2021年高考數(shù)學(xué)全真模擬黃金卷04（文）（新課標(biāo)Ⅲ卷）（解析版）

黃金卷04(新課標(biāo)III卷)

文科數(shù)學(xué)

本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.已知集合67={x|y=log2(x+2)},A={x[(x-l)(x-a)<0},若CuA=[L+8),則實(shí)數(shù)。的值為()。

A、-2

B、-1

C、1

D、2

【答案】A

【解析】???U={x|y=log2(x+2)}={x|x>—2},又CUA=[1,+8),AA=(-2,1),

又A={x[(x-l)(x-a)<0},二一2、1是方程(工一1)(%—。)<0的兩個(gè)根，。=一2,故選A。

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足W(3+2i)=汽則復(fù)數(shù)z=()o

-2+3z

A、

13

2+3i

B、

13

3-2Z

C、

13

3+2/

D、

13

【答案】A

戶___-3i+2/__2_3i.-2+3/

..z=-,--故---選Ao

3+2i-(3+2z)(3-20-~13—-1313

3.某裝修公司為了解客戶對(duì)照明系統(tǒng)的需求，對(duì)照明系統(tǒng)的兩種設(shè)計(jì)方明系統(tǒng)評(píng)分面達(dá)圖案在穩(wěn)固性、創(chuàng)

新性、外觀造型、做工用料以及成本五個(gè)方面的滿意度評(píng)分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制出如圖所示的雷

照明系統(tǒng)評(píng)分雷達(dá)圖

達(dá)圖，則下列說(shuō)法正確的是()。

A、客戶對(duì)兩種設(shè)計(jì)方案在外觀造型上沒(méi)有分歧

B、客戶對(duì)設(shè)計(jì)一的滿意度的總得分高于設(shè)計(jì)二的滿意度的總得分

C、客戶對(duì)設(shè)計(jì)二在創(chuàng)新性方面的滿意度高于設(shè)計(jì)一在創(chuàng)新性方面的滿意度

D、客戶對(duì)兩種設(shè)計(jì)方案在穩(wěn)固性和做工用料方面的滿意度相同

【答案】B

1

【解析】根據(jù)雷達(dá)圖可列表如下:

評(píng)分類別穩(wěn)固性創(chuàng)新性外觀造型做工用料成本

設(shè)計(jì)一得分8分8分8分10分10分

設(shè)計(jì)二得分8分8分10分8分9分

根據(jù)表格分析可得A、C、D錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確，故選B。

4.函數(shù)/(x)=的大致圖像是()。

ln(x+1)

【解析】由題意可知/(x)的定義域?yàn)椋鸛|XHO｝,?；/(—X)=sm(-j)=一￥^=_/(力，

ln[(-x)+1]ln(x-+1)

???/(x)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，???C不對(duì)，

.71

?＞sin一[

???/(砌=：\兀=0,...A不對(duì)，又/弓)=一=一5一＞0.故選B。

In(A兀~+1)2]/兀八1/兀~八

44

5.已知等差數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為凡=31-加(fwZ),當(dāng)且僅當(dāng)〃二10時(shí)，數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和5〃最大，

則當(dāng)Sq=-10時(shí)，k=()o

A、20

B、21

C、22

D、23

【答案】A

【解析】由題意可知，=解得衛(wèi)＜/＜衛(wèi)，又讓2,貝卜=3,..?/=31-3〃，

%=31-1101110

.°(59-3〃)”.°(59-3母...

"22

即342_59左一20=0,女=20或%=一』(舍)，故選A。

3

6.宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名若《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問(wèn)題：松長(zhǎng)五尺，竹長(zhǎng)兩尺，松日自半，竹日自

倍，松竹何日而長(zhǎng)等。下圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的。、b分別為5、2,則輸出的〃=()。

A、2

B、3

2

C、4

D、5

【答案】C

【解析】模擬程序運(yùn)行，可得：a=5、b=2,

15

H=1,Cl=一，b=4,不滿足。工人，執(zhí)行循環(huán)，

2

45

n=2，ci=—:力=8,不滿足aWb,執(zhí)行循環(huán)，

4

135

九=3,a=-,--〃=16,不滿足。<〃，執(zhí)行循環(huán),

8

405

n=4,6/=—,8=32,滿足退出循環(huán)，輸出〃的值為4,故選C。

16

7.若函數(shù)〃幻=1§（62一2工+4）的值域?yàn)??,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）。

A、(-1,0)

B、(0,1)

C、[0,1]

D^（1,+8）

【答案】C

【解析】等價(jià)于8。）=以2-2x+a的值域能取到（0,+8）內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，

若。=0,則g（x）=-2x,可取，

若axO,則需a〉0，A>0,解得0<a41,

“的范圍為[0,1],故選C。

8.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相

等，相傳這個(gè)圖形是阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn)?，F(xiàn)有一底面半徑與高的比值為j的圓柱，則該圓柱的表

2

面積與其內(nèi)切球的表面積之比為（）。

A、4:3

B、3:2

C、2：1

D、8:3

【答案】B

【解析】設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則圓柱的面半徑為R,高為2R,

22

故圓柱的表面積$=2兀尸+2成-2R=6TI/?,內(nèi)切球的表面積S2=4TI/?,

3

...該圓柱的表面積與其內(nèi)切球的表面積之比為&■=4=3,故選B。

2

S24K/?2

22

9.己知雙曲線C：鼻一斗=1(。>0,匕>0)的左焦點(diǎn)為F,過(guò)原點(diǎn)的直線/與雙曲線左、右兩支分別交

礦b"

于點(diǎn)P、Q,且滿足IQW-IP尸|=8,虛軸的上端點(diǎn)8在圓f+(y—3尸=1內(nèi)，則該雙曲線離心率的取值

范圍為()。

A、(岑，血)

B、(72,73)

C、(^^，2)

D、(年，2)

【答案】A

【解析】設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為尸'連接尸尸、QF',如圖所示，

由對(duì)稱性可知，P、。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則|OP|=|OQ|,\QL/1

又|OF'|=|O尸|,.?.四邊形尸殖尸'為平行四邊形，__.

???IMHQF'I，則IQFI-IP用=IQF|—|Q尸'l=2a=8,...a=4,孝］\

?.?虛軸的上端點(diǎn)8(0,份在圓產(chǎn)+(y-3)2=1內(nèi)，

02+(/>-3)2<1,解得2<8<4,則2<“2-a2<4,即2<“2-16<4,

得26<c<4上，/.e=-e(—,72),故選A。

a2

10.關(guān)于函數(shù)f(x)=|cosx|-|sin|x||有下述四個(gè)結(jié)論:①/(x)是偶函數(shù):②/(%)是周期為兀的函數(shù);③/(%)

在區(qū)間(兀，日)上單調(diào)遞減；④F(x)的最大值為后。其中正確結(jié)論的編號(hào)為()。

A、①②③

B、①②④

C、①③④

D、②③④

【答案】A

【解析】函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽，由/(-%)Hcos(-x)|-1sin|-x|Hcosx|-1sin|x||=/(x),

???/(x)是偶函數(shù)，①正確，

f(x+it)=|cos(x+n)|-1sin|(x+n)||=|cosx|-1sin|x||=/(x),

4

???/(%)是周期為九的函數(shù),②正確,

當(dāng)XWS苧時(shí)，〃x-+si…國(guó)噸寸,

則/(X)在區(qū)間(無(wú),手)上單調(diào)遞減，③正確,

當(dāng)xe[0,a]時(shí)，/(x)=cosx-sinx=-V2sin(x--^)e[-l,l],

當(dāng)xe(S，兀)時(shí)，/(x)=-cosx-sinx=-V2sin(x+e(-1,1)?

又由②知f(x)是周期為兀的函數(shù)，,f(x)的值域?yàn)?④正確,

故選Ao

11.函數(shù)，(%)=12一111_￥+如00恰有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()。

A、(-3,-1]

B、(-2,-1]

ln3ln2

C、-----〃

32

(*2,-1]

D、

【答案】C

【解析】/(冗)的定義域?yàn)?0,+8),

f(x)^x2-]nx+ax<0恰有兩個(gè)整數(shù)解等價(jià)于a<--x恰有兩個(gè)整數(shù)解，

X

令g(x)=5^-x，定義域?yàn)?0,+8),g\x)-1-lnx-x2

XX2

令人(%)=1一Inx-x二易知〃(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，h(l)=0,

則當(dāng)Ovxvl時(shí)h(x)>0,g'(x)>0,g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

當(dāng)了>1時(shí)h[x)<0,gr(x)<0,g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

B小I小、m2cr、ln3c

又g⑴=T，g(2)=—-2,g(3)=--3,

由題意可知：g(3)<a〈g(2),號(hào)一3<〃4(一2,故選C。

12.已知正四面體P—ABC內(nèi)接于球。，點(diǎn)E是底面三角形ABC一邊A8的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作球。的截面,

若存在半徑為g的截面圓，則正四面體P-ABC棱長(zhǎng)的取值范圍是()。

A、[72,73]

B、[瓜國(guó)

5

C、［272,273］

D、［2后2病

【答案】C

【解析】如圖，在正四面體P—A3C中，設(shè)頂點(diǎn)尸在底面的射影為01,

則球心。在PO|上，01在CE上，連接QE、OC,

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a,

V6

則正四面體的高尸。1=』PC2-0Q==—CI>

3

設(shè)外接球半徑為R，

=(/a-/?)2+(#a)2,解得R=

在R/AOO|C中，。。2=。0；+℃2,即甯

在用AOO1￡中,0E=JO0；+O|E2

過(guò)E點(diǎn)作外換球。的截面，只有當(dāng)OE_L截面.圓所在的平面時(shí)，截面圓的面積最小,

此時(shí)截面圓的半徑為r=^R2-OE2=，(苧。)2-(苧a/=,

最大截面圓為過(guò)球心的大圓，半徑為尺=巫“，

4

由題設(shè)存在半徑為6的截面圓，百4逅。，解得2近＜a426,故選C。

24

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知Z與3均為單位向量，且1_1_日+工)，則[與■的夾角是。

27r

【答案】—

3

【解析】?.工與3是單位向量，，日|=|各0，設(shè)向量1、3的夾角為。，

a_L(a+2Z?),，Q?(Q+2Z?)=0,HPa+2a?b=a+21?|?|^|-cosG=1+2cos0=0,

12K

COS0=——，又。￡[0,兀],/.0=一。

23

x-y+lNO

14.已知實(shí)數(shù)小y滿足不等式組＜工+丁-320,若一十丁的最大值為團(tuán),最小值為〃，則根—〃=________

[x＜2

17

【答案】-

2

6

【解析】z=x2+/表示可行域中的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，

由圖可知點(diǎn)B（2,3）到原點(diǎn)的距離最大，m=zmax=13,

原點(diǎn)到直線x+y-3=0的距離為可行域中點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值,

設(shè)距離為d,則d=L立，n=d2=—,m—n,故選B。

V222

15.已知數(shù)列｛6｝的各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，其前〃項(xiàng)和為S“，且滿足2s“=-片+%,貝iJSs=

【答案】-15

[解析]由2S“=-a；,+an,可得2S?+l=-a^+l+an+l,

兩式相減得：2（*用一5“）=一（”3-寸）+（勺+I-4）,

即2a“+]=-（*]-扁+（a二一%）,二（。向+??）?（??+1-??+1）=0.

由已知?！?lt;0,用—/=—1,...數(shù)列｛/｝為等差數(shù)列，公差為一1,

再由2s“=-”；+怎，令”=1得25j=-4；+q,

口|124]=—。：+q,q=—1或q=0（舍去），

...Sn=na｝+〃（<）xd=_〃竽）,因此S5=—15。

16.拋物線丁=22犬（/7>0）的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/,A、8是拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足=設(shè)

線段AB的中點(diǎn)M在/上的投影為N,則感竺的最大值是

\AB\

【答案】1

【解析】設(shè)|A尸|=a、\BF\=b,如圖所示，根據(jù)拋物線的定義,

可知|4?|=|4。|、IBFH^I.

在梯形中，有|MN|=g（a+b）,

在A4BE中,|AB『=a2+b2-2ab-cos—=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab,

??瑞，晝"故畏的最大值是1.

2

三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17.（12分）

7

在A4BC中。、b、c分別為角A、B、。所對(duì)的邊，已知-----=-------。

2a-c2cosC

（1）求角8的大小；

（2）若a=l、b=41,求AA3C的面積。

【解析】（1）在A4BC中，A+B+C=n,

..b1....sin/?1?八

.-------------..由正弦定理得：--------------=------,2分

2a-c2cosC2sinA-sinC2cosC

2sinBcosC=2sinA-sinC,

即2sinBcosC=2sin（B+C）—sinC=2sinB-cosC+2cosBsinC—sinC,

化簡(jiǎn)得2cos5,sinC=sinC,4分

1冗

又sinCwO,AcosB=—,B=—；6分

23

（2）在AA8c中，由余弦定理得：h2=a2+c2-2ac-cos,8分

即7=1+。2—。，.?.。2一。_6=0,解得c=3（可?。┗騝=—2（舍），10分

.C1.R373

??SMBC=-"-sin8=丁。12分

18.（12分）

如圖，在三棱柱/IBC-AgG中，4月，平面力3C，48=90°,M是A8的中點(diǎn)，AC=CB=CCt=2.

(1)求證：平面ACM_L平面；

(2)求點(diǎn)M到平面ACK的距離。

【解析】（1）由A]A_L平面ABC,CMu平面ABC,則A41_LCM,1分

由AC=CB,M是A8的中點(diǎn)，則AB_LCM,2分

又AAAAB=4,則CM，平面ABB,A,,3分

又CMu平面ACM,...平面ACMJ_平面；4分

(2)如圖，取4片的中點(diǎn)N,連結(jié)MN,設(shè)點(diǎn)M到平面A]CB1的距離為〃，5分

由題意可知g=2MC=2后，4/=痛，MN=2,7分

~x2V2x2V2xsin60°=2-73,也用=-^x2V2x2=272,8分

乂％.AMBj=]MC，SAA|M4=Vw-A[C6[1。分

8

...點(diǎn)M到平面ACB1的距離h=空幽=巫12分

SAA[C813

19.(12分)

2021年1月4日上午，遼寧省省委、省政府在沈陽(yáng)召開遼寧省全面展開新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換重大工程動(dòng)員大會(huì)，會(huì)

議動(dòng)員各方力量，迅速全面展開新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換重大工程。某企業(yè)響應(yīng)號(hào)召，對(duì)現(xiàn)有設(shè)備進(jìn)行改造，為了分

析設(shè)備改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了200件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量

指標(biāo)值，若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在[20,40)內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品。如圖是設(shè)備改造前的樣本

的頻率分布直方圖，如表是設(shè)備改造后的樣本的頻數(shù)分布表。

設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表

質(zhì)量指標(biāo)值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]

頻數(shù)4369628324

(1)完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造

有關(guān)；

設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計(jì)

合格品

不合格品

合計(jì)

(2)根據(jù)上圖和上表提供的數(shù)據(jù)，試從產(chǎn)品合格率的角度對(duì)改造前后設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較；

(3)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，設(shè)備改造后，每生產(chǎn)一件合格品企業(yè)可獲利180元，一件不合格品虧損100元，用頻率估

計(jì)概率，則生產(chǎn)1000件產(chǎn)品企業(yè)大約能獲利多少元？

附：

P(K2>k0)0.1500.1000.0500.0250.010

2.0722.7063.8415.0246.635

n{ad-be)2

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

【解析】(1)根據(jù)上圖和上表可得2x2列聯(lián)表:

設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計(jì)

合格品172192364

不合格品28836

合計(jì)200200400

2400X(172X8-28X192)2

將2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得:K=12.21,4分

200x200x364x36

9

V12.21>6.635.

，有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)；6分

（2）根據(jù)上圖和上表可知，設(shè)備改造后產(chǎn)品為合格品的概率約為19三2=0.96,7分

200

設(shè)備改造前產(chǎn)品為合格品的概率約為1匕72=0.86,8分

200

即設(shè)備改造后合格率更高，因此，設(shè)備改造后性能更好；9分

（3）用頻率估計(jì)概率，1000件產(chǎn)品中大約有960件合格品，40件不合格品，10分

貝獲利約為180x960—100x40=168800,11分

因此，該企業(yè)大約能獲利168800元。12分

20.（12分）

22

如圖所示，已知橢圓c：企+方=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為G、F2,過(guò)點(diǎn)G且與X軸垂直的直線

與圓O：》2+〉2="2交于點(diǎn)M（點(diǎn)M在X軸上方），與橢圓c交于點(diǎn)N（點(diǎn)N在x軸下方），且滿足耳|=

&NF3

（1）若公腸\下2的面積為4+2后，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過(guò)點(diǎn)M作橢圓C的切線，與直線交于點(diǎn)。（〃3〃），其中〃<0,試判斷以線段為直徑的圓是否

經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,并說(shuō)明理由。

【解析】⑴設(shè)G(—c,0),則直線的方程為x=-c,與/+了2=°2聯(lián)立得M(_C,加，1分

由|呻=揚(yáng)Nf；|得N(-c,--&),

「2h2

-z-=1>則。=V^c,又a1+C1,b=c,2分

a22b之

故|MN|=(l+*)b,\F{F2\=2b,3分

由S.NE+半)/=4+2也，解得b=2,故a=2行，

???橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+3=1：4分

84

10

22

(2)由(1)知,橢圓C的方程為+方■=1,M(-b,b)t5分

設(shè)切線MQ的方程為y-b=%(x+6),6分

y-b=k(x+b)

得：2k2)x2+4k(l+k)bx+2k(k+2)b2

由，x22(I+=0,8分

----T----7=1

2b2b2

△=16產(chǎn)(1+kfb2-82(1+2k2)(k+2)Z?2=0,9分

解得Z=0或左=2,其中Z=0時(shí)不滿足〃vO,舍去，10分

又％；一:，…％、=一1，即MQLM尸2，

--b-b2

故以線段。乃為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)V。12分

21.22分)

已知/(x)=(e+—)-lnx+--xo

ex

⑴求函數(shù)/(x)的極值；

⑵設(shè)g(x)=ln(x+l)-赤+e”,對(duì)于任意不￡。+8)、9￡口，+8),總有g(shù)(XI)2*|?/(X2)成立，求實(shí)數(shù)。的

取值范圍。

1/、/1、

e+-1(x-c)(x—)

【解析】⑴/(X)的定義域?yàn)?0,+8)，f'(x)=—^-4-1=------------5~->1分

xx~X

令f\x)=0,解得x=—^x=e,2分

e

當(dāng)。<尤<1時(shí)，f\x)<0,則/(%)在(0」)匕單調(diào)遞減，

ee

當(dāng)時(shí)，fr(x)>0,則f(x)在(Le)上單調(diào)遞增，

ee

當(dāng)時(shí)，f\x)<0,則/(x)在(e,+8)上單調(diào)遞減，4分

1172

???/(x)在X=一處取極小值為/(-)=一一，在x=e處取極大值為f(e)=一，5分

eeee

2

(2)由⑴可知當(dāng)xw[1,+oo)時(shí),f(x)的最大值為/(e)=二，

e

對(duì)于任意％]w[0,+8)、々￡工+8)，總有g(shù)(X])Z'|?/(X2)成立，

等價(jià)于g(x)Nl恒成立，gr(x)=ex+—---a,7分

X+1

11

①當(dāng)々<2時(shí).，ex>x+l,g，(x)=e*H---------^>x+l+---------a>2-a>0,

x+\x+1

即g(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞增，g(x)Ng(O)=l恒成立,符合題意,可取,8分

(x+1)2

②當(dāng)a>2時(shí)，設(shè)〃(%)=/d——-----a,hf(x)=ex->0,

x+1(x+l)2-(x+1)2

gr(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增,且g'(0)=2-a<0,

則存在與￡(0,+oo)使得g'(Xo)=。.

???g(x)在［0,一)上單調(diào)遞減，則(%,+oo)上單調(diào)遞增,

又g(%)vg(0)=l，，g(x)之1不恒成立,不符合題意,舍去,11分

綜上，實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(-00,2］。12分

請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個(gè)題目

計(jì)分。

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

x=2cos0

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為1廠(。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極

y=V3sin0

軸建立極坐標(biāo)系，直線1的極坐標(biāo)方程為V2p-sin(0+；)=1。

(1)寫出直線/的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；

⑵若點(diǎn)尸(0,1),直線/與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求|R1|+|PB|的值。

【解析】(1)由V^p-sin(0+')=1得p+sine+p-cose=l,1分

4

直線/的直角坐標(biāo)方程為：x+y-l=0,2分

x=2cos0x2v2

由4L得曲線C的普通方程為：—+^-=1;4分

^V3sin043

3兀

(2)點(diǎn)P(0