6數(shù)列備戰(zhàn)十數(shù)學分項之全景展現(xiàn)命題規(guī)律（上海專版）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第六章 數(shù)列一．基礎題組1.【2017高考上海，10】已知數(shù)列和，其中，的項是互不相同的正整數(shù)。若對于任意，的第項等于的第項，則?！敬鸢浮?【解析】由題意可得:，當時：；當時:；當時：；當時:；則：，據(jù)此可得：。2、【2016高考上海理數(shù)】無窮數(shù)列由k個不同的數(shù)組成,為的前n項和。若對任意,，則k的最大值為________.【答案】4【解析】試題分析：當時，或;當時，若，則，于是，若，則，于是，從而存在,當時，.所以數(shù)列要涉及最多的不同的項可以為：2,1，?1，0,0從而可看出.【考點】數(shù)列的項與和【名師點睛】從分析條件入手,推斷數(shù)列的構成特點，解題時應特別注意“數(shù)列由k個不同的數(shù)組成"和“k的最大值”。本題主要考查考生的邏輯推理能力、基本運算求解能力等。3.【2016高考上海理數(shù)】已知無窮等比數(shù)列的公比為,前n項和為，且.下列條件中,使得恒成立的是（）。（A)（B)(C)（D)【答案】B【考點】數(shù)列的極限、等比數(shù)列求和【名師點睛】本題解答時確定不等關系是基礎,準確分類討論是關鍵，易錯點是在建立不等關系之后，不知所措或不能恰當?shù)胤诸愑懻?。本題能較好地考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分類討論思想等。4?！?014上海,理8】設無窮等比數(shù)列｛｝的公比為q，若，則q=。【答案】【解析】由題意，即，∵，∴.【考點】無窮遞縮等比數(shù)列的和。5.【2013上海,理10】設非零常數(shù)d是等差數(shù)列x1,x2，…,x19的公差,隨機變量ξ等可能地取值x1，x2，…，x19,則方程Dξ＝______?！敬鸢浮?0|d｜【解析】Eξ＝x10,Dξ＝6.【2013上海，理17】在數(shù)列｛an}中，an＝2n－1.若一個7行12列的矩陣的第i行第j列的元素cij＝ai·aj＋ai＋aj(i＝1,2，…，7；j＝1，2，…，12)，則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個數(shù)為（）A．18 B．28 C．48 D．63【答案】A【解析】ai,j＝ai·aj＋ai＋aj＝2i＋j－1，而i＋j＝2，3，…，19,故不同數(shù)值個數(shù)為18，選A.7?！?013上海,文2】在等差數(shù)列｛an}中,若a1＋a2＋a3＋a4＝30,則a2＋a3＝______.【答案】15【解析】a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3）＝30a2＋a38。【2013上海,文7】設常數(shù)aR.若的二項展開式中x7項的系數(shù)為－10，則a＝______.【答案】－2【解析】＝－10x7r＝1，＝－105a＝－10，a＝－29.【2012上海,理6】有一列正方體，棱長組成以1為首項、為公比的等比數(shù)列，體積分別記為V1，V2,…，Vn,…，則__________.【答案】∴.10.【2012上海，文8】在（x－)6的二項展開式中，常數(shù)項等于__________．【答案】－20【解析】展開式的通項為Tr＋1＝x6－r·(－）r，令6－r＝r,可得r＝3所以T4＝x3×(－)3＝－＝－20。11.【2012上海，文14】已知，各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1,an＋2＝f(an)．若a2010＝a2012，則a20＋a11的值是__________．【答案】【解析】由an＋2＝f（an）＝，a1＝1,可得,，，，.由a2012＝＝a2010,可得a2010＝a2012＝，則a2＝a4＝…＝a20＝a2n＝a2010＝a2012＝。所以a20＋a11＝。12.【2012上海，文18】若(n∈N＊），則在S1，S2，…，S100中，正數(shù)的個數(shù)是（)A．16B．72C．86D．100【答案】C【解析】由,，…，，,所以S13＝S14＝0。同理S27＝S28＝S41＝S42＝S55＝S56＝S69＝S70＝S83＝S84＝S97＝S98＝0，所以在S1,S2，…，S100中,其余各項均大于0。故選C項．13.【2011上海，理18】設{an｝是各項為正數(shù)的無窮數(shù)列,Ai是邊長為ai，ai＋1的矩形的面積（i＝1，2，…)，則{An｝為等比數(shù)列的充要條件是（）A．{an}是等比數(shù)列B．a(chǎn)1，a3，…,a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比數(shù)列C．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4,…，a2n,…均是等比數(shù)列D．a(chǎn)1，a3，…,a2n－1，…和a2,a4，…a2n，…均是等比數(shù)列,且公比相同【答案】D【解析】14.【2010上海，理11】將直線：、:（，）軸、軸圍成的封閉圖形的面積記為,則;【答案】1【解析】直線:、：（,)軸、軸圍成的封閉圖形為四邊形,其中，,，，則,，∴，故，于是，故答案為：1?！军c評】本題將直線與直線的位置關系與數(shù)列極限結合,考查兩直線的交點的求法、兩直線垂直的充要條件、四邊形的面積計算以及數(shù)列極限的運算法則，是本次考題的一個閃光點。15。（2009上海,理12)已知函數(shù)f（x)=sinx+tanx，項數(shù)為27的等差數(shù)列｛an｝滿足an∈（，)，且公差d≠0。若f（a1）+f(a2）+…+f(a27)=0,則當k=__________時，f(ak）=0?！敬鸢浮?416。（2009上海，理23）本題共有3個小題,第1小題滿分5分,第2小題滿分5分，第3小題滿分8分.已知｛an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn｝是公比為q的等比數(shù)列。（1)若an=3n+1，是否存在m、k∈N*,有am+am+1=ak？說明理由；(2)找出所有數(shù)列{an｝和｛bn}，使對一切n∈N*,,并說明理由；(3)若a1=5，d=4,b1=q=3,試確定所有的p,使數(shù)列{an}中存在某個連續(xù)p項的和是數(shù)列{bn}中的一項，請證明?！敬鸢浮浚?)不存在；(2）{an｝為非零常數(shù)列，｛bn}為恒等于1的常數(shù)列;（3）參考解析【解析】(1)由am+am+1=ak，得6m+5=3k+1,整理后,可得，∵m、k∈N＊，∴k-2m為整數(shù)?！嗖淮嬖趍、k∈N*，使等式成立.(2)解法一：若,即,(＊)①若d=0,則1=b1qn-1=bn.當｛an｝為非零常數(shù)列，｛bn}為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求.②若d≠0,(*)式等號左邊取極限得,(*）式等號右邊的極限只有當q=1時，才可能等于1.此時等號左邊是常數(shù)，∴d=0,矛盾.綜上所述，只有當{an}為非零常數(shù)列,｛bn｝為恒等于1的常數(shù)列,滿足要求.解法二:設an=nd+c。若,對n∈N＊都成立，且｛bn}為等比數(shù)列,則,對n∈N*都成立，即anan+2=qan+12?！?dn+c)（dn+2d+c）=q(dn+d+c)2對n∈N＊都成立.∴d2=qd2.①若d=0,則an=c≠0,∴bn=1,n∈N＊。②若d≠0，則q=1,∴bn=m(常數(shù)）,即，則d=0，矛盾。綜上所述，有an=c≠0，bn=1,使對一切n∈N＊，。（3）an=4n+1,bn=3n,n∈N＊。設am+1+am+2+…+am+p=bk=3k，p、k∈N＊,m∈N。,∴4m+2p+3=.∵p、k∈N*，∴p=3s，s∈N。取k=3s+2,4m=32s+2-2×3s—3=(4-1）2s+2—2×（4—1）s—3≥0,由二項展開式可得正整數(shù)M1、M2，使得(4—1）2s+2=4M1+1，2×（4—1)s=8M2+(-1）s∴4m=4（M1—2M2）-(-1）s∴存在整數(shù)m滿足要求.故當且僅當p=3s，s∈N時,命題成立。說明:第（3)題若學生從以下角度解題,可分別得部分分（即分步得分）。若p為偶數(shù)，則am+1+am+2+…+am+p為偶數(shù),但3k為奇數(shù)。故此等式不成立,∴p一定為奇數(shù)。當p=1時,則am+1=bk,即4m+5=3k,而3k=（4-1)k=，M∈Z。當k為偶數(shù)時，存在m，使4m+5=3k成立.當p=3時，則am+1+am+2+am+3=bk，即3am+2=bk,也即3(4m+9）=3k，∴4m+9=3k—1,4（m+1）+5=3k—1。由已證可知，當k-1為偶數(shù)即k為奇數(shù)時，存在m，4m+9=3k成立.當p=5時，則am+1+am+2+…+am+5=bk,即5am+3=bk,也即5（4m+13)=3k,而3k不是5的倍數(shù)，∴當p=5時,所要求的m不存在.故不是所有奇數(shù)都成立.17?！?008上海，理14】若數(shù)列{an｝是首項為1，公比為a－eq\f（3，2)的無窮等比數(shù)列，且{an｝各項的和為a，則a的值是()A．1B．2C．eq\f（1，2）D．eq\f(5，4)【答案】18?！?007上海，文14】數(shù)列中,則數(shù)列的極限值（）Ａ。等于 Ｂ.等于 Ｃ。等于或 Ｄ。不存在【答案】B【解析】19.【2005上海,理12】用個不同的實數(shù)可得到個不同的排列，每個排列為一行寫成一個行的數(shù)陣。對第行,記，.例如:用1，2,3可得數(shù)陣如圖，由于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是12，所以，，那么，在用1，2，3，4,5形成的數(shù)陣中，=________?！敬鸢浮浚?080【解析】在用1，2，3,4,5形成的數(shù)陣中，每一列各數(shù)之和都是360，20.【2005上海,理20】（本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．假設某市2004年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房．預計在今后的若干年后,該市每年新建住房面積平均比上年增長8％．另外，每年新建住房中,中底價房的面積均比上一年增加50萬平方米．那么，到哪一年底（1）該市歷年所建中低價房的累計面積（以2004年為累計的第一年)將首次不少于4750萬平方米？（2)當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85％？【答案】（1）2013；（2）2009【解析】（1)設中低價房面積形成數(shù)列，由題意可知是等差數(shù)列,其中a1=250,d=50,則令即∴到2013年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米.(2)設新建住房面積形成數(shù)列{bn}，由題意可知｛bn}是等比數(shù)列,其中b1=400，q=1.08,則bn=400·（1.08）n－1由題意可知有250+（n－1）50〉400·（1.08)n－1·0.85。由計算器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=6，∴到2009年底，當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85％。二．能力題組21.【2016高考上海理數(shù)】（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分,第2小題滿分6分，第3小題滿分8分。若無窮數(shù)列滿足：只要,必有,則稱具有性質.（1）若具有性質，且，,求；（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，，，判斷是否具有性質，并說明理由；(3）設是無窮數(shù)列，已知。求證：“對任意都具有性質”的充要條件為“是常數(shù)列”.【答案】（1）；（2)不具有性質，理由見解析;（3)見解析．【解析】（3）從充分性、必要性兩方面加以證明，其中必要性用反證法證明．試題解析：(1）因為，所以，，．于是，又因為，解得．（2）的公差為，的公比為， 所以，．．，但，，，所以不具有性質．證］(3）充分性：當為常數(shù)列時，．對任意給定的,只要，則由,必有．充分性得證．必要性：用反證法證明．假設不是常數(shù)列,則存在,使得，而．下面證明存在滿足的,使得，但．設，取，使得，則,,故存在使得．取,因為（），所以,依此類推，得．但，即．所以不具有性質,矛盾．必要性得證．綜上，“對任意,都具有性質”的充要條件為“是常數(shù)列”．【考點】等差數(shù)列、等比數(shù)列、充要條件的證明、反證法【名師點睛】本題對考生的邏輯推理能力要求較高，是一道難題.解答此類題目時，熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關知識及反證法是基礎,靈活應用已知條件進行推理是關鍵。本題易錯主要有兩個原因，一是不得法，二是對復雜式子的變形能力不足，導致錯漏百出。本題能較好地考查考生的邏輯思維及推理能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等。22。【2016高考上海文數(shù)】(本題滿分16分）本題共有3個小題,第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.對于無窮數(shù)列｛｝與｛｝,記A=｛｜=，}，B=｛|=，}，若同時滿足條件:①{},｛}均單調遞增；②且，則稱｛}與｛}是無窮互補數(shù)列。（1）若=，=,判斷｛}與{}是否為無窮互補數(shù)列,并說明理由;（2）若=且｛｝與{}是無窮互補數(shù)列，求數(shù)列｛｝的前16項的和；（3)若{｝與｛}是無窮互補數(shù)列,{}為等差數(shù)列且=36，求｛}與{}的通項公式.【答案】（1）與不是無窮互補數(shù)列，理由見解析;（2）；（3），．【解析】試題分析：（1)直接應用定義“無窮互補數(shù)列"的條件驗證即得；（2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式進行求解；（3）先求等差數(shù)列{}的通項公式，再求｛｝的通項公式.試題解析:（1)因為，，所以，從而與不是無窮互補數(shù)列．（2）因為,所以．數(shù)列的前項的和為:．（3)設的公差為，，則．由，得或．若，則，，與“與是無窮互補數(shù)列”矛盾；若，則，，綜上，,【考點】等差數(shù)列、等比數(shù)列、新定義問題【名師點睛】本題對考生的邏輯推理能力要求較高，是一道難題。解答此類題目時，熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關知識是基礎，靈活應用已知條件進行推理是關鍵。本題易錯主要有兩個原因，一是不得法，二是對新定義的理解能力不足,導致錯漏百出。本題能較好地考查考生的邏輯思維及推理能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.23.【2015高考上海理數(shù)】（本題滿分16分)本題共有3個小題。第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.已知數(shù)列與滿足，。（1)若，且,求數(shù)列的通項公式;(2）設的第項是最大項，即（），求證：數(shù)列的第項是最大項;（3）設,(），求的取值范圍，使得有最大值與最小值，且.【答案】（1）（2)詳見解析(3）【解析】解:(1）由，得，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，故的通項公式為,。證明：（2）由，得。所以為常數(shù)列，，即。因為，，所以,即.故的第項是最大項.解:(3）因為，所以，當時，。當時，，符合上式.所以.因為，所以，.=1\＊GB3①當時，由指數(shù)函數(shù)的單調性知，不存在最大、最小值；=2\*GB3②當時，的最大值為，最小值為，而;=3\*GB3③當時，由指數(shù)函數(shù)的單調性知，的最大值,最小值，由及，得。綜上，的取值范圍是.【考點定位】等差數(shù)列，數(shù)列單調性【名師點睛】1。等差數(shù)列的四種判斷方法(1）定義法：an＋1－an＝d（d是常數(shù)）?{an｝是等差數(shù)列．(2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2（n∈N＊）?｛an｝是等差數(shù)列．（3)通項公式：an＝pn＋q（p，q為常數(shù)）?{an｝是等差數(shù)列．(4)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn（A、B為常數(shù)）?｛an｝是等差數(shù)列．2。數(shù)列作為特殊的函數(shù)，其單調性的判斷與研究也是特別的，只需研究相鄰兩項之間關系即可。24.【2015高考上海文數(shù)】（本題滿分16分)本題共3小題。第1小題4分，第2小題6分,第3小題6分。已知數(shù)列與滿足,.（1)若，且，求數(shù)列的通項公式；（2）設的第項是最大項，即，求證：數(shù)列的第項是最大項；（3）設，，求的取值范圍，使得對任意，,，且?！敬鸢浮浚?）；（2)詳見解析;（3）.（2）由,得，所以為常數(shù)列，，即，因為,，所以，即，所以的第項是最大項。（3）因為，所以,當時，，當時，，符合上式，所以，因為，且對任意,，故,特別地，于是，此時對任意，，當時，，,由指數(shù)函數(shù)的單調性知,的最大值為，最小值為，由題意，的最大值及最小值分別是及,由及，解得，綜上所述，的取值范圍是.【考點定位】數(shù)列的遞推公式,等差數(shù)列的性質,常數(shù)列，數(shù)列的最大項，指數(shù)函數(shù)的單調性?！久麕燑c睛】數(shù)列是高中數(shù)學的重要內容之一,是銜接初等數(shù)學與高等數(shù)學的橋梁，在高考中的地位舉足輕重,近年來的新課標高考都把數(shù)列作為核心內容來加以考查，并且創(chuàng)意不斷，?？汲Ｐ拢?5.【2014上海,文23】（本題滿分18分）本題共3個小題,第1小題滿分3分,第2小題滿分6分，第3小題滿分9分。已知數(shù)列滿足.若，求的取值范圍；若是等比數(shù)列，且,正整數(shù)的最小值,以及取最小值時相應的僅比；若成等差數(shù)列,求數(shù)列的公差的取值范圍。【答案】（1）；（2）；（3）的最大值為1999，此時公差為.【解析】試題分析：(1)比較容易,只要根據(jù)已知列出不等式組，即可解得；（2）首先由已知得不等式，即，可解得。又由條件，，于是，取常用對數(shù)得，，所以，即最小值為8;（3）由已知可得∴,∴，，這樣我們可以計算出的取值范圍是．試題解析：（1）由題得,（2）由題得，∵，且數(shù)列是等比數(shù)列,,∴,∴，∴。又由已知，∴，又∵,∴∴的最小值為8,此時，即.（3）由題得，∵,且數(shù)列數(shù)列成等差數(shù)列,，∴，∴，∴【考點】解不等式(組)，數(shù)列的單調性，分類討論，等差（比）數(shù)列的前項和.26.【2013上海，理23】（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分．給定常數(shù)c＞0，定義函數(shù)f(x）＝2|x＋c＋4|－｜x＋c|。數(shù)列a1，a2，a2，…滿足an＋1＝f（an)，n∈N＊.(1）若a1＝－c－2，求a2及a3；(2）求證：對任意n∈N＊，an＋1－an≥c;(3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差數(shù)列？若存在,求出所有這樣的a1；若不存在，說明理由．【答案】（1）a2＝2，a3＝c＋10;(2)參考解析;（3)－c,＋∞)∪｛－c－8｝（3)由(2)，結合c＞0,得an＋1＞an，即{an｝為無窮遞增數(shù)列．又{an}為等差數(shù)列，所以存在正數(shù)M，當n＞M時，an≥－c,從而，an＋1＝f（an)＝an＋c＋8.由于{an}為等差數(shù)列,因此其公差d＝c＋8。①若a1＜－c－4，則a2＝f（a1)＝－a1－c－8,又a2＝a1＋d＝a1＋c＋8，故－a1－c－8＝a1＋c＋8，即a1＝－c－8，從而a2＝0。當n≥2時，由于｛an｝為遞增數(shù)列，故an≥a2＝0＞－c,所以，an＋1＝f(an）＝an＋c＋8,而a2＝a1＋c＋8，故當a1＝－c－8時，｛an｝為無窮等差數(shù)列，符合要求;②若－c－4≤a1＜－c，則a2＝f(a1）＝3a1＋3又a2＝a1＋d＝a1＋c＋8，所以，3a1＋3c＋8＝a1＋c＋8,得a1＝－③若a1≥－c，則由an≥a1得到an＋1＝f(an)＝an＋c＋8，從而{an｝為無窮等差數(shù)列,符合要求．綜上，a1的取值集合為－c，＋∞）∪｛－c－8｝．27.【2013上海,文22】已知函數(shù)f(x)＝2－｜x|，無窮數(shù)列{an｝滿足an＋1＝f(an），nN*.（1)若a1＝0，求a2，a3,a4；(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比數(shù)列，求a1的值；(3)是否存在a1，使得a1，a2，…，an,…成等差數(shù)列？若存在,求出所有這樣的a1；若不存在，說明理由．【答案】(1）a2＝2，a3＝0，a4＝2;（2)a1＝（舍去)或a1＝；（3）當且僅當a1＝1時,a1,a2，a3,…構成等差數(shù)列【解析】(1）a2＝2，a3＝0，a4＝2.(2)a2＝2－|a1｜＝2－a1,a3＝2－｜a2｜＝2－｜2－a1｜。①當0＜a1≤2時，a3＝2－(2－a1）＝a1，所以＝（2－a1）2,得a1＝1.②當a1＞2時，a3＝2－(a1－2)＝4－a1,所以a1(4－a1）＝（2－a1)2，得a1＝（舍去）或a1＝。綜合①②得a1＝1或a1＝。(3）假設這樣的等差數(shù)列存在,那么a2＝2－|a1|，a3＝2－｜2－|a1||.由2a2＝a1＋a3得2－a1＋|2－|a1|｜＝2|a1以下分情況討論：①當a1＞2時,由(*）得a1＝0，與a1＞2矛盾；②當0＜a1≤2時，由(＊)得a1＝1,從而an＝1（n＝1,2，…)，所以｛an}是一個等差數(shù)列；③當a1≤0時，則公差d＝a2－a1＝(a1＋2）－a1＝2＞0，因此存在m≥2使得am＝a1＋2（m－1）＞2。此時d＝am＋1－am＝2－｜am|－am＜0，矛盾．綜合①②③可知，當且僅當a1＝1時，a1，a2，a3,…構成等差數(shù)列．28.【2012上海，理23】對于數(shù)集X＝｛－1，x1，x2,…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定義向量集Y＝{a｜a＝（s，t),s∈X，t∈X｝．若對任意a1∈Y，存在a2∈Y，使得a1·a2＝0，則稱X具有性質P.例如{－1,1,2}具有性質P.(1)若x＞2,且｛－1,1,2，x}具有性質P，求x的值；(2)若X具有性質P，求證：1∈X，且當xn＞1時，x1＝1；（3）若X具有性質P，且x1＝1，x2＝q(q為常數(shù)）,求有窮數(shù)列x1，x2，…,xn的通項公式．【答案】（1）4;（2）參考解析;（3)xk＝qk－1【解析】(1）選取a1＝(x,2），Y中與a1垂直的元素必有形式(－1，b）．所以x＝2b，從而x＝4。(2）證明：取a1＝（x1，x1）∈Y。設a2＝（s,t）∈Y滿足a1·a2＝0.由（s＋t）x1＝0得s＋t＝0，所以s，t異號．因為－1是X中唯一的負數(shù)，所以s，t之中一為－1，另一為1,故1∈X。假設xk＝1，其中1＜k＜n,則0＜x1＜1＜xn.選取a1＝(x1，xn）∈Y,并設a2＝(s，t）∈Y滿足a1·a2＝0，即sx1＋txn＝0,則s，t異號，從而s，t之中恰有一個為－1.若s＝－1,則x1＝txn＞t≥x1，矛盾；若t＝－1，則xn＝sx1＜s≤xn，矛盾．所以x1＝1。（3）解法一：猜測xi＝qi－1,i＝1，2，…，n。記Ak＝{－1，1，x2，…，xk}，k＝2，3，…，n。先證明:若Ak＋1具有性質P，則Ak也具有性質P.任取a1＝（s，t），s,t∈Ak,當s，t中出現(xiàn)－1時，顯然有a2滿足a1·a2＝0;當s≠－1且t≠－1時,則s，t≥1.因為Ak＋1具有性質P，所以有a2＝（s1，t1)，s1，t1∈Ak＋1，使得a1·a2＝0，從而s1和t1中有一個是－1，不妨設s1＝－1.假設t1∈Ak＋1且t1?Ak，則t1＝xk＋1.由(s，t)·(－1，xk＋1）＝0，得s＝txk＋1≥xk＋1,與s∈Ak矛盾．所以t1∈Ak，從而Ak也具有性質P。現(xiàn)用數(shù)學歸納法證明：xi＝qi－1，i＝1,2，…，n.當n＝2時,結論顯然成立；假設n＝k時,Ak＝｛－1，1，x2，…，xk}有性質P，則xi＝qi－1,i＝1，2，…，k；當n＝k＋1時，若Ak＋1＝{－1,1，x2，…，xk，xk＋1}有性質P，則Ak＝{－1，1,x2，…，xk｝也有性質P，所以Ak＋1＝{－1,1，q，…，qk－1,xk＋1｝．取a1＝(xk＋1，q）,并設a2＝（s，t)滿足a1·a2＝0.由此可得s＝－1或t＝－1。若t＝－1，則xk＋1＝≤q,不可能;所以s＝－1，xk＋1＝qt≤qk且xk＋1＞qk－1，所以xk＋1＝qk.綜上所述，xi＝qi－1,i＝1,2，…,n。解法二:設a1＝(s1，t1），a2＝（s2，t2)，則a1·a2＝0等價于.記，則數(shù)集X具有性質P，當且僅當數(shù)集B關于原點對稱．注意到－1是X中的唯一負數(shù)，B∩（－∞，0)＝｛－x2,－x3，…，－xn}共有n－1個數(shù),所以B∩（0，＋∞）也只有n－1個數(shù)．由于,已有n－1個數(shù)，對以下三角數(shù)陣……注意到,所以，從而數(shù)列的通項為xk＝x1（)k－1＝qk－1，k＝1，2，…，n.29.【2012上海，文23】對于項數(shù)為m的有窮數(shù)列{an｝,記bk＝max｛a1，a2，…,ak｝(k＝1，2,…，m)，即bk為a1，a2，…,ak中的最大值，并稱數(shù)列{bn｝是{an}的控制數(shù)列．如1，3,2,5，5的控制數(shù)列是1,3，3，5,5。（1）若各項均為正整數(shù)的數(shù)列{an｝的控制數(shù)列為2，3,4,5，5，寫出所有的{an｝；(2)設｛bn}是｛an}的控制數(shù)列,滿足ak＋bm－k＋1＝C(C為常數(shù)，k＝1，2，…，m），求證：bk＝ak（k＝1,2，…，m);(3）設m＝100，常數(shù)a∈(,1），若，{bn}是｛an}的控制數(shù)列，求（b1－a1)＋(b2－a2)＋…＋(b100－a100）．【答案】（1）參考解析;(2)參考解析；(3)2525（1－a)【解析】（1）數(shù)列{an}為:2,3,4,5,1；2，3，4，5，2；2,3，4，5，3；2，3，4,5,4；2,3，4,5，5.(2）因為bk＝max{a1，a2，…，ak}，bk＋1＝max｛a1，a2，…,ak，ak＋1},所以bk＋1≥bk.因為ak＋bm－k＋1＝C，ak＋1＋bm－k＝C，所以ak＋1－ak＝bm－k＋1－bm－k≥0，即ak＋1≥ak。因此，bk＝ak。（3)對k＝1，2,…，25，a4k－3＝a(4k－3）2＋（4k－3）;a4k－2＝a(4k－2)2＋(4k－2）；a4k－1＝a（4k－1）2－(4k－1)；a4k＝a(4k)2－（4k)．比較大小，可得a4k－2＞a4k－3。因為＜a＜1，所以a4k－1－a4k－2＝（a－1)（8k－3)＜0，即a4k－2＞a4k－1；a4k－a4k－2＝2（2a－1）(4k－1)＞0,即a4k＞a4k－2.又a4k＋1＞a4k，從而b4k－3＝a4k－3，b4k－2＝a4k－2，b4k－1＝a4k－2,b4k＝a4k.因此(b1－a1)＋(b2－a2)＋…＋（b100－a100）＝(a2－a3）＋（a6－a7）＋…＋（a98－a99)＝（a4k－2－a4k－1)＝(1－a）（8k－3）＝2525（1－a)．30?！?011上海,理22】已知數(shù)列{an}和｛bn}的通項公式分別為an＝3n＋6,bn＝2n＋7（n∈N＊）．將集合{x|x＝an，n∈N*｝∪｛x|x＝bn，n∈N*｝中的元素從小到大依次排列，構成數(shù)列c1，c2，c3，…cn,….（1)寫出c1，c2，c3，c4；（2）求證：在數(shù)列｛cn｝中，但不在數(shù)列{bn}中的項恰為a2，a4，…a2n…;(3)求數(shù)列{cn}的通項公式．【答案】（1)9,11,12，13;(2）參考解析；（3）參考解析【解析】(1）它們是9,11，12，13。（2)證明：∵數(shù)列｛cn}由{an｝、{bn}的項構成，∴只需討論數(shù)列{an｝的項是否為數(shù)列｛bn}的項．∵對于任意n∈N*，a2n－1＝3(2n－1）＋6＝6n＋3＝2(3n－2）＋7＝b3n－2,∴a2n－1是｛bn}的項．下面用反證法證明:a2n不是｛bn｝的項．假設a2n是數(shù)列{bn}的項，設a2n＝bm,則3·2n＋6＝2m＋7，，與m∈N*矛盾．∴結論得證．（3)∵b3k－2＝2(3k－2)＋7＝6k＋3，a2k－1＝6k＋3，b3k－1＝6k＋5，a2k＝6k＋6，b3k＝6k＋7,∴b3k－2＝a2k－1＜b3k－1＜a2k＜b3k，k＝1，2,3，….所以，k∈N＊.綜上，k∈N*.31.【2011上海，文23】已知數(shù)列｛an｝和｛bn}的通項公式分別為an＝3n＋6，bn＝2n＋7（n∈N＊)．將集合{x|x＝an,n∈N＊}∪｛x|x＝bn，n∈N*}中的元素從小到大依次排列，構成數(shù)列c1，c2，c3,…cn，…。（1)求三個最小的數(shù)，使它們既是數(shù)列{an｝中的項又是數(shù)列{bn}中的項；（2)c1，c2，c3，…，c40中有多少項不是數(shù)列{bn｝中的項？請說明理由；（3）求數(shù)列{an}的前4n項和S4n(n∈N*）．【答案】(1)9，15,21;(2）10;（3）【解析】⑴三項分別為.⑵分別為⑶，，，∵∴。32。【2010上海，理20】（本題滿分13分)本題共有2個小題，第一個小題滿分5分，第2個小題滿分8分.已知數(shù)列的前項和為,且,（1)證明：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式，并求出為何值時,取得最小值，并說明理由.【答案】（1）（2）（2）由（1）知，，∴，解不等式Sn<Sn1,得，，∴當n≥15時，數(shù)列單調遞增；同理可得，當n≤15時,數(shù)列單調遞減；故當n15時，取得最小值．【點評】本題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和公式、不等式的解法以及方程和函數(shù)思想。本題的實質是：已知遞推公式(，為常數(shù)）求通項公式.33.（2009上海，文23）已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，｛bn}是公比為q的等比數(shù)列.（1）若an=3n+1，是否存在m、k∈N＊,有am+am+1=ak？請說明理由；（2)若bn=aqn(a，q為常數(shù),且aq≠0），對任意m存在k,有bm·bm+1=bk,試求a、q滿足的充要條件；(3)若an=2n+1，bn=3n,試確定所有的p,使數(shù)列{bn}中存在某個連續(xù)p項的和是數(shù)列｛an｝中的一項，請證明?！敬鸢浮浚?)不存在m、k∈N*，（2）a=qc,其中c是大于等于—2的整數(shù);（3)p為奇數(shù)【解析】（1）由am+am+1=ak,得6m+5=3k+1,整理后，可得，∵m、k∈N*，∴k-2m為整數(shù)?！嗖淮嬖趍、k∈N*,使等式成立。(2）當m=1時，則b1·b2=bk，∴a2·q3=aqk。∴a=qk—3,即a=qc,其中c是大于等于-2的整數(shù).反之,當a=qc時,其中c是大于等于—2的整數(shù)，則bn=qn+c,顯然bm·bm+1=qm+c·qm+1+c=q2m+1+2c=bk，其中k=2m+1+c?！郺、q滿足的充要條件是a=qc，其中c是大于等于-2的整數(shù)。（3)設bm+1+bm+2+…+bm+p=ak,（＊)當p為偶數(shù)時，（＊）式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù)，∴p為偶數(shù)時,（＊）式不成立.由（＊）式得,整理得3m+1(3p-1）=4k+2，當p=1時,符合題意。當p≥3,p為奇數(shù)時，3p—1=(1+2)p—1====∴由3m+1（3p,∴當p為奇數(shù)時，此時,一定有m和k使上式一定成立.∴當p為奇數(shù)時,命題都成立。34.【2008上海,文21】（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分４分，第2小題滿分６分，第3小題滿分8分．已知數(shù)列:，，,（是正整數(shù)），與數(shù)列：，,，,（是正整數(shù)）．記．（1）若，求的值;（2）求證：當是正整數(shù)時，；（3）已知，且存在正整數(shù),使得在,，，中有4項為100．求的值，并指出哪4項為100．【答案】(1）4;（2)參考解析;（3)【解析】（1） ………………。.2分∵ ……………….。4分【證明】(2）用數(shù)學歸納法證明：當當n=1時，等式成立….6分假設n=k時等式成立，即那么當時，………8分 等式也成立。根據(jù)①和②可以斷定:當…。。。10分………。。13分∵4m+1是奇數(shù)，均為負數(shù)，∴這些項均不可能取到100?！?。。15分此時，為100?！?8分35?！?007上海,理20】若有窮數(shù)列（是正整數(shù)），滿足即(是正整數(shù)，且)，就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列"。（1）已知數(shù)列是項數(shù)為7的對稱數(shù)列，且成等差數(shù)列,，試寫出的每一項（2)已知是項數(shù)為的對稱數(shù)列，且構成首項為50，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則當為何值時，取到最大值？最大值為多少？(3)對于給定的正整數(shù)，試寫出所有項數(shù)不超過的對稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項；當時,試求其中一個數(shù)列的前2008項和36.【2007上海,文20】（本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分,第3小題滿分9分。如果有窮數(shù)列(為正整數(shù)）滿足條件，,…，，即(),我們稱其為“對稱數(shù)列”.例如，數(shù)列與數(shù)列都是“對稱數(shù)列”.（1）設是7項的“對稱數(shù)列"，其中是等差數(shù)列，且，。依次寫出的每一項；（2)設