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文檔簡介

在實際工作中，往往會出現(xiàn)所搜集的變量間存在較強的相關關系的情況。如果直接利用數(shù)據(jù)進行分析，不僅使模型變得很復雜，而且會帶來多重共線性等問題。主成分分析提供了解決這一問題的方法。其基本思想是將眾多的初始變量合成少數(shù)幾個相互無關的主成分變量，而這些新的變量盡可能地包含了初始變量的全部信息，然后用這些新的來代替以前的變量進行分析。主成分分析的數(shù)學模型：用原始數(shù)據(jù)矩陣X的p個變量X1,…,Xp作線性組合用矩陣表示為主成分分析的數(shù)學模型：且滿足：

矩陣U的每一行都是單位行向量，即

與Yj(i≠j,I,j=1,2,…,p)之間不相關

Yp是與Y1,Y2,…,Yp-1都不相關的X1,…,Xp的一切線性組合中方差最大的。

Y1,Y2,…,Yp的方差之和等于X1,…,Xp的方差之和。主成分的求解：主成分的求解過程就是求解轉(zhuǎn)換矩陣U的過程

計算原始數(shù)據(jù)的協(xié)方差Σ

計算協(xié)方差Σ的特征根為λ1≥…≥λp≥0，相應的單位特征向量為T1,T2,…,Tp，由這些向量構(gòu)成的矩陣記為T，即有正交矩陣T=（T1,T2,…,Tp)則可以證明：所要求的轉(zhuǎn)換矩陣U就是特征向量矩陣T的轉(zhuǎn)置，即U=T’。也就是說，所求的矩陣U的第i行就是樣本協(xié)方差陣Σ的第i大特征根對應的單位特征向量Ti。同時可以證明：第i個主成分Yi的方差就等于樣本協(xié)方差陣Σ的第i大特征根λ1主成分的方差貢獻率：主成分分析把p個原始變量X1,…,Xp的總方差分解成了p個相互獨立的變量Y1,Y2,…,Yp的方差之和主成分分析的目的是減少變量的個數(shù)，所以一般不會使用所有p個主成分，忽略一些帶有較小方差的主成分將不會給總方差帶來太大的影響。這里稱為第k個主成分Yk的方差貢獻率。第一主成分的貢獻第最大，而Y2,Y3,…,Yp的綜合能力依次遞減。主成分的方差貢獻率：若只取m(m<p)個主成分，則稱為主成分Y1,Y2,…,Ym的累計貢獻率。累計貢獻率表明Y1,Y2

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