2008年高考試題分類（3）（數(shù)學(xué)-導(dǎo)數(shù)）

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D．二、填空題1．（北京13）如圖，函數(shù)的圖象是折線段，其中的坐標(biāo)分別為，則_________；22BCAyx1O32BCAyx1O345612342．（江蘇14）對(duì)于總有成立，則=4三、解答題1．（安徽20）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)為實(shí)數(shù)。（Ⅰ）已知函數(shù)在處取得極值，求的值；（Ⅱ）已知不等式對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解:(1)，由于函數(shù)在時(shí)取得極值，所以即(2)方法一由題設(shè)知：對(duì)任意都成立即對(duì)任意都成立設(shè),則對(duì)任意，為單調(diào)遞增函數(shù)所以對(duì)任意，恒成立的充分必要條件是即，于是的取值范圍是方法二由題設(shè)知：對(duì)任意都成立即對(duì)任意都成立于是對(duì)任意都成立，即于是的取值范圍是2．（北京17）（本小題共13分）已知函數(shù)，且是奇函數(shù)．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，對(duì)任意的，，即．又所以．所以解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．所以．當(dāng)時(shí)，由得．變化時(shí)，的變化情況如下表：00所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．3．(福建21)（本小題滿分12分）已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（-1，-6），且函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.(Ⅰ)求m、n的值及函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)若a＞0，求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a-1,a+1）內(nèi)的極值.解：（1）由函數(shù)f(x)圖象過(guò)點(diǎn)（－1，－6），得m-n=-3,……①由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n,則g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n;而g(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以－＝0，所以m=-3,代入①得n=0.于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2).由f′(x)>得x>2或x<0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，0），（2，＋∞）；由f′(x)<0得0<x<2,故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）.(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),令f′(x)＝0得x=0或x=2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：X(-∞.0)0(0,2)2(2,+∞)f′(x)+0－0＋f(x)極大值極小值由此可得：當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在（a-1,a+1）內(nèi)有極大值f(O)=-2,無(wú)極小值；當(dāng)a=1時(shí)，f(x)在（a-1,a+1）內(nèi)無(wú)極值；當(dāng)1<a<3時(shí)，f(x)在（a-1,a+1）內(nèi)有極小值f(2)＝－6，無(wú)極大值；當(dāng)a≥3時(shí)，f(x)在（a-1,a+1）內(nèi)無(wú)極值.綜上得：當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)有極大值－2，無(wú)極小值，當(dāng)1<a<3時(shí)，f(x)有極小值－6，無(wú)極大值；當(dāng)a=1或a≥3時(shí)，f(x)無(wú)極值.4．（寧夏21）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）證明：曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．21．解：（Ⅰ）方程可化為．當(dāng)時(shí)，． 2分又，于是解得故． 6分（Ⅱ）設(shè)為曲線上任一點(diǎn)，由知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．令得，從而得切線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．令得，從而得切線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為． 10分所以點(diǎn)處的切線與直線，所圍成的三角形面積為．故曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線，所圍成的三角形的面積為定值，此定值為． 12分5．（江西21）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的圖像與直線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)榱畹糜蓵r(shí)，在根的左右的符號(hào)如下表所示極小值極大值極小值所以的遞增區(qū)間為的遞減區(qū)間為（2）由（1）得到，要使的圖像與直線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，只要或，即或.6．（湖南21）已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)。（I）證明：；（II）若存在實(shí)數(shù)c，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍。解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)極值點(diǎn),所以有三個(gè)互異的實(shí)根.設(shè)則當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù);當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù);當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù);所以函數(shù)在時(shí)取極大值,在時(shí)取極小值.當(dāng)或時(shí),最多只有兩個(gè)不同實(shí)根.因?yàn)橛腥齻€(gè)不同實(shí)根,所以且.即,且,解得且故.（II）由（I）的證明可知，當(dāng)時(shí),有三個(gè)極值點(diǎn).不妨設(shè)為（），則所以的單調(diào)遞減區(qū)間是,若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則,或,若,則.由（I）知，,于是若,則且.由（I）知，又當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.因此,當(dāng)時(shí)，所以且即故或反之,當(dāng)或時(shí)，總可找到使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.綜上所述,的取值范圍是.7．（遼寧22）（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)在，處取得極值，且．（Ⅰ）若，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，求的取值范圍．解：．① 2分（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，；由題意知為方程的兩根，所以．由，得． 4分從而，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增． 6分（Ⅱ）由①式及題意知為方程的兩根，所以．從而，由上式及題設(shè)知． 8分考慮，． 10分故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，從而在的極大值為．又在上只有一個(gè)極值，所以為在上的最大值，且最小值為．所以，即的取值范圍為． 14分8．（全國(guó)Ⅰ21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍．解：（1）求導(dǎo)：當(dāng)時(shí)，，在上遞增當(dāng)，求得兩根為即在遞增，遞減，遞增（2），且解得：9．（全國(guó)Ⅱ21）（本小題滿分12分）設(shè)，函數(shù)．（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；（Ⅱ）若函數(shù)，在處取得最大值，求的取值范圍．解：（Ⅰ）．因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，即，因此．經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)． 4分（Ⅱ）由題設(shè)，．當(dāng)在區(qū)間上的最大值為時(shí)，，即．故得． 9分反之，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，而，故在區(qū)間上的最大值為．綜上，的取值范圍為． 12分10．(山東21)（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，已知和為的極值點(diǎn)．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）討論的單調(diào)性；（Ⅲ）設(shè)，試比較與的大?。猓海á瘢┮?yàn)椋趾蜑榈臉O值點(diǎn)，所以，因此解方程組得，．（Ⅱ）因?yàn)?，，所以，令，解得，，．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在和上是單調(diào)遞增的；在和上是單調(diào)遞減的．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，故，令，則．令，得，因?yàn)闀r(shí)，，所以在上單調(diào)遞減．故時(shí)，；因?yàn)闀r(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．故時(shí)，．所以對(duì)任意，恒有，又，因此，故對(duì)任意，恒有．11．（四川20）（本小題滿分12分）設(shè)和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)。（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間【解】：（Ⅰ）因?yàn)橛杉僭O(shè)知：解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此的單調(diào)增區(qū)間是的單調(diào)減區(qū)間是12．(天津21)（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，其中．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍；（Ⅲ）若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．（Ⅰ）解：．當(dāng)時(shí)，．令，解得，，．當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：↘極小值↗極大值↘極小值↗所以在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)．（Ⅱ）解：，顯然不是方程的根．為使僅在處有極值，必須恒成立，即有．解此不等式，得．這時(shí)，是唯一極值．因此滿足條件的的取值范圍是．（Ⅲ）解：由條件可知，從而恒成立．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者．為使對(duì)任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)即在上恒成立．所以，因此滿足條件的的取值范圍是．13．（浙江21）（本題15分）已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)。（Ⅰ）若，求的值及曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值。（Ⅰ）解：，因?yàn)?，所以．又?dāng)時(shí)，，，所以曲線在處的切線方程為．（Ⅱ）解：令，解得，．當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，從而．當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，從而．當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而綜上所述，14．（重慶19）（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問(wèn)6分，（Ⅱ）小問(wèn)6分.）設(shè)函數(shù)若曲線y=f(x)的斜率最小的切線與直線12x+y=6平行，求：（Ⅰ）a的值;（Ⅱ）函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.解：(Ⅰ)因所以即當(dāng)因斜率最小的切線與平行，即該切線的斜率為-12，所以解得(Ⅱ)由(Ⅰ)知15．(湖北17).（本小題滿分12分）已知函數(shù)（m為常數(shù)，且m>0）有極大值9.（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若斜率為-5的直線是曲線的切線，求此直線方程.解：(Ⅰ)f’(x)＝3x2+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,則x=－m或x=m,當(dāng)x變化時(shí)，f’(x)與f(x)的變化情況如下表：x(－∞,－m)－m(－m,)(,+∞)f’(x)+0－0+f(x)極大值極小值從而可知，當(dāng)x=－m時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值9，即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1,依題意知f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.又f(－1)＝6，f(－)＝，所以切線方程為y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.16．(陜西22)本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)其中實(shí)數(shù)．（Ⅰ