9例6.3

一小球m沿豎直的光滑圓軌道R由靜止開(kāi)始下滑。求小球在B點(diǎn)時(shí)對(duì)環(huán)心的角動(dòng)量和角速度。解:力矩分析：M=mgRcosθ用角動(dòng)量定理：BAROmg圖6.6、題6.3圖10例題6.4

擺長(zhǎng)為l的錐擺作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，擺線與鉛垂線成α角，求擺球速率。解：如圖，在圓錐擺的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，擺球相對(duì)支點(diǎn)o的角動(dòng)量為。L是一個(gè)可以繞z軸旋轉(zhuǎn)的矢量。將其分解兩個(gè)分量

,其大小分別為o圖6.7、題6.4圖另一方面，作用于擺球的外力有張力和重力，張力對(duì)支點(diǎn)o無(wú)力矩，而重力矩的方向與圓周半徑垂直，其大小為11§2.質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理一、質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系對(duì)給定點(diǎn)的角動(dòng)量等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的矢量和：對(duì)t求導(dǎo)，利用質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理，則得內(nèi)力對(duì)體系的總力矩為零，上式變?yōu)橘|(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理的微分形式12體系角動(dòng)量定理的積分形式體系對(duì)給定點(diǎn)角動(dòng)量的增量等于外力對(duì)該點(diǎn)的總沖量矩。二、質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理指出：①只有外力矩才對(duì)體系的角動(dòng)量變化有貢獻(xiàn)；②內(nèi)力矩對(duì)體系角動(dòng)量變化無(wú)貢獻(xiàn)，但對(duì)角動(dòng)量在體系內(nèi)的分配是有作用的。當(dāng)外力對(duì)定點(diǎn)的總外力矩為零時(shí)，則或13(3)角動(dòng)量守恒定律是一個(gè)獨(dú)立的規(guī)律，并不包含在動(dòng)量守恒定律或能量守恒定律中。(2)角動(dòng)量守恒定律是矢量式，它有三個(gè)分量，各分量可以分別守恒：⑴關(guān)于總外力矩M=0，有三種不同情況：

①對(duì)于孤立系統(tǒng)，體系不受外力作用；

②所有外力都通過(guò)定點(diǎn)；

③每個(gè)外力的力矩不為零，但總外力矩M=0。幾點(diǎn)討論：桌面\演示內(nèi)容\茹可夫斯基凳.wmv14例6.5：在圖示裝置中，盤(pán)與重物的質(zhì)量均為m，膠泥的質(zhì)量為m’,

原來(lái)重物與盤(pán)靜止，讓膠泥從h高處自由落下，求膠泥粘到盤(pán)上后獲得速度。

解：把盤(pán)、重物、膠泥視為質(zhì)點(diǎn)系，在膠泥與盤(pán)的碰撞過(guò)程中，繩的拉力，盤(pán)與重物所受的重力對(duì)o軸的力矩之和始終為零，忽略膠泥所受重力，所以質(zhì)點(diǎn)系在碰撞過(guò)程中對(duì)o軸的角動(dòng)量守恒。

討論：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量是否守恒？方程*并不表示動(dòng)量守恒，若動(dòng)量守恒，應(yīng)寫(xiě)成：m'mhmvvvo⊙正方向o圖6.8、題6.5圖15例題6.6盧瑟福α粒子散射實(shí)驗(yàn)與有核模型。已知α粒子的質(zhì)量為m，電荷為2e，從遠(yuǎn)處以速度v0射向一質(zhì)量為m’，電荷為Ze的重原子核。重核與速度矢量垂直距離為d，稱(chēng)為瞄準(zhǔn)距離。設(shè)

m’>>m，原子核可看作不動(dòng)。試求α粒子與重核的最近距離rs。解：如圖，當(dāng)α粒子接近重核時(shí)，在重核靜電斥力作用下速度隨時(shí)間改變，在A點(diǎn)到達(dá)與重核最接近的距離rs處。A

因α粒子所受的靜電力方向始終通過(guò)重核，故α粒子對(duì)力心O的角動(dòng)量守恒，即圖6.9、題6.6圖16§3.質(zhì)心系的角動(dòng)量定理

在處理問(wèn)題時(shí),如果采用質(zhì)心參考系，并取質(zhì)心為參考點(diǎn)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化規(guī)律將如何表述呢?一、質(zhì)心系中的角動(dòng)量定理

質(zhì)心系若為非慣性系，則加上慣性力的力矩，角動(dòng)量定理仍適用。設(shè)L’

:質(zhì)心系中體系對(duì)質(zhì)心的總角動(dòng)量;M0’

:外力對(duì)質(zhì)心力矩之和;Mc’:慣性力對(duì)質(zhì)心的力矩之和，則

由于質(zhì)心平動(dòng)系中，作用在各質(zhì)點(diǎn)的慣性力與質(zhì)量成正比，方向與質(zhì)心加速度相反，故對(duì)質(zhì)心的力矩為17質(zhì)心系角動(dòng)量微分形式質(zhì)心系角動(dòng)量積分形式

即質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量的時(shí)間變化率等于外力相對(duì)質(zhì)心的外力矩總和。注意：①質(zhì)心系角動(dòng)量定理雖與質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理具有完全相同的形式；②后者總被強(qiáng)調(diào)在慣性系中成立，而質(zhì)心即使有加速度，質(zhì)心系為非慣性系(如在重力場(chǎng)中)，質(zhì)心系角動(dòng)量定理仍成立。其中為質(zhì)心系中質(zhì)心位矢，它必為零。故18二、質(zhì)心系的角動(dòng)量守恒定律

當(dāng)外力相對(duì)質(zhì)心的總力矩為零時(shí)，體系相對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量為恒量:

例：運(yùn)動(dòng)員在跳水過(guò)程中，若忽略空氣阻力，所受到的唯一的外力是重力，它在質(zhì)心系中的總力矩恒為零，因此運(yùn)動(dòng)員繞質(zhì)心的角動(dòng)量守恒。三、體系角動(dòng)量與質(zhì)心角動(dòng)量的關(guān)系在慣性系中，質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于定點(diǎn)的角動(dòng)量為而，代入上式得19

上式表示：體系的角動(dòng)量等于質(zhì)心角動(dòng)量與體系相對(duì)于質(zhì)心角動(dòng)量之和。根據(jù)質(zhì)心的定義，上面后兩項(xiàng)為零。于是質(zhì)心角動(dòng)量體系相對(duì)質(zhì)心角動(dòng)量20例題6.7

質(zhì)量為的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位矢和速度分別為和，試求⑴每個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)心的動(dòng)量。⑵兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于它們的質(zhì)心的角動(dòng)量。解：⑴對(duì)于由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系，引入相對(duì)速度u考慮到質(zhì)心系是零動(dòng)量參考系，即可得由此可得，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量分別為21兩質(zhì)點(diǎn)的約化質(zhì)量⑵利用質(zhì)心表達(dá)式，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心的位矢分別為故兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)相對(duì)于其質(zhì)心的角動(dòng)量為22

四、兩體問(wèn)題①對(duì)于質(zhì)量可以比擬的孤立兩體問(wèn)題，總可以把其中一個(gè)物體看作固定力心，另一物體的質(zhì)量用約化質(zhì)量μ代替；②無(wú)固定力心的兩體問(wèn)題等效于一質(zhì)量為μ的質(zhì)點(diǎn)在固定力心的有心力作用下的運(yùn)動(dòng)；③把兩體問(wèn)題化成單體問(wèn)題。其運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿(mǎn)足：其中是從指向的矢量方向的單位矢量。0c23§4.質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)一、有心力？有心力：方向始終指向（或背向）固定中心的力。

該固定中心稱(chēng)為力心。在許多情況下，有心力的大小僅與考察點(diǎn)至力心的距離有關(guān)，即保守有心力？有心力場(chǎng)：有心力存在的空間，如萬(wàn)有引力場(chǎng)、庫(kù)侖力場(chǎng)、分子力場(chǎng)。24二、有心力場(chǎng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一般特征在有心力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為其特征：⑴運(yùn)動(dòng)必定在一個(gè)平面上

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的初速度給定后，質(zhì)點(diǎn)只能在初速度與初始矢徑所構(gòu)成的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)；往往用平面極坐標(biāo)描述運(yùn)動(dòng)。取力心為原點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)方程則為25有心力對(duì)原點(diǎn)的力矩為零，故質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。⑵兩個(gè)守恒量有心力為保守力，質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒對(duì)②式兩邊乘r，再對(duì)時(shí)間積分得：26⑶有效勢(shì)能與軌道特征因是運(yùn)動(dòng)常量，故機(jī)械能守恒定律可寫(xiě)為：

設(shè)有兩個(gè)質(zhì)量分別為m,M

的質(zhì)點(diǎn)，則引力勢(shì)能為：有效勢(shì)能則有效勢(shì)能為：27①當(dāng)角動(dòng)量L取某一確定值，利用勢(shì)能曲線，可討論質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)矢徑大小的變化范圍，此范圍取決于質(zhì)點(diǎn)的總能量E；②質(zhì)點(diǎn)將在有心力場(chǎng)中作不同類(lèi)型的軌道運(yùn)動(dòng)：根據(jù)有效勢(shì)能得到如圖所示的有效勢(shì)能曲線。（A）若，軌道為雙曲線；（B）若，軌道為拋物線；（C）若，軌道為橢圓或圓。28三、開(kāi)普勒三定律和萬(wàn)有引力定律①人們對(duì)金、木、水、火、土五顆行星的運(yùn)動(dòng)有過(guò)長(zhǎng)期觀察；②特別是丹麥天文學(xué)家第谷（TyehoBrahe,1546-1601）進(jìn)行了連續(xù)20年的仔細(xì)觀測(cè)和記錄；③他的學(xué)生開(kāi)普勒（KeplerJohamnes,1571-1630）則花了大約20年的時(shí)間分析這些數(shù)據(jù)，總結(jié)出三條行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

(2)面積定律：對(duì)任一行星，它的矢徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等；1、開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律(1)軌道定律：每個(gè)行星都各以太陽(yáng)為焦點(diǎn)一個(gè)橢圓軌道運(yùn)行；(3)周期定律：行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)軌道半長(zhǎng)軸a的立方正比于公轉(zhuǎn)周期T的平方，即29

開(kāi)普勒面積定律的證明用表示從0到速度矢量v的垂直距離，則有掠面速度如圖，行星m對(duì)太陽(yáng)M的角動(dòng)量大小為:其中⊿S是⊿t時(shí)間內(nèi)行星與太陽(yáng)間的聯(lián)線所掃過(guò)的面積，故LMrmv30

由于萬(wàn)有引力為有心力，它對(duì)力心的力矩總是等于零，故角動(dòng)量守恒，亦即

這就證明了掠面速度不變，也就是開(kāi)普勒第二定律。實(shí)際上，此定律與角動(dòng)量守恒定律等價(jià)。如圖，由解析幾何知，橢圓方程為

太陽(yáng)在焦點(diǎn)位置的證明兩焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上位置坐標(biāo)為±c31

設(shè)行星遠(yuǎn)日點(diǎn)和近日點(diǎn)的距離分別為r1、r2，對(duì)應(yīng)的速度為v1、v2

。由機(jī)械能守恒，有由角動(dòng)量守恒，有32考慮到（r1+r2）=2a，最后求得表明：①太陽(yáng)位置坐標(biāo)為（-c），正是幾何上橢圓焦點(diǎn)位置；②這一結(jié)果與天文觀測(cè)資料是一致的，證認(rèn)了牛頓力學(xué)理論的正確性,最為重要的是一舉同時(shí)證認(rèn)了引力二次方反比律和運(yùn)動(dòng)定律兩者的正確性。解得根據(jù)向心力公式和長(zhǎng)軸端點(diǎn)弧元的曲率半徑，有332、萬(wàn)有引力定律

開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律蘊(yùn)涵著更為簡(jiǎn)潔、更為普遍的萬(wàn)有引力定律,其中的奧秘直到牛頓才被破譯出來(lái)。

根據(jù)開(kāi)普勒軌道定律，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，可把行星軌道看作圓形。這樣，行星應(yīng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。因而,故取比例系數(shù)為k,則得（k取決于太陽(yáng)的性質(zhì)）34

牛頓認(rèn)為這種引力是萬(wàn)有的、普適的、統(tǒng)一的，即所有物體之間都存在這種引力，稱(chēng)之為萬(wàn)有引力。對(duì)地球和月球之間的吸引力應(yīng)有根據(jù)牛頓第三定律，由以上兩式得

其比值應(yīng)是一個(gè)與地球和月球都無(wú)關(guān)的普適常數(shù)，設(shè)其為G,有35于是，地、月之間的引力為普適的萬(wàn)有引力定律則可描述為

G稱(chēng)為萬(wàn)有引力常數(shù)。因?yàn)橐μ?，又不能屏蔽?duì)它的干擾，實(shí)驗(yàn)很難做，故萬(wàn)有引力常數(shù)是目前測(cè)量最不精確的一個(gè)基本物理常量。其量綱為36由開(kāi)普勒定律導(dǎo)出萬(wàn)有引力定律

據(jù)開(kāi)氏二定律，行星必受以太陽(yáng)為力心的有心力作用。由功能原理，行星動(dòng)能增量等于有心力所作功：Fdr=dEk或F=dEk/dr行星動(dòng)能：據(jù)開(kāi)氏一定律，行星必在以太陽(yáng)為焦點(diǎn)的橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)，此軌道用極坐標(biāo)表示為：37據(jù)開(kāi)氏二定律，38再利用開(kāi)氏三定律，

39？潮汐現(xiàn)象的解釋。（引力的空間不均勻性）

潮汐現(xiàn)象：每日兩次的漲潮、落潮現(xiàn)象。海水既受太陽(yáng)（和月亮）的引力作用，又在作公轉(zhuǎn)的地球這一非慣性系中受慣性力作用的結(jié)果。

①如圖，地－月系統(tǒng)在引力的相互作用下圍繞著共同的質(zhì)心O旋轉(zhuǎn)；②在地心參考系中各地海水所受月球有效表現(xiàn)力是“真實(shí)的引力”和地心的離心加速度造成的“慣性離心力”之和；③該表現(xiàn)引力把海水沿地－月聯(lián)線方向拉長(zhǎng)而成為一個(gè)橢球，從而形成潮汐現(xiàn)象。40？潮汐成因：考察A、B、C、D四點(diǎn)處海水的受力情況①在A點(diǎn)，海水受月球引力FA和慣性離心力fiA的作用，兩者方向相反。A點(diǎn)離月球比地球中心離月球近（差一個(gè)地球半徑的距離），fiA大小恰為同質(zhì)量的海水在地球中心所受月球的引力，所以|FA|>|fiA|,A點(diǎn)海水受向左方向表現(xiàn)力。②C點(diǎn)情況與A點(diǎn)相反，|FC|>|fiC|，海水受向右方向的表現(xiàn)力；③D點(diǎn)海水受月球引力FD和慣性離心力fiD的大小幾乎相等，但方向略有差異，故合成的表現(xiàn)力向下，其大小比A、C點(diǎn)表現(xiàn)力?。虎蹷點(diǎn)的情況與D點(diǎn)相仿，表現(xiàn)力向上。在重力和表現(xiàn)力共同作用下，最后使海水表面呈圖中所示橢球形狀。僅地球自轉(zhuǎn)一周時(shí)，地球上任一點(diǎn)的海面高度將有兩次漲落變化（A、C漲潮，B、D落潮）。41§5.對(duì)稱(chēng)性與守恒定律一、對(duì)稱(chēng)性(symmetry)：人們?cè)谟^察和認(rèn)識(shí)自然的過(guò)程中產(chǎn)生的一種觀念。？“變換”：我們把系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)變到另一個(gè)狀態(tài)的過(guò)程，或者說(shuō)給它一個(gè)“操作”。若一個(gè)操作使系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)變到另一個(gè)與之等價(jià)狀態(tài)，或者狀態(tài)在此操作下不變，則稱(chēng)這個(gè)系統(tǒng)對(duì)于這一操作是“對(duì)稱(chēng)”的，而這個(gè)操作叫做這個(gè)系統(tǒng)的一個(gè)“對(duì)稱(chēng)操作”。

物理學(xué)的規(guī)律是有層次的，層次越深，則規(guī)律越基本、越簡(jiǎn)單，其適用性也越廣泛，但也越不容易被揭示出來(lái)。

由于變換或操作方式的不同，可以有各種不同的對(duì)稱(chēng)性：①常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)操作是時(shí)空操作，相應(yīng)對(duì)稱(chēng)性稱(chēng)為時(shí)空對(duì)稱(chēng)性；②空間操作有平移、轉(zhuǎn)動(dòng)、鏡象反射、空間反演等；③時(shí)間操作有時(shí)間平移、時(shí)間反演等。42二、對(duì)稱(chēng)性與守恒定律內(nèi)特爾定理：如果運(yùn)動(dòng)規(guī)律在某一不明顯依賴(lài)于時(shí)間的變換下具有不變性，必相應(yīng)地存在一個(gè)守恒定律。

對(duì)稱(chēng)性原理與守恒定律是跨越物理學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的普遍法則，因此在未涉及一些具體定律之前，往往有可能根據(jù)對(duì)稱(chēng)性原理與守恒定律作出一些定性的判斷，得到一些有用的信息。運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)時(shí)間原點(diǎn)選擇的平移不變性決定了能量守恒；運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)空間原點(diǎn)選擇的平移不變性決定了動(dòng)量守恒；運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)空間轉(zhuǎn)動(dòng)的不變性決定了角動(dòng)量守恒。物理規(guī)律的對(duì)稱(chēng)性又稱(chēng)為不變性（invariance）。43下面討論時(shí)空對(duì)稱(chēng)性與動(dòng)量守恒定律：

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)一個(gè)體系由兩個(gè)相互作用著的粒子組成，它們只限于在具有平移對(duì)稱(chēng)性的x軸上運(yùn)動(dòng)，如圖所示。設(shè)兩粒子的坐標(biāo)分別為x1、x2，體系的勢(shì)能為

當(dāng)體系發(fā)生一平移⊿x時(shí)，兩粒子的坐標(biāo)分別為但兩粒子間的距離未變，即44

空間的平移對(duì)稱(chēng)性意味著勢(shì)能與⊿x無(wú)關(guān)，即空間平移操作下勢(shì)能保持不變，故在這樣的條件下，坐標(biāo)1和2所受的力分別為：按照力的定義式，則有：

這就是動(dòng)量守恒定律。因此，從空間平移對(duì)稱(chēng)性導(dǎo)出了動(dòng)量守恒定律。45本章基本要求1.理解角動(dòng)量和力矩的物理意義，特別是所涉及的矢量關(guān)系;2.熟練掌握質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理及守恒定律，并能處理一些實(shí)際問(wèn)題;3.初步掌握質(zhì)