不等關(guān)系 全省一等獎(jiǎng)

第十講方程(組)與不等式(組)的實(shí)際應(yīng)用1．理解:列方程(組)、不等式(組)解決實(shí)際問題的意義．2．掌握:列方程(組)、不等式(組)解應(yīng)用題的步驟與方法．3．會(huì)列方程(組)、不等式(組)解決實(shí)際問題．一、方程(組)與不等式(組)的實(shí)際應(yīng)用1．行程問題中的基本數(shù)量關(guān)系路程=速度×_____2．工程問題中的基本數(shù)量關(guān)系工作效率=________3．利率問題中的等量關(guān)系(1)本息和=本金+_____(2)利息=本金×利率×_____時(shí)間利息期數(shù)4．利潤(rùn)問題中的等量關(guān)系(1)毛利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(2)純利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)-其他費(fèi)用(3)利潤(rùn)率=_____5．濃度問題中的等量關(guān)系溶液的濃度=__________×100%6．日歷問題中的基本數(shù)量關(guān)系日歷中前后兩日相差__,上下兩日相差__．17【即時(shí)應(yīng)用】1．足球比賽中，勝一場(chǎng)可以積3分，平一場(chǎng)可以積1分，負(fù)一場(chǎng)得0分,某足球隊(duì)最后的積分是17分,他獲勝的場(chǎng)次最多是__場(chǎng)．2．暑假某班學(xué)生租船游覽三江，碼頭還剩下幾只船可租用，如果每船坐6人，則余下18人無船可坐；如果每船坐10人，則有船不空也不滿．則碼頭剩有_____只船．3．小悅買書需用48元錢，付款時(shí)恰好用了1元和5元的紙幣共12張．設(shè)所用的1元紙幣為x張，根據(jù)題意，列方程為_____________．55或6x+5(12-x)=484．某公司承擔(dān)了制作600個(gè)倫敦奧運(yùn)會(huì)道路交通指引標(biāo)志的任務(wù)，原計(jì)劃x天完成，實(shí)際平均每天多制作了10個(gè)，因此提前5天完成任務(wù)．根據(jù)題意，列方程為_____________．二、列方程(組)、不等式(組)解決實(shí)際問題的一般步驟1．審題:透徹理解題意,明確哪些是已知數(shù),哪些是未知數(shù),以及它們之間的關(guān)系．2．設(shè)_______:根據(jù)題意,選擇適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù),用字母表示出來．3．列_______:根據(jù)題中給出的條件,用含有所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他的未知數(shù)．4．列____________________:利用列代數(shù)式時(shí)沒有用過的等量關(guān)系或不等關(guān)系,列出方程(組)或不等式(組)．5．解____________________．6．檢驗(yàn)____________________的解是否符合題意．7．寫出_____.未知數(shù)代數(shù)式方程(組)或不等式(組)方程(組)或不等式(組)方程(組)或不等式(組)答案【即時(shí)應(yīng)用】1．小明在文具店買了2支甲品牌水筆和3支乙品牌水筆，共花了13元，甲品牌水筆比乙品牌水筆單價(jià)少1元．若設(shè)乙品牌水筆單價(jià)為x元/支,根據(jù)題意,列方程為_____________．2．某班有40名同學(xué)去看演出,購(gòu)買甲、乙兩種票共用去370元，其中甲種票每張10元，乙種票每張8元．設(shè)購(gòu)買了甲種票x張，乙種票y張，由此可列出方程組：____________．2(x-1)+3x=133．用若干輛載重量為6噸的貨車運(yùn)一批貨物，若每輛貨車只裝4噸，則剩下18噸貨物；若每輛貨車裝6噸，則最后一輛貨車裝的貨物不足5噸．若設(shè)有x輛貨車，則x應(yīng)滿足的不等式組是________________(x為正整數(shù))．【核心點(diǎn)撥】1．在列方程(組)、不等式(組)解決實(shí)際問題檢驗(yàn)時(shí),如果所列的方程為分式方程,既要檢驗(yàn)是否是原方程的解,又要檢驗(yàn)是否符合應(yīng)用題的題意．2．在行程問題里有三類量:速度、時(shí)間、路程．如果題目中速度為未知量,路程為數(shù)值且是很具體的量,那么,一般情況下選擇第三個(gè)量時(shí)間為等量關(guān)系列方程．3．解決行程問題時(shí),單位必須統(tǒng)一,有時(shí)需要借助圖形進(jìn)行思考．4．工程問題常從工作量和工作時(shí)間上考慮相等關(guān)系．

銷售問題◆中考指數(shù)：★★★★☆知識(shí)點(diǎn)睛1．利潤(rùn)問題中有四個(gè)基本量：成本(進(jìn)價(jià))、銷售價(jià)(收入)、利潤(rùn)、利潤(rùn)率．在有折扣的銷售問題中，打折問題中常以進(jìn)價(jià)不變作相等關(guān)系．2．促銷問題中，一般從“什么情況下效果一樣”分析起,并以求得的數(shù)值為基準(zhǔn)，取一個(gè)比它大的數(shù)及一個(gè)比它小的數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，預(yù)測(cè)其變化趨勢(shì)．特別提醒在尋找解決此類問題的思路方法時(shí),要明確售價(jià)、利潤(rùn)率都是針對(duì)進(jìn)價(jià)而言的,若一件商品打七折銷售,就是按標(biāo)價(jià)的70%出售．【例1】(2012·日照中考)某學(xué)校后勤人員到一家文具店給九年級(jí)的同學(xué)購(gòu)買考試用文具包，文具店規(guī)定一次購(gòu)買400個(gè)以上，可享受8折優(yōu)惠．若給九年級(jí)學(xué)生每人購(gòu)買一個(gè)，不能享受8折優(yōu)惠，需付款1936元；若多買88個(gè)，就可享受8折優(yōu)惠，同樣只需付款1936元．請(qǐng)問該學(xué)校九年級(jí)學(xué)生有多少人？【思路點(diǎn)撥】設(shè)九年級(jí)學(xué)生有x人，文具包打折前的價(jià)格為元或元．【自主解答】設(shè)九年級(jí)學(xué)生有x人，根據(jù)題意，列方程得：整理得0.8(x+88)=x，解之得x=352,經(jīng)檢驗(yàn)x=352是原方程的解．答：這個(gè)學(xué)校九年級(jí)學(xué)生有352人．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．(2011·南平中考)某商店銷售一種玩具，每件售價(jià)92元，可獲利15%，求這種玩具的成本價(jià)．設(shè)這種玩具的成本價(jià)為x元，依題意列方程正確的是()【解析】選A．本題的等量關(guān)系：2．(2011·陜西中考)一商場(chǎng)對(duì)某款羊毛衫進(jìn)行換季打折銷售．若這款羊毛衫每件按原銷售價(jià)的8折(即按原銷售價(jià)的80％)銷售，售價(jià)為120元，則這款羊毛衫每件的原銷售價(jià)為_______元．【解析】設(shè)這款羊毛衫每件的原銷售價(jià)為x元，則有80%x=120,解得x=150．答案:1503．(2012·珠海中考)某商店第一次用600元購(gòu)進(jìn)2B鉛筆若干支，第二次又用600元購(gòu)進(jìn)該款鉛筆，但這次每支的進(jìn)價(jià)是第一次進(jìn)價(jià)的倍，購(gòu)進(jìn)數(shù)量比第一次少了30支．(1)求第一次每支鉛筆的進(jìn)價(jià)是多少元？(2)若要求這兩次購(gòu)進(jìn)的鉛筆按同一價(jià)格全部銷售完畢后獲利不低于420元，問每支售價(jià)至少是多少元？【解析】設(shè)第一次每支鉛筆進(jìn)價(jià)為x元，根據(jù)題意列方程得，，解得，x=4，檢驗(yàn)：當(dāng)x=4時(shí)，分母不為0，故x=4是原分式方程的解．答：第一次每支鉛筆的進(jìn)價(jià)為4元．(2)設(shè)售價(jià)為y元，根據(jù)題意列不等式為：，解得，y≥6．答：每支售價(jià)至少是6元．

行程問題◆中考指數(shù)：★★★★★知識(shí)點(diǎn)睛常見的行程問題的三種類型1．追及問題(1)甲、乙兩個(gè)物體在同一地點(diǎn),同向出發(fā),乙先走，最后在同一地點(diǎn)的行程問題等量關(guān)系：甲路程=乙路程，甲速度×甲時(shí)間=乙速度×(甲時(shí)間+乙先走的時(shí)間)．(2)甲、乙兩個(gè)物體從不同地點(diǎn),同時(shí)同向出發(fā),乙在甲的前面，最后在同一地點(diǎn)的行程問題等量關(guān)系：甲路程-乙路程=原相距路程．2．相遇問題甲、乙兩個(gè)物體同時(shí)從不同地點(diǎn)出發(fā),相向而行，最后相遇的行程問題等量關(guān)系：甲路程+乙路程=兩地的路程，甲速度×相遇時(shí)間+乙速度×相遇時(shí)間=兩地的路程．知識(shí)點(diǎn)睛3．航行問題的等量關(guān)系：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度,逆水速度=靜水速度-水流速度．

特別提醒1．要想學(xué)好行程問題，基本的公式必須要記牢,而且還要真正理解其含義，做到能夠靈活運(yùn)用．2．做題時(shí)一定要養(yǎng)成畫圖的好習(xí)慣,這對(duì)分析解題起到很大的作用．

【例2】(2011·連云港中考)根據(jù)我省“十二五”鐵路規(guī)劃，連云港至徐州客運(yùn)專線項(xiàng)目建成后，連云港至徐州的最短客運(yùn)時(shí)間將由現(xiàn)在的2小時(shí)18分縮短為36分鐘，其速度每小時(shí)將提高260km．求提速后的火車速度．(精確到1km/h)【教你解題】

設(shè)提速后的速度為xkm/h，則提速前的速度是(x-260)km/h．

等量關(guān)系：火車提速前后連云港至徐州的路程相等，列方程：解方程得x≈352．

提速后的速度約為352km/h．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】4．(2012·內(nèi)江中考)甲車行駛30千米和乙車行駛40千米所用的時(shí)間相同，已知乙車每小時(shí)比甲車多行駛15千米．設(shè)甲車的速度為x千米/小時(shí)，依題意列方程正確的是()【解析】選C．甲車的速度為x千米/小時(shí)，則乙車的速度是(x+15)千米/小時(shí)；甲車行駛30千米需要的時(shí)間是：小時(shí)，乙車行駛40千米需要的時(shí)間是小時(shí)，因?yàn)檫@兩個(gè)時(shí)間相同，所以，故選C．5．(2011·崇左中考)元代朱世杰所著《算學(xué)啟蒙》里有這樣一道題：“良馬日行兩百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”請(qǐng)你回答：良馬_______天可以追上駑馬．【解析】設(shè)良馬x天可以追上駑馬，根據(jù)題意，得240x=150(12+x),解得x=20．所以良馬20天可以追上駑馬．答案:206．(2012·桂林中考)李明到離家2.1千米的學(xué)校參加初三聯(lián)歡會(huì)，到學(xué)校時(shí)發(fā)現(xiàn)演出道具還放在家中，此時(shí)距聯(lián)歡會(huì)開始還有42分鐘，于是他立即步行(勻速)回家，在家拿道具用了1分鐘，然后立即騎自行車(勻速)返回學(xué)校.已知李明騎自行車到學(xué)校比他從學(xué)校步行到家用時(shí)少20分鐘，且騎自行車的速度是步行速度的3倍．(1)李明步行的速度(單位：米/分)是多少？(2)李明能否在聯(lián)歡會(huì)開始前趕到學(xué)校？【解析】(1)設(shè)步行速度為x米/分，則自行車的速度為3x米/分．根據(jù)題意得：得x=70．經(jīng)檢驗(yàn)x=70是原方程的解．答：李明步行的速度是70米/分．(2)根據(jù)題意得:∴李明能在聯(lián)歡會(huì)開始前趕到學(xué)校．

工程問題◆中考指數(shù)：★★★★★知識(shí)點(diǎn)睛工程問題是研究工作效率、工作時(shí)間和工作總量之間相互關(guān)系的一種應(yīng)用題．通常所說的“工程問題”，一般是把工作總量作為單位“1”，因此工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)．特別提醒解答工程問題的關(guān)鍵:先求出單獨(dú)做的隊(duì)或個(gè)人的工作效率,然后用工作總量“1”

除以一個(gè)隊(duì)或個(gè)人的工作效率,就可以求出一個(gè)隊(duì)或個(gè)人單獨(dú)做的工作時(shí)間．【例3】(2011·長(zhǎng)沙中考)某工程隊(duì)承包了某段全長(zhǎng)1755米的過江隧道施工任務(wù)，甲、乙兩個(gè)班組分別從東、西兩端同時(shí)掘進(jìn)．已知甲組比乙組平均每天多掘進(jìn)0.6米．經(jīng)過5天施工，兩組共掘進(jìn)了45米．(1)求甲、乙兩個(gè)班組平均每天各掘進(jìn)多少米?(2)為加快進(jìn)度，通過改進(jìn)施工技術(shù)，在剩余的工程中，甲組平均每天能比原來多掘進(jìn)0.2米，乙組平均每天能比原來多掘進(jìn)0.3米.按此施工進(jìn)度，能夠比原來少用多少天完成任務(wù)?【思路點(diǎn)撥】(1)等量關(guān)系:甲、乙兩組5天共掘進(jìn)了45米．(2)先算出按原進(jìn)度干完剩余的工程所用的天數(shù)，再算出改進(jìn)施工技術(shù)后干完剩余的工程所用的天數(shù)．【自主解答】(1)設(shè)乙班組平均每天掘進(jìn)x米，則甲班組平均每天掘進(jìn)(x+0.6)米.根據(jù)題意，得5x+5(x+0.6)=45，解得x=4.2.則x+0.6=4.8.答：甲班組平均每天掘進(jìn)4.8米，乙班組平均每天掘進(jìn)4.2米.(2)改進(jìn)施工技術(shù)后，甲班組平均每天掘進(jìn)：4.8+0.2=5(米)；乙班組平均每天掘進(jìn)：4.2+0.3=4.5(米).改進(jìn)施工技術(shù)后，剩余的工程所用時(shí)間為(1755-45)÷(5+4.5)=180(天).按原來速度，剩余的工程所用時(shí)間為(1755-45)÷(4.8+4.2)=190(天).少用天數(shù)為190-180=10(天).答：能夠比原來少用10天完成任務(wù).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】7.(2012·萬寧中考)去年年初，我國(guó)南方地區(qū)出現(xiàn)了特大“雪災(zāi)”，我市某汽車運(yùn)輸公司立即承擔(dān)了運(yùn)送16萬噸煤炭到包頭火車站的救災(zāi)任務(wù).為了加快運(yùn)輸進(jìn)度，實(shí)際每天的運(yùn)煤量比原計(jì)劃每天的運(yùn)煤量多0.4萬噸，結(jié)果提前2天完成了任務(wù)，問實(shí)際每天運(yùn)煤多少萬噸？若設(shè)實(shí)際每天運(yùn)煤x萬噸，則依據(jù)題意列出的方程為()【解析】選B.∵實(shí)際每天的運(yùn)煤量比原計(jì)劃每天的運(yùn)煤量多0.4萬噸，∴原計(jì)劃每天的運(yùn)煤量為(x-0.4)萬噸.原計(jì)劃運(yùn)煤的天數(shù)是天，實(shí)際運(yùn)煤的天數(shù)是天.∵提前2天完成了任務(wù)，∴列出的方程為8．(2011·青島中考)某車間加工120個(gè)零件后，采用了新工藝,工效是原來的1.5倍，這樣加工同樣多的零件就少用1小時(shí).采用新工藝前每小時(shí)加工多少個(gè)零件？若設(shè)采用新工藝前每小時(shí)加工x個(gè)零件，則根據(jù)題意可列方程為_______.【解析】由題知采用新工藝前每小時(shí)加工x個(gè)零件，則采取新工藝前加工120個(gè)零件需小時(shí)，采取新工藝后每小時(shí)加工1.5x個(gè)零件，加工120個(gè)零件需小時(shí).又因?yàn)椴扇⌒鹿に嚽氨炔扇⌒鹿に嚭蠖嘤?小時(shí)，所以可列方程為答案：

9．(2011·揚(yáng)州中考)古運(yùn)河是揚(yáng)州的母親河，為打造古運(yùn)河風(fēng)光帶，現(xiàn)有一段長(zhǎng)為180米的河道整治任務(wù)由A,B兩個(gè)工程隊(duì)先后接力完成.A工程隊(duì)每天整治12米，B工程隊(duì)每天整治8米，共用時(shí)20天.(1)根據(jù)題意，甲、乙兩個(gè)同學(xué)分別列出了尚不完整的方程組如下：根據(jù)甲、乙兩名同學(xué)所列的方程組，請(qǐng)你分別指出未知數(shù)x,y表示的意義，然后在方框中補(bǔ)全甲、乙兩名同學(xué)所列的方程組：甲：x表示_____________，y表示_____________；乙：x表示_____________，y表示_____________；(2)求A，B兩工程隊(duì)分別整治河道多少米？(寫出完整的解答過程)【解析】(1)甲：x表示A工程隊(duì)工作的天數(shù)，y表示B工程隊(duì)工作的天數(shù)；乙：x表示A工程隊(duì)整治的河道長(zhǎng)度，y表示B工程隊(duì)整治的河道長(zhǎng)度；(2)若解甲的方程組①×8，得：8x+8y=160③，②-③,得：4x=20,∴x=5.把x=5代入①得y=15，∴12x=60,8y=120.答：A,B兩工程隊(duì)分別整治河道60米和120米.若解乙的方程組②×12，得：x+1.5y=240③，③-①，得：0.5y=60,∴y=120.把y=120代入①，得x=60.答：A,B兩工程隊(duì)分別整治河道60米和120米.【創(chuàng)新命題】列方程解決幾何問題【例】(2011·長(zhǎng)春中考)在長(zhǎng)為10m,寬為8m的矩形空地中，沿平行于矩形各邊的方向分割出三個(gè)全等的小矩形花圃，其示意圖如圖所示.求小矩形花圃的長(zhǎng)和寬.【解題導(dǎo)引】由示意圖可以看出:大矩形的長(zhǎng)=2個(gè)小矩形長(zhǎng)+1個(gè)小矩形的寬;大矩形的寬=1個(gè)小矩形長(zhǎng)+2個(gè)小矩形的寬.【規(guī)范解答】設(shè)小矩形的長(zhǎng)為xm，寬為ym.根據(jù)題意，列方程組得解得答：小矩形花圃的長(zhǎng)和寬分別為4m,2m.【名師點(diǎn)評(píng)】通過對(duì)列方程解決幾何問題的分析與總結(jié)，我們可以得到以下該類型題目的創(chuàng)新點(diǎn)撥和解題啟示創(chuàng)新點(diǎn)撥1．根據(jù)對(duì)解決幾何應(yīng)用題的研究可以看出,要想取得理想的成績(jī),除了要具備熟練的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、熟記定義和定理外,還應(yīng)具備數(shù)學(xué)建模能力．2．關(guān)于幾何應(yīng)用題解題策略的分析,解幾何應(yīng)用題是一個(gè)復(fù)雜的認(rèn)知過程,解題者要經(jīng)歷:讀題、構(gòu)建圖形或動(dòng)手作圖、在已有圖形中搜索、從記憶中提取相關(guān)內(nèi)容、推理并最終使問題得以解決,其中包括數(shù)值計(jì)算等過程．解題啟示1．

解幾何應(yīng)用題要結(jié)合幾何圖形的特征、定理或法則來尋找等量關(guān)系，構(gòu)建方程，對(duì)結(jié)果要結(jié)合相關(guān)知識(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)．2．幾何應(yīng)用題一般涉及計(jì)算長(zhǎng)度、面積、體積等，需具備一定的識(shí)圖能力，要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，熟練掌握和應(yīng)用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)及面積、體積的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．

1．(2011·常州中考)把棱長(zhǎng)為4的正方體分割成29個(gè)棱長(zhǎng)為整數(shù)的正方體(且沒有剩余)，其中棱長(zhǎng)為1的正方體的個(gè)數(shù)為_______．【解析】由題意可知，被分割成的小正方體只能是棱長(zhǎng)為1和棱長(zhǎng)為2的兩種小正方體，故可設(shè)棱長(zhǎng)為1的小正方體有x個(gè)，棱長(zhǎng)為