2021年高考數(shù)學(xué)立體幾何壓軸題真題模擬題分類匯編：09 面面角問題（學(xué)生版+解析版）

專題09面面角問題

1.（2021?南開區(qū)模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，AB1AD,AB!/CD,

PC_L底面AB8,AB=2AD=2CD=4,PC=2a,E是尸3的中點(diǎn).

（I）求證：平面E4C_L平面PBC;

（II）若二面角尸—AC—E的余弦值為遠(yuǎn)，求a的值；

3

（III）在（H）的條件下求直線E4與平面E4C所成角的正弦值.

2.（2021?湖北模擬）在三棱柱A8C-ABC中，的，底面ABC,A4BC為正三角形，AB==2,￡是

BB1的中點(diǎn).

（1）求證：平面_L平面A4CC；

（2）求二面角3-AG-5的余弦值.

3.(2021?跳北區(qū)校級(jí)模擬)如圖，在底面為矩形的四棱錐尸-A88中，R4_L底面A88,E,尸分別

為側(cè)棱PD,P3的中點(diǎn)，且R4=AT>=243=4.

(1)證明：平面平面PCZ).

(2)若PC是平面a的一個(gè)法向量，求a與平面隹尸所成銳二面角的余弦值.

/4f*------/jtc,

H

4.（2021?迎江區(qū)校級(jí)三模）如圖（1）,平面四邊形ABZX:中，ZABC=ZD=90°,AB=BC=2,8=1,

將AABC沿8c邊折起如圖（2）,使AC為四面體ABZX7外接球的直徑，點(diǎn)N分別為AC,4）中點(diǎn).

（1）判斷直線A/N與平面A8￡）的位置關(guān)系，并說明理由;

（2）求二面角A-MN-B的余弦值.

圖⑴

5.（2021?梁園區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在直棱柱43CD-A4CQ中，底面ABC短是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZBAD=^,

朋=2.點(diǎn)E是線段AR上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.

（1）當(dāng)時(shí)，求一的值；

AD、

（2）求平面8CE與平面ABgA所成銳二面角的余弦值的取值范圍.

6.(2021?香坊區(qū)校級(jí)四模)在三棱錐P—ABC中，AABC為等腰直角三角形，AB=AC=\,PB=PC=后,

E為小的中點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱PB上靠近5的三等分點(diǎn).

(1)證明：如//平面CEF.

(2)若1ftAJ_AC,求二面角E-C尸-8的正弦值.

7.(2021?鏡湖區(qū)校級(jí)模擬)如圖所示的幾何體是由等高的半個(gè)圓柱和工個(gè)圓柱拼接而成，點(diǎn)G為弧8的

4

中點(diǎn)，且C、E、D、G四點(diǎn)共面.

(1)證明：平面跳DJ_平面8CG；

（2）若AD=AF=2,求平面比方與平面A8G所成銳二面角的余弦值.

8.（2021?孟津縣校級(jí)模擬）如圖，正四面體至8中，O是頂點(diǎn)A在底面內(nèi)的射影，E是AO中點(diǎn)，平面

BDE與棱AC交于M.

（1）求證：平面￡>ECJ_平面BMD；

（2）求二面角—C的余弦值.

9.(2021?團(tuán)風(fēng)縣校級(jí)模擬)已知AA8c為等腰直角三角形，ZE4C=90°,BC=2,將AA8D沿底邊上的

高線45折起到△位置，使NB'￡＞C=90",如圖所示，分別取"C,AC的中點(diǎn)E,F.

(1)求二面角E-。F-9的余弦值；

(2)判斷在線段A3'上是否存在一點(diǎn)M,使平面若存在，求出點(diǎn)M的位置，若不存在，說

明理由.

10.(2021?興慶區(qū)校級(jí)三模)如圖，在四棱錐尸-A3a＞中，R4_L平面488,底面A3。是菱形,

PA=AB=2,ABAD=60P.

(I)求證：直線8。_L平面/VIC；

(II)求直線形與平面皿＞所成角的正切值;

(HI)設(shè)點(diǎn)M在線段PC上，且二面角C-M3-A的余弦值為之,求點(diǎn)M到底面的距離.

7

11.(2021?新安縣校級(jí)模擬)己知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)￡、。分別是邊相、AC上的點(diǎn)，且滿足

ATCD1

—=——=一，(如圖1),將4組沿DE折起到AQE的位置(如圖2),且使AE與底面8CDE成60。角，

EBDA2

連接A|8,\c.

(1)求證：平面ABE1.平面BCZ)E；

(2)求二面角A-CD-E的余弦值.

12.(2021?路北區(qū)校級(jí)模擬)如圖所示，四棱錐P-ABCQ中，AD//BC,/4￡2=/。>。=90。，平面PCDJ_

平面ABC￡>,點(diǎn)E為線段靠近P的三等分點(diǎn)，ZACD=ZABC=APCD=45°.

(I)求證：尸￡>//平面ACE；

(II)求二面角P-AC-E的余弦值.

13.(2021?巴中模擬)如圖，四棱錐尸-AfiCD的底面ABCD是平行四邊形，B4_L平面

PA=AB=AC=2,ZABC=45°,E是棱PC的中點(diǎn)，E是平面ABE與棱產(chǎn)。的交點(diǎn).

(1)證明：平面尸平面4陽；

(2)求二面角C—AF-E的余弦值.

14.（2021?威遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬）如圖甲，E是邊長(zhǎng)等于2的正方形的邊CD的中點(diǎn)，以在、3E為折痕將

與ABCE折起，使O,C重合（仍記為。），如圖乙.

（1）證明：DEA.AB-,

（2）求二面角D—BE-A的余弦值.

15.（2021?九江三模）如圖所示，在四棱錐中，底面ABCZ）為直角梯形，BC//AD,ZCDA=9Q°,

AMEC,AMC￡＞均為等邊三角形，BC^-AD.

2

（I）求證：平面平面A88；

(II)求二面角A-MB-C的余弦值.

16.(2021?海淀區(qū)校級(jí)模擬)在四棱錐尸-ABCD中，平面PADJ_平面ABCD,底面ABCD為梯形，AB//CD,

AB1AD,且43=1,PA=AD=DC=2,PD=2&.

(I)求證：ABLPD；

(II)求二面角P-BC-。的余弦值.

17.(2021?峨山縣校級(jí)三模)如圖，四棱錐尸-他8中，底面加8是矩形，AB=2,45=4,且側(cè)面心5_1_

底面ABCD,側(cè)面F4r>_L底面/WCD,點(diǎn)尸是尸3的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E在邊8c上移動(dòng)，且24=2.

(1)證明：Q4_L底面ABCD；

(2)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上移動(dòng)，使二面角E-AF-3為60。時(shí)，求二面角尸-AE-P的余弦值.

18.(2021?重慶模擬)已知正方體A3CD-A4GA中，E,尸分別為棱RO,的中點(diǎn).

(1)求證：4，E,C,尸四點(diǎn)共面;

(2)求二面角A-EA-C的余弦值.

19.(2021?上饒模擬)如圖，在平行四邊形中，N￡)=60。，E為8的中點(diǎn)，且M=CE,現(xiàn)將平

行四邊形沿AE折疊成四棱錐P-MCE.

(1)已知M為A5的中點(diǎn)，求證：AE±PM；

(2)若平面上4￡1_平面ACBE,求二面角B-PE-C的余弦值.

20.（2021?海南模擬）如圖，在長(zhǎng)方體ABC。一A4GA中，AB=AD=2AAI,點(diǎn)、E,尸分別是棱Afi,BC

的中點(diǎn).

（I）證明：C///平面

（II）求平面耳與平面CQL所成銳二面角的余弦值.

21.（2021?遼寧模擬）用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的幾何體稱為圓臺(tái)，也可稱為“截

頭圓錐”.在如圖的圓臺(tái)OO中，上底面半徑為1,下底面半徑為2,母線長(zhǎng)為2.

（I）結(jié)合圓臺(tái)的定義，寫出截面A8co的作圖過程;

(II)圓臺(tái)截面A88與截面是兩個(gè)全等的梯形，若AB=A尸=2,求二面角E-A。-3的平面角的

余弦值.

22.(2021?太原三模)如圖，O?分別是圓臺(tái)上、下底面的圓心，A3是下底面圓的直徑，48=2002,

點(diǎn)P是下底面內(nèi)以AO2為直徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)尸不在A。?上).

(I)求證：平面APO|_L平面「。02；

(H)若002=2,ZPAB=45°,求二面角A-PQ—B的余弦值.

23.（2021?香洲區(qū)校級(jí)模擬）圖（1）是由矩形">￡?,RtAABC和菱形3尸GC組成的一個(gè)平面圖形，其中

AB=\,BE=BF=24BC=6O。，將其沿45,8c折起使得BE,3尸重合，連接DG,如圖（2）.

（I）證明圖（2）中A,C,G,。四點(diǎn)共面;

（II）求圖（2）中二面角B-AD—C的大小.

24.（2021?廈門二模）在三棱錐。一ABC中，G是AA8C的重心，尸是面8c￡>內(nèi)一點(diǎn)，且PG//平面48D.

（1）畫出點(diǎn)P的軌跡，并說明理由；

（2）C￡）_L平面/WC,AC=CD=2,BC=1,NAC8=6O。，當(dāng)GP最短時(shí)，求二面角「一AD—C的余弦

值.

D

B

25.(2021?保定二模)如圖，在多面體P-ABCD中，C￡＞_L平面P4Z),AB_L平面皿＞，且AB=2CD=合*,

c”2屈3M

AD=2,PC=-------,PDBD=--------.

55

(1)求證：平面PC￡＞；

(2)求平面依C與平面24。所成的銳二面角的大小.

D

26.（2021?凱里市校級(jí)三模）如圖，在三棱錐P-A8C中，勿，底面ABC,A48C是正三角形，“是棱A3

的中點(diǎn).

（I）在平面PAC內(nèi)尋找一點(diǎn)尸使得BF//平面尸EC,并說明理由；

（H）在第（1）的條件下，若尸eAC且直線P8與平面ACE所成角為工，求二面角C-PB-尸的余弦值.

3

27.（2021?揭陽模擬）如圖（1）,邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中，E,F分別為A3,AC上的動(dòng)點(diǎn)，EFHBC

且EF=2a（0<a<2）,中線4）與EF交于點(diǎn)O,現(xiàn)以EF為折痕把AAE尸折起，使平面A￡F_L平面耳C8,

如圖（2）所示.

4

（1）若々=—,求證：N￡*_L平面AOC；

3

（2）求二面角/—AE—3的余弦值.

A

圖⑴

28.(2021?商丘模擬)如圖，在三棱錐尸—ABC中，平面E4C_L平面ABC,AQ=QC,PA=PC=2,BC=\,

PB=6

(I)證明：BC1BQ；

(II)若BQ=三，求二面角A-PB-C的余弦值.

C

29.（2021?運(yùn)城模擬）如圖，四棱錐P-ABCD中，以_L平面A8a）且以=4.底面A8CD是平行四邊形,

且3c=2,BA=6,ZABC=60。，AC交BD于M.

（1）尸8上是否存在一點(diǎn)N,使得MN//平面B4￡）?若存在，試確定N點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由;

（2）對(duì)于（1）中的N,求二面角N-AC-8的余弦值.

30.（2021?南通四模）如圖，在四棱錐2-4｝。9中，平面抬。1.平面458,PA=PD,AB//CD,ABA.AD,

AB=\,AD=2,CD=3.直線PB與平面ABC。所成的角為45。.

（1）求證：PB1BC;

（2）求二面角A-PB-C的正弦值.

AB

專題09面面角問題

1.（2021?南開區(qū)模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形是直角梯形，AB1AD,AB//CD,

PC_L底面458,AB=2AD=2CD=4,PC=2a,E是P3的中點(diǎn).

（I）求證：平面E4C_L平面PBC;

（II）若二面角P-4C-E的余弦值為亞，求〃的值；

3

（III）在（H）的條件下求直線E4與平面E4C所成角的正弦值.

【答案】(1)見解析(2)a=2(3)—

3

【詳解】(I)證明：PCJ_底面47匚平面468，.?.4。_12。.

-,-AB=4,AD=CD=2,ABA,AD,AB//CD,;.AC=BC=2叵.

AC2+BC2=AB2,ACA.BC,

5(.BC^]PC=C,.,.ACJ_平面P8C.

?.?ACu平面E4C,

平面E4C_L平面P8C.

(II)解：如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，以國(guó)，CD,CP分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)

系，

則C(0,0,0),A(2,2,0),B(2,-2,0),

設(shè)P(0,0,2a)(a>0),則E(I,-1,a),

CA=(2,2,0),CP=(0,0.2a),CE=(1,—1,a),

取慶=(1,-1,0),則比?誣=而?而=0,.?.玩為平面R4c的一個(gè)法向量.

設(shè)方=(x,y,z)為平面E4C的法向量，則行-C4=/Cg=0,

X+V=0

，取x=a,y=—a,z=—2,則行=(a,-a,-2),

{x-y+az=0

依題意，Icos〈而，n)|=',a=,解得a=2.

I間1“1V7T23

(III)解：由(II)可得行=(2,-2,-2),PA=(2,2,-4).

設(shè)直線24與平面E4C所成角為6,

則sin”|cos〈而，如回LJ2x2+(一2)X2；(-2)X(Y)|=8克,

\PA\\n\74+4+4x74+4+1626x263

2.(2021?湖北模擬)在三棱柱ABC-AgG中，44,，底面/WC,AABC為正三角形，AB=AA]=2,￡是

BB、的中點(diǎn).

(1)求證：平面AEQ1平面4AGC；

（2）求二面角8-4G-E的余弦值.

【答案】⑴見解析⑵”

【詳解】解：（1）證明：連接AC交AG于點(diǎn)F,取AC的中點(diǎn)G,連接印，F(xiàn)G,BG

?.?四邊形AC￡A為平行四邊形，.?.尸為AC中點(diǎn)，又G為AC中點(diǎn)，.?.尸G=；例,FG//A4）,

A

又E為中點(diǎn)，；.3E=；A41，3E//A，-BE=FG,BE//FG,

四邊形3EFG為平行四邊形，

?.?AABC為正三角形，G為AC中點(diǎn)，，8G_LAC,

A4,1■平面ABC,BGu平面ABC,BG1.AA,,

XACQA4,=A,AC,平面A4CC，8G_L平面A^GC,

又EF//8G,.?.￡F_L平面441GC,

...EFU平面AEG,平面AEG_L平面AA.C.C.

(2)由(1)得，尸GJ■平面ABC，BGA.AC,

則以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，瓦,甫，麗正方向?yàn)閤,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則2(0,6,。)，A(l，0,0),C,(-l,0,2),E(0,石,1),F(0,0,1),C(-l,0,0),

CF=(1,0,1),=(-1,73,0),離=(-2,0,2),

,jAABC為正三角形，A\=AB=2,AC=AA[=2,

又44,，平面ABC,.?.四邊形AC￡A為正方形，；.AC|_LAC,

?.?平面AEGJL平面"GC,平面AEC|C平面AAC|C=AG，ACu平面A4.GC,A.C_L平面ACg,

平面ARE的一個(gè)法向量為甌=(1,0,1)；

設(shè)平面ABCt的法向量萬=(x,y,z),

n-AB=-x+yfiy=0.,r-i-

,令y=1,則x=,3,z=V3>

n-AC,=-2x+2z=0

n-(g,1,百)，：.cos<CF,n>="元-=廣=,

|CF||n|夜x>/77

由圖形可知，二面角B-A￡-E為銳二面角,

:面角3-AC1-E的余弦值為.

3.(2021?濟(jì)北區(qū)校級(jí)模擬)如圖，在底面為矩形的四棱錐P-"8中，R41.底面ABC。，E,F分別為

側(cè)棱PD,PB的中點(diǎn)，且ft4=AT)=2AB=4.

(1)證明：平面平面尸C￡).

(2)若PC是平面a的一個(gè)法向量，求a與平面AM所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)—

3

【詳解】解：(1)證明：底面ABCZ),.■.幺_LC￡>,

在矩形98中，CD±AD,

ADp\PA=A,..C￡>_L平面MD,則CD_LAE,

-.PA^AD,E為PD的中點(diǎn)，..AEA.PD,

又C￡)nPO=。，..,他，平面尸8，

AEu平面AEF,平面/A￡F_L平面PCD；

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以4°,AB,AD所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

4(0,0,0),P(4,0,0),E(2,0,2),F(2,I,0),C(0,2,4),

荏=(2,0,2),而=(2,1,0),1=(-4,2,4),

設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為元=(x,%z),

n-AE=2x+2z=0.

在4__.，取x=l,得zr萬=(1,-2,-1),

故a與平面AEF所成銳二面角的余弦值為—

4.（2021?迎江區(qū)校級(jí)三模）如圖（1）,平面四邊形4?￡心中，ZABC=ZD=90°,AB=BC=2,CD=\,

將AABC沿3c邊折起如圖（2）,使AC為四面體AB/X?外接球的直徑，點(diǎn)M,N分別為AC,A￡>中點(diǎn).

（1）判斷直線A7N與平面的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）求二面角A-MN-3的余弦值.

【答案】（1）見解析

【詳解】解：（1）AC為四面體/WZX7外接球的直徑，則NADC=90。，可得8_LAD,

又由CD_LB￡>,且AD.80u平面鉆。，

所以C￡>1,平面

因?yàn)镸,N分別為AC,AD中點(diǎn)，可得MN”CD,

所以MN_L平面43￡>.

（2）以。為原點(diǎn)，射線03為y軸建立如圖直角坐標(biāo)系,

則4(0,6,2),8(0,"o),C(-l,0,0),,1),7V(0,—,1),

222

可得麗=(1L0,0),^V=(0,-—,-l),^V=(0,-—,1),

222

—.1

玩?MV=-x=0

2

設(shè)平面4WN的法向量為力=（x，y“Z|）,則,

——G

m-AN=---%-Z[=0

取可得%=0,4=-1,所以慶=(O,G,-g)

―.1

=—乏)=0

22

設(shè)平面3AW的法向量為”=（X2，/2，Z2），則<

n?BN=~~~~y2+z2=0

取力=有，可得為=（0,6,§

-?-3--

所以cos(7??,n)=市"=---,故二面角A-MN-3的余弦值」.

\m\-\n\3+277

4

5.（2021?梁園區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在直棱柱A3CZ）-A8CQ中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，NBAD=?

例=2.點(diǎn)七是線段AR上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.

（1）當(dāng)BE，4G時(shí)，求7的值；

/iL7Z|r

（2）求平面BCE與平面A8B|A所成銳二面角的余弦值的取值范圍.

【詳解】解：（1）如圖,

作AD中點(diǎn)F,連接跖，BF,

因?yàn)锳O//BC，BE_L81G，

所以AO_L3E,

在菱形A8CO中NBA￡>=2,尸為A力中點(diǎn),

3

所以BF_LA。，

因?yàn)?萬0|8產(chǎn)=B,BE,BFu平面BEF,

所以AOJ_平面BEF,

因?yàn)榉纔平面6EF,

所以A力_LEF,

所以EF//DR,

因?yàn)槭瑸?）中點(diǎn)，

所以后為49中點(diǎn)，

AE1

即Bn---=-.

AZ）,2

（2）連接4C，BD交于點(diǎn)O,連接AC-BQ交于點(diǎn)0「

?.?棱柱A38-A4G。為直棱柱，且底面ABCD為棱形，

:.AC,BD,。01兩兩垂直，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,OB,001為x,y,z軸建立如圖所空間直角坐標(biāo)系,

易解得08=1,04=6,

則A(50,0),8(0,I,0),第(0,1,2),D,(0,-1,2),C(-60,0),

福=(一6,-1,2),麗=(-6,1,0),函=(0,0⑵,BC=(->/3,-l,0),

設(shè)荏=/碣/€(0,1),解得E(-6r+/,T2),

貝|」麗=（-6+6--1,2，），

設(shè)平面ABB|A的法向量為所=（占，%，4），平面8CE的法向量為力=（々，％,z2）,

則[所,A月+X=。n-BC=_6工2一%=0

m-BB[=2zj=0n-HE=+_Q+I)%+2fz,=0

取西=1,則撫=（1,石,0）,取々=1,則為=（1,-6,-、一）,

設(shè)平面BCE與平面ABBA所成銳二面角為。，

則e鼎

故平面BCE與平面ABB^所成銳二面角的余弦值的取值范圍為

6.（2021?香坊區(qū)校級(jí)四模）在三棱錐P—/WC中，A/U5C為等腰直角三角形，AB=AC=1,PB=PC=也，

E為R4的中點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)，尸為棱尸8上靠近8的三等分點(diǎn).

（1）證明：BD"平面CEF.

（2）若卓_LAC,求二面角E—CF-3的正弦值.

【答案】（1）見解析（2）—

9

【詳解】解：（1）證明：連接叨且交CE于點(diǎn)7,連接FT.

由題意可知，PD,CE為中線，所以T為重心，變!=四=2

\FB\\TD\1

所以口//8D,口u平面CE尸，8￡）仁平面C￡F,

所以3￡>//平面CEF.

(2)因?yàn)锳4_LAC,AC=\,PC=#),所以P4=2

又因?yàn)??=AC,PB=PC，所以=「序即R4_LAB

所以AB,AC,AP兩兩垂直.故以A為原點(diǎn)，AB,AC,Q為x軸，y和,z軸的正半軸建立空間直

角坐標(biāo)系，由圖可知，E(0,0,1),C(0,1,0),F(|,0,|).8(1,0,0).

所以就=(0,1,-1),CF=(|,-1,|),而=(；,0,-|)

設(shè)平面CEF的法向量為4=(x,y,z)

.——?y—z=0

則有,3巴°即,22可令x=l,y=z=2

nCF=0-x-y+-z=0

't'133

所以1=(1,2,2),

設(shè)平面CFB的法向量為后=（x,y,z）

22

-X-y+—z=0

?2CF=033

則有v即＜可令％=y=2，Z=1

12八

三.麗=0—X——z=0

33

所以鼠=(2,2,1),

8

Ix2+2x2+2xl-

因?yàn)镮cos<￡石>H，七H9-

kjl^lV12+22+22XV22+22+12

所以sin>=

即二面角E-CF-B的正弦值為姮

9

7.（2021?鏡湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示的幾何體是由等高的半個(gè)圓柱和2個(gè)圓柱拼接而成，點(diǎn)G為弧8的

4

中點(diǎn)，且C、E、D、G四點(diǎn)共面.

（1）證明：平面9D_L平面8CG;

（2）若4）=AF=2,求平面5DP與平面AfiG所成銳二面角的余弦值.

【詳解】解：（1）證明：如圖，連接CE,

因?yàn)閹缀误w是由等高的半個(gè)圓柱和1個(gè)圓柱拼接而成,

所以NEa)=NZX7G=45°,NECG=90°,CELCG，

因?yàn)锽C//EF,BC=EF,

所以四邊形8CE尸為平行四邊形，BF//EC，BFLCG，

因?yàn)?CJ?平面4小，8Fu平面43尸，所以BC_LBF,

因?yàn)锽Cn)CG=C,所以附1.平面3CG,

因?yàn)橐驗(yàn)锽Fu平面BED,所以平面3牝＞，平面BCG.

(2)如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0)、8(0,2,0)、F(2,0,0)、0(0,0,f)、G(-l,1,2),

福=(0,2,0),而=(-1,1,2),麗=(-2,2,0),麗=(-2,0,2),

設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為萬=(x,y,z),

則卜方二°,整理得卜？+?=，令z=l,則”(1,1,1),

n-FD=O[-2x+2z=0

設(shè)平面ABG的一個(gè)法向量為沅=(x',y',z'),

則件竺=0,整理得匕0令z'=l,則海=(2,0,1),

慶?而=0l-x+y+2z=0

/八_fn-n_而

cos〈成,n)=---------=------,

\m\-\n\5

所以平面8。尸與平面ABG所成銳二面角的余弦值為半.

8.(2021?孟津縣校級(jí)模擬)如圖，正四面體中，O是頂點(diǎn)A在底面內(nèi)的射影，E是AO中點(diǎn)，平面

BDE與棱AC交于M.

(1)求證：平面￡>EC_L平面3MD；

(2)求二面角￡)-80一。的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)曲

9

【詳解】(1)證明：延長(zhǎng)CO與皿交于N,設(shè)正四面體A58的棱長(zhǎng)為

則OVJ_3￡),CN=CDsin600=—a,CO=-CN=—a,

233

所以AO=y/AC2-CO2==存,

乂。為正三角形BCD的中心，

則OC=O3=O￡>,

所以EB=EC=ED=y/C02+OE2=

由勾股定理可得，CE2+DE2=CD2=DE2+BE2=DB2=BE2+CE2=BC2=a2,

故CE,DE,BE1兩兩垂直，

又DE,BEu平面BMD,DE^]BE=E,

所以CEL平面3ME＞，

因?yàn)镃Eu平面DEC,

故平面DEC_L平面BMD；

(2)解：取O為坐標(biāo)原點(diǎn)，BD.ON,方向?yàn)閤、y、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-砂,

如圖所示，

則A(0,0,邁a),B(--a,—a,0),C(0,-—?,0),E(0,0,—?),

32636

設(shè)平面ABC的法向量為m=(x,y,z),

r_ygn--ax+—ay--az=0

則"A8=0,gp263

m-AC=06瓜

-----ay------az=0

I33

令z=—1,則w=(76,^2,-1),

由（1）可知，平面3DM的一個(gè)法向量是醞=

不妨取a=6,可得屈=（0,2百,次）,

CE-thQ+2屈-R

則cos<CE,m>=

\CE\-\m\3-3429

因?yàn)槎娼恰?gt;-BW-C的平面角為銳角,

故二面角Q-RW-C的余弦值為且.

9.（2021?團(tuán)風(fēng)縣校級(jí)模擬）已知AABC為等腰直角三角形，Zfi4C=90°,BC=2,將沿底邊上的

高線45折起到△43Z>位置，使N8'OC=90°,如圖所示，分別取"C,AC的中點(diǎn)E,F.

（1）求二面角E-Z）尸一9的余弦值;

（2）判斷在線段鉆'上是否存在一點(diǎn)〃，使平面B'DF?若存在，求出點(diǎn)M的位置，若不存在，說

明理由.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【詳解】解：（1）由題意可知，AD±ffD,ADA.CD,B'DJ.CD,且AD=87）=8=1,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則尸(工，,0),外0，，),a(0,0,1),4(1,0,0)?(0,0,0),

2222

___1111——.

所以。E=(0,—,0),。8=(0,0,1),

2222

設(shè)平面￡7Z)的法向量為所=(x,y,z),

則卜?竺=。，""5,

向前=oL+L=。

[22’

令x=l,則y=-l,z=l,

故所=(1,一1,1),

同理可得平面？。的法向量為"=(1,-1,0),

所以|cos＜為，成＞|=戊""=--j-2廣=顯,

I?疣|瘴|5/3x723

所以二面角E—DF—F的余弦值為當(dāng)；

3

(2)假設(shè)在線段AB'上存在一點(diǎn)M,使得￡MJ_平面用DF,

設(shè)AM，=AAB!,

因?yàn)閊7njl,。/)，所以而?=(-Z(M),

則麗=麗+汨=(1,(),0)+(-/1,0,/1)=(1-義，0,2),

故砒=詼_麗=(/1_1_」_幻，

22

當(dāng)平面時(shí)，nl/'ME,

即存在實(shí)數(shù)%,使得萬==—1一——2)，解得4=

222

所以AA/=—福，

2

故存在點(diǎn)M是線段AB'的中點(diǎn)時(shí)，EM_L平面875F.

10.(2021?興慶區(qū)校級(jí)三模)如圖，在四棱錐尸-XBCD中，R4_L平面ABCD,底面是菱形,

PA=AB=2,ABAD=60°.

(I)求證：直線8￡>J_平面R4C；

(ID求直線尸8與平面外。所成角的正切值；

(III)設(shè)點(diǎn)M在線段PC上，且二面角C-MB-A的余弦值為*,求點(diǎn)M到底面/W8的距離.

7

7

【答案】(1)見解析(2)1或會(huì)

7

【詳解】(I)證明：由菱形的性質(zhì)可知，BDLAC,

因?yàn)镽4_L平面ABCD,口.BDu平面A8C￡>,

則a.AP^\AC=A,AP,ACu平面叫C,

故801.平面PAC；

(II)解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則P(0,0,2),B(60,0),40,0,0)40,2,0),

所以方=(行,1,-2),

由平面皿)的一個(gè)法向量為力=(1,0,0),

設(shè)直線網(wǎng)與平面RW)所成的角為，，

所以sin。=|cos<PB,in>|=〔)*濟(jì)〔=￡,

故cos0=\J\-sin20

sin。_'715

所以tan。=

cos。5

故直線依與平面PAD所成角的正切值為半；

(III)解：設(shè)M(x,y,z),且而=/11(既睨I),

因?yàn)镻(0,0,2),C(6,3,0),B?,0),A(0,0,0),

所以(x,y,Z-2)=2(6,3,-2).

解得x=G/i,y=3/1z=—22+2,

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(百尢3尢-2/1+2),

設(shè)平面CWfi的法向量為為=(a,/?,c),

n-CB=-2b=0

則

n-MB=(y/3-43A)a+(.]-3A)b+(2A-2)c=0，

令a=2,則c=G

故元=(2,0,右)，

設(shè)平面MB4的法向量為7=(p,q,r),

f-AB=6p+q=0

則

J-MB=(y/3->/3A)p+(\-3A)q+(2A-2)r=0

令p=1,則q=-g,r=避Z,

1-A

因?yàn)槎娼荂-MB-A的余弦值為9,

7

2+"

所以-----,IT5

J1+3+3/1y7

V(If

整理可得14萬—192+6=0,

解得;1=，或/l=￡,

27

7

由點(diǎn)時(shí)的坐標(biāo)可知點(diǎn)M到底面458的距離為1或士.

7

11.（2021?新安縣校級(jí)模擬）已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)￡、。分別是邊4?、AC上的點(diǎn)，且滿足

絲=C2=_1,（如圖1）,將4DE沿瓦折起到4QE的位置（如圖2）,且使與底面3CDE成60。角，

EBDA2

連接AB,AC.

（1）求證：平面ABE1■平面3CDE;

（2）求二面角A-CD-E的余弦值.

3月

【答案】（1）見解析（2）

13

12

【詳解】（1）證明：折疊前，在圖1中，AE=-AB=2,AD=-AC=4,ZDAE=60°,

33

由余弦定理可得，DE123=AD2+AE2-2ADAE-cosZEAE=U,

則Afz+D^uAD2,所以DELAB,

折疊后，在圖2中，對(duì)應(yīng)的有￡>E_LAE，DELBE,

又AEp|OE=E,人后，￡)￡u平面ABE,

所以￡>EJ_平面ABE,

乂短Eu平面8C￡>E，

故平面ABE_L平面BCDE；

(2)解：過點(diǎn)A在平面ABE內(nèi)作A"，BE,垂足為A/,

因?yàn)槠矫鍭BEJ_平面8a應(yīng)，且平面ABEC平面5CDE=BE,4Mu平面4BE,

所以AM_L平面3CDE,

則直線AE與平面BCDE所成的角為乙4,EM=60。，

因?yàn)镈EL平面ABE,

則以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

故4(1,0,行),磯0,0,0),。(0,26,0),(?(1,36,0),

設(shè)平面\CD的法向量為歷=(x,y,z),

因?yàn)榉?(l,G,0),西=(L-2g,有)，

n.\tn-DC=x+y/3y=0

則4一.二L，

m-D\=x-2V3y+V3z=0

令x=\/5,貝!Iy=-1,z=-3,

故玩=(6,一1,一3),

又平面CDE的一個(gè)法向量為萬=(0,0,1),

\m-n\_3_3\/13

所以ICOS<而，萬>1=

I而II五廠而--iF

故二面角A.-CD-E的余弦值為嚕.

12.（2021?路北區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，四棱錐尸-ABCD中，AD//BC>NAE>C=NC7Y）=90。，平面尸CE>_L

平面A8C￡>,點(diǎn)E為線段R3靠近P的三等分點(diǎn)，ZACD=ZABC=APCD=45°.

（I）求證：/>￡>//平面ACE；

（II）求二面角P—AC—E的余弦值.

【詳解】（I）證明：設(shè)8=°,在RtAACD中，CD=a,ZACD=45°,

則=AC=sl2a,

又ZABC=45°,ZBC4=90o-45°-45°,

則ABAC為等腰直角三角形，所以A8=AC=0。，，BC=2a,

在RQCPD中，CD=a,"CD=45°,所以PD=PD=^a,

2

又因?yàn)槠矫鍼CDL平面438,平面PCOC平面4?8=CD,BCYCD,

則BC_L平面PCD,又PCu平面「8,

所以8c_LPC,BPZBCP=90°,

取8的中點(diǎn)為O,連接。P,過點(diǎn)O作CO的垂線，

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則P(W，0,0),r?(0,￡0),A(0,￡a),C(0,—￡0),8(0,-￡2公，

22222

所以PD=(--,-,0),C4=(0,a,a),PB=(----,2a),

2222

又因?yàn)镋為P8的三等分點(diǎn)，

貝ijp￡△而，

3

設(shè)E(x()，y0,z0),

則方=(x?！?/p>

所以，，解得，為=一,。，

66

故a,-a),

363

___i2i

則恁=一§a),

設(shè)平面AEC的法向量為萬=(x,y,z),

rKa2aa

n?AE=—x----y——z=0

則J33.3,

n-CA=ay+az=0

令y=l,貝Uz=-1,x=l,

故*=(1,1,7),

所以4?萬=-@xl+4xl-0xl=0,

22

則而_L萬，

又如仁平面ACE,

故PD//平面ACE；

(II)解：由(I)可知，PA=(--,-,a),CA=(0,a,a),

22

設(shè)平面PAC的法向量為成=(p,q,r)，

m-PA--—p+—q+ar-0

則J22,

m-CA=aq+ar=0

令夕=1,則r=-l,p=-l,

故，力=(—1,1,—1)，

又因?yàn)槠矫鍭CE的法向量為n=(1,1,-1),

所以|COS<玩，萬>1=所"I=/1]_=-,

I歷II萬IJ1+1+1XV1+1+13

因?yàn)槎娼荘—AC-E為銳角,

故二面角P-AC-E的余弦值為-.

3

13.(2021?巴中模擬)如圖，四棱錐尸-ABCD的底面旗8是平行四邊形，A4平面ABCZ),

PA=AB=AC=2,ZABC=45°,E是棱PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面4組與棱/>￡)的交點(diǎn).

(1)證明：平面PBC_L平面ABE；

(2)求二面角C—AF—E的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)2

【詳解】解：(1)證明：：四棱錐P-ABCD的底面98是平行四邊形，小_L平面他CD,

PA=AB=AC=2,ZABC=45°,E是棱PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面A8E與棱PD的交點(diǎn).

.-.ABYAC,

以A為原點(diǎn)，A3為x軸，4c為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則尸(0,0,2),8(2,0,0),C(0,2,