第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第1頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月學(xué)習(xí)本課程的基本要求和注意事項(xiàng)課前課后應(yīng)做好預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)；按時(shí)、準(zhǔn)時(shí)上課，不得無故遲到、早退和缺席；加強(qiáng)點(diǎn)名；上課認(rèn)真聽講，保持良好的課堂秩序；課后按時(shí)完成作業(yè)；嚴(yán)格執(zhí)行學(xué)校有關(guān)課堂教學(xué)的規(guī)章制度。第2頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月《復(fù)變函數(shù)與積分變換》教材：《復(fù)變函數(shù)與積分變換》（第二版），哈爾濱工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系組編，蓋云英、包革軍編，科學(xué)出版社，2007年。第3頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)象復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）主要任務(wù)研究復(fù)變函數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分.主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)、共形映射等.復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、第4頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月學(xué)習(xí)方法復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處.但又有不同之處，在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果.第5頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月背景

復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們?cè)诮獯鷶?shù)方程時(shí)引進(jìn)的.為使負(fù)數(shù)開方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域.但在十八世紀(jì)以前，由于對(duì)復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，在歷史上長時(shí)期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”.

直到十八世紀(jì)，J.D’Alembert與L.Euler等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)的概念，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問題.復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)接受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展.第6頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月

復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)奠定于十九世紀(jì).

A.L.Cauchy和K.Weierstrass分別應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，G.F.B.Riemann研究復(fù)變函數(shù)的映照性質(zhì)。他們是這一時(shí)期的三位代表人物.經(jīng)過他們的巨大努力，復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支，同時(shí)，它在熱力學(xué)，流體力學(xué)和電學(xué)等方面也得到了很多的應(yīng)用.

二十世紀(jì)以來，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切.第7頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù):形如:z=x+iy或z=x+yi的數(shù)，其中x和y是任

意的實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位(-1的平方根）.

x和y分別稱為的實(shí)部和虛部，分別記作：

注：復(fù)數(shù)相等是指它們的實(shí)部與虛部分別相等.

如果Imz=0，則z可以看成一個(gè)實(shí)數(shù)；

如果Imz不等于零，那么稱z為一個(gè)虛數(shù)；

如果Imz不等于零，而Rez=0，稱z為一個(gè)純虛數(shù).

第8頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月虛數(shù)單位的特性:……第9頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算定義為：

全體復(fù)數(shù)引入以上的四則運(yùn)算后就稱為復(fù)數(shù)域

.記為C，復(fù)數(shù)域可以看成實(shí)數(shù)域的擴(kuò)張.

注:在復(fù)數(shù)域中不能規(guī)定復(fù)數(shù)像實(shí)數(shù)那樣的大小關(guān)系.第10頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

.

運(yùn)算規(guī)律復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律.（與實(shí)數(shù)相同）即，第11頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月例題：解第12頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2復(fù)平面復(fù)數(shù)的向量表示法第13頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月

o

x

y

(z)

P(x,y)

x

y

稱向量的長度為復(fù)數(shù)z=x+iy的?；蚪^對(duì)值；以正實(shí)軸

為始邊,以

為終邊的角的弧度數(shù)

稱為復(fù)數(shù)z=x+iy的輻角.(z≠0時(shí))復(fù)數(shù)的模與輻角第14頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月輻角無窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，

k∈Z，把其中滿足

的θ0稱為輻角Argz的主值，記作θ0=argz.z=0時(shí)，輻角不確定.

計(jì)算argz(z≠0)

的公式第15頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月三角表示根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系，非零復(fù)數(shù)的三角表示定義為：第16頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月指數(shù)表示第17頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月加法與減法

兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致.第18頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于兩個(gè)復(fù)數(shù)的和與差的模，有以下不等式：

第19頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月例題第20頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月2第21頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)定義

若z=x+iy,稱

z=x—iy

為z的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)第22頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月第23頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.3.1

試用復(fù)數(shù)表示圓的方程:其中，a,b,c,d是實(shí)常數(shù)。解：利用第24頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1

兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加.證明：設(shè)z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1

z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2

則z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)1.4

乘方與開方因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2第25頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何意義：

將復(fù)數(shù)z1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度

Argz2，再將其伸縮到|z2|倍.

定理1可推廣到n個(gè)復(fù)數(shù)的乘積.

o

x

y

(z)

z1z2z2第26頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2

兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商，

兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除

數(shù)的輻角之差.于是

Argz=Argz2-Argz1即由復(fù)數(shù)除法的定義

z=z2/z1，即

z1z=z2|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2（

z1≠0）證明

第27頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月第28頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月由公式有：由三個(gè)是內(nèi)角容易得到：

第29頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月例作出過復(fù)平面C上不同兩點(diǎn)a,b的直線及過不共線三點(diǎn)a,b,c的圓的表示式。第30頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月作出過不共線三點(diǎn)a,b,c的圓的表示式。a,c,b,z構(gòu)成一個(gè)圓內(nèi)接四邊形第31頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)數(shù)的乘方利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們也可以考慮復(fù)數(shù)的乘方：＝rneinθ特別：當(dāng)|z|=1時(shí)，即：zn=cosnθ+isinnθ，則有

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ＝einθ

-----DeMoivre公式(n對(duì)所有整數(shù)成立).（n為正整數(shù)）第32頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月問題

給定復(fù)數(shù)z=rei

，求所有的滿足ωn=z的復(fù)數(shù)ω.

復(fù)數(shù)的方根（開方）——乘方的逆運(yùn)算

當(dāng)z≠0時(shí)，有n個(gè)不同的ω值與

相對(duì)應(yīng)，每一個(gè)這樣的ω值都稱為z的n次方根，第33頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)k=0，1，…，n-1時(shí)，可得n個(gè)不同的根，而k取其它整數(shù)時(shí)，這些根又會(huì)重復(fù)出現(xiàn).幾何上，

的n個(gè)值是以原點(diǎn)為中心，

為半徑的圓周上n個(gè)等分點(diǎn)，即它們是內(nèi)接于該圓周的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn).xyo第34頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)第36頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月0N1.5復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)第37頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外,還可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).

對(duì)復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)z,用直線將z與N相連,與球面相交于P點(diǎn),則球面上除N點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,

而N點(diǎn)本身可代表無窮遠(yuǎn)點(diǎn),記作

.

這樣的球面稱作復(fù)球面.第38頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月擴(kuò)充復(fù)數(shù)域---引進(jìn)一個(gè)“新”的數(shù)∞:擴(kuò)充復(fù)平面---引進(jìn)一個(gè)“理想點(diǎn)”:無窮遠(yuǎn)點(diǎn)

∞.約定:

稱

為擴(kuò)充復(fù)平面，記為

。

關(guān)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，我們規(guī)定其實(shí)部、虛部、輻角無意義，模等于：

第39頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月1.6復(fù)平面上的點(diǎn)集第40頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月1.6復(fù)平面上的點(diǎn)集第41頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月1.6復(fù)平面上的點(diǎn)集內(nèi)點(diǎn)：設(shè)D為一個(gè)平面點(diǎn)集，z0有一個(gè)領(lǐng)域全包含于D內(nèi)，則稱z0為D的內(nèi)點(diǎn)。開集：若D內(nèi)的每一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱D是開集.邊界點(diǎn)：若點(diǎn)P的任何鄰域中都包含D中的點(diǎn)及不屬于D的點(diǎn)，則稱P是D的邊界點(diǎn)；邊界：

D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界，記為。D-區(qū)域內(nèi)點(diǎn)

外點(diǎn)

P

第42頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月1.6復(fù)平面上的點(diǎn)集有界集：若存在M>0,對(duì)任意z∈D,均有|z|<＝M，則D是有界區(qū)域；否則為無界集.即，若存在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓盤包含D，則稱D為有界集，否則稱為無界集．例如，復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸是無界集，復(fù)平面是無界開集。zxy有界！o第43頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月1.6復(fù)平面上的點(diǎn)集點(diǎn)集D和平面上一點(diǎn)（不必屬于D）之間的關(guān)系進(jìn)行考慮，若的z0任何鄰域都有D的無窮多個(gè)點(diǎn)，稱為極限點(diǎn)（或聚點(diǎn)）。例如，集合E={z|0<|z-a|<r}是去掉圓心的圓盤。圓心a的邊界點(diǎn)，它是E邊界的孤立點(diǎn)，是集合E的聚點(diǎn)。第44頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月1.6復(fù)平面上的點(diǎn)集閉集：或者沒有聚點(diǎn)，或者所有聚點(diǎn)都屬于它。例如，以a為圓心，r為半徑的閉圓盤定義為：那么閉圓盤是有界閉集。第45頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月1.6復(fù)平面上的點(diǎn)集無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域：對(duì)一切r>0,集合稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的一個(gè)r鄰域。第46頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)域第47頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月定義區(qū)域:

如果平面點(diǎn)集D滿足以下兩個(gè)條件,則稱它為一個(gè)區(qū)域.(1)D是一個(gè)開集；(2)D是連通的,就是說D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來.區(qū)域D加上D的邊界稱為閉域。記為

D＝D+

D

z1

z2

D第48頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月說明(2)區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的.(1)區(qū)域都是開的.以上基本概念的圖示區(qū)域鄰域邊界點(diǎn)邊界不包含邊界！第49頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月第50頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)圓環(huán)域:課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)帶形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)無界.第51頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月定義1.7連續(xù)曲線:平面曲線C的復(fù)數(shù)表示:C的實(shí)參數(shù)方程C的復(fù)參數(shù)方程起點(diǎn)z(

)C終點(diǎn)z(

)zxyCC的正向：起點(diǎn)終點(diǎn)o第52頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月

沒有重點(diǎn)的曲線C稱為簡(jiǎn)單曲線(或若爾當(dāng)曲線).重點(diǎn)重點(diǎn)重點(diǎn)換句話說,簡(jiǎn)單曲線自身不相交.z(t1)=z(t2)不是簡(jiǎn)單閉曲線第53頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月光滑曲線第54頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月光滑曲線如果和都在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，在[a,b]上，則稱集合為一條光滑曲線；類似地，可以定義分段光滑曲線。由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線.第55頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì)

若爾當(dāng)定理

任意一條簡(jiǎn)單閉曲線C將復(fù)平面唯一地分成C,I(C),E(C)三個(gè)互不相交的點(diǎn)集.滿足：I(C)E(C)邊界（1）I(C)是一個(gè)有界區(qū)域（稱為C的內(nèi)部）.（2）E(C)是一個(gè)無界區(qū)域（稱為C的外部）.（3）若簡(jiǎn)單折線P的一個(gè)斷點(diǎn)屬于I(C)，另一個(gè)端點(diǎn)屬于E(C)

，則P必與C相交.（4）C是I(C)，E(C)

的公共邊界.第56頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月課堂練習(xí)判斷下列曲線是否為簡(jiǎn)單曲線?是否為簡(jiǎn)單閉曲線?答案簡(jiǎn)單閉簡(jiǎn)單不閉不簡(jiǎn)單閉不簡(jiǎn)單不閉第57頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)域的連通性:

設(shè)D是一個(gè)區(qū)域，在復(fù)平面C上，如果D內(nèi)任何簡(jiǎn)單閉曲線所圍成的內(nèi)區(qū)域中每一點(diǎn)都屬于D，則稱D是單連通區(qū)域;

否則稱D是多連通區(qū)域。第58頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月第59頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月三、典型例題例1

指明下列不等式所確定的區(qū)域,是有界的還是無界的,單連通的還是多連通的.解無界的單連通域(如圖).第60頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月是角形域,無界的單連通域(如圖).無界的多連通域.第61頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月表示到1,–1的距離之和為定值4的點(diǎn)的軌跡,是橢圓,有界的單連通域.第62頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月有界的單連通域.第63頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月例2解

滿足下列條件的點(diǎn)集是什么,如果是區(qū)域,指出是單連通域還是多連通域?是一條平行于實(shí)軸的直線,不是區(qū)域.單連通域.第64頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月是多連通域.不是區(qū)域.第65頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月第66頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月單連通域.第67頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月第68頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月1.7復(fù)變函數(shù)1.復(fù)變函數(shù)的定義:第69頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月1.7復(fù)變函數(shù)第70頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月1.7復(fù)變函數(shù)例1例2第71頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月第72頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月反函數(shù)對(duì)于集合G*中的每一個(gè)w,一定存在一個(gè)或者多個(gè)z值與之對(duì)應(yīng)，這就定義了G*上的一個(gè)函數(shù)，z=y(w),稱為函數(shù)w

＝f(z)的反函數(shù)。當(dāng)f(z)為單值函數(shù)時(shí)，其反函數(shù)y(w)可能是單值也可能是多值的，如f(z)=z2的反函數(shù)是雙值的。當(dāng)函數(shù)及其反函數(shù)都是單值函數(shù)時(shí)，稱這種函數(shù)是雙方單值的。第73頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月o

x

y

(z)

G

o

uv(w)

G

G*

w=f(z)

在幾何上，w=f(z)可以看作：

定義域函數(shù)值集合映射的概念z

w=f(z)

w

原像像點(diǎn)第74頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個(gè)特殊的映射:第75頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月且是全同圖形.第76頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月第77頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法公式可知,第78頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月(如下頁圖)第79頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月o

x

y

(z)

o

u

v(w)

o

x

y

(z)

o

u

v(w)

R=2R=4第80頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月W

將第一圖中兩塊陰影部分映射成第二圖中同一個(gè)長方形.第81頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月第82頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月解例1還是線段.第83頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解第84頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解仍是扇形域.第85頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月例2解第86頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月所以象的參數(shù)方程為第87頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)第88頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)1.函數(shù)極限的定義:注意:一.函數(shù)極限:第89頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月極限的幾何意義u

v

(w)

oA

x

y

(z)

o幾何意義:

當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)入z0

的充分小去心鄰域時(shí),它的象點(diǎn)f(z)就落入A的一個(gè)預(yù)先給定的ε鄰域中第90頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月定理與實(shí)變函數(shù)的極限性質(zhì)類似.惟一性復(fù)合運(yùn)算等第91頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月極限計(jì)算的性質(zhì)定理證根據(jù)極限的定義(1)必要性.第92頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)充分性.第93頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月[證畢]說明第94頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月第95頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月例證(一)第96頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)定理一可知,證(二)第97頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月第98頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月例證第99頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)定理一可知,第100頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)的連續(xù)性第101頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)的定義:

連續(xù)的三要素:（1）

f(z)在z0處有定義

（2）f(z)在z0處有極限

（3）f(z)在z0處的極限值等于函數(shù)值第102頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月2.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理第103頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月例如,第104頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月例

證明f(z)=argz在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。證明x

y

(z)

ozz第105頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月例試證：f(z)在原點(diǎn)無極限，從而在原點(diǎn)不連續(xù)證1：證2：見書本第106頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月例證第107頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月第108頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)與思考（1）本課學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)及其運(yùn)算.重點(diǎn)掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算；（2）理解區(qū)域的有關(guān)概念:鄰域、去心鄰域、內(nèi)點(diǎn)、開集、邊界點(diǎn)、邊界、區(qū)域、有界區(qū)域、無界區(qū)域、理解單連通域與多連通域.（3）介紹了復(fù)球面和擴(kuò)充復(fù)平面。第109頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)與思考

（5）.通過本課的學(xué)習(xí),熟悉復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)性的運(yùn)算法則與性質(zhì).

注意:復(fù)變函數(shù)極限的定義與一元實(shí)變函數(shù)極限的定義雖然在形式上相同,但在實(shí)質(zhì)上有很大的差異,它較之后者的要求苛刻得多.

（4）.復(fù)變函數(shù)以及映射的概念是本章的一個(gè)重點(diǎn).注意：復(fù)變函數(shù)與一元實(shí)變函數(shù)的定義完全一樣,只要將后者定義中的“實(shí)數(shù)”換為“復(fù)數(shù)”就行了.第110頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月D’Alembery,JeanleRond（1717-1783）事跡:

1.1739~1740年，他向巴黎科學(xué)院提交了關(guān)于固體在液體中的運(yùn)動(dòng)及積分學(xué)的兩篇論文，而被選為科學(xué)院院士。

2.1754年，他成為法國科學(xué)院的〝終身秘書〞，是當(dāng)時(shí)法國科學(xué)界最有影響的人。

3.他不僅是數(shù)學(xué)家，也是力學(xué)家和和哲學(xué)家。他贊成感性學(xué)說，反對(duì)笛卡兒的天賦觀念。他承認(rèn)事物、現(xiàn)象是客觀存在的，還與法國唯物主義哲學(xué)家狄德羅共同編纂了《百科全書》。著作:

1.1743年出版《動(dòng)力學(xué)》。

2.1744年出版《流體的平衡和運(yùn)動(dòng)》。

3.1747年，發(fā)表了兩篇論文：一篇是關(guān)于噴流反射的文章，文中首先在數(shù)學(xué)物理中應(yīng)用偏微分方程；另一篇是關(guān)于弦振動(dòng)的，其中第一次采用波動(dòng)方程。4.1749年，又發(fā)表了有關(guān)天體力學(xué)的多篇論文。其后，他更出版了多本的文集及巨著，是位多產(chǎn)科學(xué)家。第111頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月D’Alembery,JeanleRond（1717-1783）特別的故事:

他是被遺棄在教堂附近的貴族婦人的私生子，被人撿起，當(dāng)時(shí)就以發(fā)現(xiàn)他的地方作為他的姓名。

D'Alembery,JeanIeRondy：1.極限概念:達(dá)朗貝爾是當(dāng)時(shí)唯一把微分看成是函數(shù)極限的數(shù)學(xué)家。2.級(jí)數(shù)理論:訂定達(dá)朗貝爾判別式。3.微分方程:達(dá)朗貝爾首先將二階微分方程降階為一般形式的方程，并命名為黎卡提(Riccati)方程。并且首先提出了波動(dòng)方程。back第112頁，課件共116頁，創(chuàng)作于2023年2月歐拉(Euler)瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家。1707年4