圓錐曲線最值問題

圓錐曲線的范圍、最值問題x2y21(a>b>0)的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在2x軸上，離心率為，點(diǎn)21、已知橢圓C：a2b2F、F分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，在直線x=2上的點(diǎn)P(2,3)滿足|PF|=|FF|，直線l：12212（Ⅱ）若在橢圓C上存在y=kx+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B.（Ⅰ）求橢圓C的方程；點(diǎn)Q，滿足OAOBOQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.c2,1,得c2x2a2.1y12解：依題意有ab．方程．…5分2(2c)2(2c)23.ykxm,（Ⅱ）由(12k2)x24kmx2m220．x2y22,得24kmxx12k2,12A(x,y)、B(x,y)，則設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為…………7分,2m22.1122xx12k2122myyk(xx)2m12k2．1（1）當(dāng)m0時(shí)，點(diǎn)212對(duì)稱，則0．對(duì)稱，則0，A、B關(guān)于原點(diǎn)A、B不關(guān)于原點(diǎn)（2）當(dāng)m0時(shí)，點(diǎn)4km(12k2)11xQ,.x(xx),Q12由OAOBOQ，得即2m(12k2)y(yy).yQQ124km(12k2)2mQ[點(diǎn)在橢圓上，有]22[]22，(12k2)4m(12k2)2(12k2)2120．k2，有4m2(12k2)…①…化簡(jiǎn)，得2210分16k2m24(12k2)(2m22)8(12k2m2)由012km2②，得20422且0．．m，，則24m2m由①、②兩式得222．…14分綜合（1）、（2）兩種情況，得實(shí)數(shù)的取值范圍是2xy222、如圖，已知橢圓C:1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)是，兩1,0個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)ab22y端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.（Ⅰ）求橢圓C的方程；Q4,0（Ⅱ）過點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線lQxA對(duì)稱點(diǎn)為.1證：直線過軸上一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；O交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于軸的xBABx（ⅰ）求OABA1面積的取值范圍.（ⅱ）求△1所以半焦距c1.C的一個(gè)焦點(diǎn)是，1,0解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓1c1橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形a2a2,b3..所以，解得xy22所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.…………4分y43xy22（Ⅱ）（i）設(shè)直線l：xmy4與1聯(lián)立并消去x得：43m4y224my360.記Ax,y3Bx,y，，Ox2112224m3m24由A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，得，根據(jù)題設(shè)條件設(shè)定點(diǎn)為，363m24yyyy，.………………5分1212Tt,0Ax,yA1111yy1kkTB得，即2.xttxTA112xyyx14myy4myy2myy42431t所以21221121yyyyyy1212即定點(diǎn)8分12T1,0T1,0（ii）由（i）中判別式0，解得.可知直線過定點(diǎn)m2AB11SOAB1OTyyyy所以……………10分2221211124m4S,記tt43t42，當(dāng)t2時(shí)，4，令tmt1得1243m2，得OABm3t3my4在2,上為增函數(shù)，A1t0tt.3t4228433，82m所以0S，得OA1BOQx3m33BA故△OAB的面積取值范圍是0,2.…………………13分31x221(a0)y3、如圖，在橢圓中，F(xiàn)，F(xiàn)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，B、D分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，A為橢圓在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，直線AF交橢圓于另一點(diǎn)C，交y軸1于點(diǎn)E，且點(diǎn)F、F三等分線段BD。（I）求a的值；8a21212（II）若四邊形EBCF為平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。2（III）設(shè)SSAF1O,SCF1O,求的取值范圍。SCEOAEO解：（I）∵F，F(xiàn)三等份BD，21|FF|1|BD|,即2c12a,a3c…………1分3312a2b2c2,b28,a29,a0,a3.……3分（II）由（I）知a3,B(3,0),F(1,0),F為BF的中點(diǎn)，1122Q若四邊形EBCF為平行四邊形,C,E關(guān)于F(1,0)對(duì)稱,設(shè)C(x,y),2100則E(2x,y),QE在y軸上,2x0,x2,LLLL5分0000xy4y210,Q點(diǎn)(x,y)在橢圓上,0021,021,解得y989832000依題意y210,因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,210)LLLL6分330（III）依題意直線AC的斜率存在，xy212直線AC:yk(x1),A(x,y),C(x,y)由981122yk(x1)18k289k29(k28),xx89k212得(89k2)x218k2x9(k28)0,xx121|AF|hQSAF`1O21|AF|1k|1x||x1|x1,211111xS|AE||x|1k|0x|22|AEh|AEO1111x同理可求2x21x1xx(1x)x(1x)2xxxx112112121xx122xxxx121218k22xx222k222(k28)161689k29(k28)2k28,11分1xx12k28k8289k2點(diǎn)A在第一象限,0k28,令t16,則k2816,088,即0,1611k8ttt22解得t2,即的取值范圍是t2.13分x2y14、求F、F分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).2412uuuruuuur一點(diǎn)，PFPF254，求點(diǎn)P的作標(biāo)；22（Ⅰ）若r是第一象限內(nèi)該數(shù)軸上的1（Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓交于同的兩點(diǎn)A、B，且∠ADB為銳角（其中O為作標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍.解析：本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題及推理計(jì)算能力．（Ⅰ）易知a2，b1，3．∴F(3,0)，．設(shè)P(x,y)(x0,F(3,0)y0)．則c123uuuruuuurPFPF(3x,y)(3x,y)x2y235，又，x2y124412x1x12聯(lián)立，解得3y243P(1,)3，．y2x22y2144（Ⅱ）顯然x0不滿足題設(shè)條件．可設(shè)l的方程為ykx2，設(shè)A(x,y)B(x,y)，．1122x2y21x24(kx2)24(14k2)x216kx1204ykx2聯(lián)立1216k，2由(16k)24(14k2)120∴xx12xx14k214k213k．①16k23(14k2)02，4k30，得24uuuruuur又AOB為銳角cosAOB0OAOB0，uuuruuur∴OAOBxxyy0又yy(kx2)(kx2)k2xx2k(xx)4121