2.3 直線的交點與距離-(選擇性必修第一冊) (教師版)

直線的交點與距離1兩條直線的交點設兩條直線的方程是l1兩條直線的交點坐標就是方程組A1(1)若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點的坐標；(2)若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；(3)若方程組有無數個解，則兩條直線重合.2幾種距離(1)兩點距離公式平面上的兩點P1(x(2)點到直線的距離公式點P0(x0,(3)兩平行直線間的距離兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+

【題型一】直線交點問題【典題1】若關于x、y的方程組x+y=mx+ny=1有無窮多組解，則m+n的值為．【解析】關于x、y的方程組x+y=mx+ny=1有無窮多組解，則直線x+y=m和直線x+ny=1重合，故m=1，n=1，所以m+n=2．【典題2】已知直線kx?y+1=0和x?ky=0相交，且交點在第二象限，則實數k的取值范圍為．【解析】聯(lián)立方程kx?y+1=0x?ky=0，解得x=k1?因為交點在第二象限，所以k1?k2故實數k的取值范圍為(?1,0)．【典題3】求過直線x+2y+1=0【解析】方法1(求出交點，再用截距式求解)由x+2y+1=02由于直線在兩坐標軸上截距相等，(截距相等要注意是否為0)(i)當截距為0，此時直線方程為y=kx，代入點P得k=1即所求直線方程為x?3(ii)當截距不等于0，設直線方程為xa+ya=1此時所求直線方程為5x綜上所述，所求直線方程為x?3y=0方法2設所求直線方程為x+2(i)當直線過原點時，則1+λ=0，則此時所求直線方程為x?3(ii)當直線不過原點時，令x=0，解得y=λ+1λ由題意得λ+1λ?2=?λ(?)中不包括直線2x綜上所述，所求直線方程為x?3y=0【點撥】本題中方法2采取了直線系方程的方法.過兩條已知直線l1:AA(λ∈R,這個直線系下不包括直線l2:A【典題4】若k>4，直線kx?2y?2k+8=0與2x+k2y?4【解析】(確定所求的四邊形面積，要四邊形的圖象，即了解兩條直線與坐標軸的交點與兩直線的交點)由kx?2y?2k+8=02x+k2y?4k而直線L：kx?2y?2k+8=0與x軸的交點A(2?8直線M：2x+k2y?4k2?4=0與x軸的交點(由k>4，很容易確定各點的位置)如圖所示，∴=1=4∵k>4，∴0<1則174故k>4時，所求面積的取值范圍是(17【點撥】①根據題意畫出正確的圖象是正確求解的基礎，對于含參的直線，要注意它是否存在定點、斜率的正負、與x、y軸交點的位置等.②而定點如何確定，如直線M：2x+k2y?4k2鞏固練習1(★)曲線y=|x|與y=kx+1的交點的情況是()A．最多有兩個交點 B．兩個交點 C．一個交點 D．無交點【答案】A【解析】聯(lián)立兩條直線方程得：y=|x|y=kx+1得到|x|=kx+1兩邊平方得：k2當k2－1≠0即k≠±1時，得到方程有兩個不相等的實數解，所以曲線與直線有兩個交點．當k=±1時，得到y(tǒng)=±x+1，與曲線只有一個交點．所以曲線y=|x|與y=kx+1的最多有兩個交點．2(★)關于x,y的二元一次方程組mx+y=?13mx?my=2m+3無解，則m=【答案】0【解析】m=0時，方程組化為：y=?m≠0時，兩條直線平行時，可得：m3m綜上可得：m=0．3(★)若三條直線2x+3y+8=0，x?y?1=0和x+ky=0交于一點，則k的值為．【答案】?1【解析】依題意，2x+3y+8=0x?y?1=0，解得x=∴兩直線2x+3y+8=0和x－y－1=0的交點坐標為(－1,－2)．∵直線x+ky=0，2x+3y+8=0和x－y－1=0交于一點，∴－1－2k=0，∴k=?4(★★)直線kx?y?1=0與直線x+2y?2=0的交點在第四象限，則實數k的取值范圍為．【答案】(?1【解析】由題意可得kx?y?1=0x+2y?2=0∴41+2k>0且2k?15(★★★)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1,2)，點M(4,2)，點N在線段OA的延長線上．設直線MN與直線OA及x軸圍成的三角形面積為S，則S的最小值為．【答案】12【解析】設MN與x軸交點的橫坐標為a，則MN：y=24?a(x?a)，直線OA由y=2xy=2S=12?a?故答案為：12．【題型二】距離問題情況1兩點間的距離【典題1】在平面直角坐標系內，到點A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7,?1)的距離之和最小的點的坐標是．【解析】如圖，設平面直角坐標系中任一點P，P到點A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7,?1)的距離之和為：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，故四邊形ABCD對角線的交點Q即為所求距離之和最小的點．∵A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7,?1)，∴AC,BD的方程分別為：y?26?2=x?1即2x?y=0，x+y?6=0．解方程組&2x?y=0&x+y?6=0得Q(2,4)【點撥】本題是從幾何方法入手，利用“一點到兩定點距離之和最小值為兩定點距離”的三點共線最值模型求解；若設P(x,y)，再利用兩點距離公式求解，就很麻煩了！【典題2】設a,b∈R，a?12【解析】從幾何意義看，a?12+b?12+a+12+其最小值為(1,1)和(?1,?1)兩點間的距離22【點撥】本題是函數最值問題，但很巧妙的使用了兩點距離公式從而化為幾何最值問題.

平面上的兩點P1(x1,【典題3】已知m∈R，動直線l1：x+my?2=0過定點A，動直線l2：mx?y?2m+3=0過定點B，若l1與l2交于點P(異于點A,B【解析】l1:x+my?2=0可變形為(x?2)+my=0，過定點A(2,0)l2：mx?y?2m+3=0可變形為mx?2?(y?3)=0方法1代數法由x+my?2=0mx?y?2m+3=0可得交點P(則PA=3mm設a=3m2+1，則a+b22≤即|PA|+|PB|的最大值為32，當m=±1方法2幾何法觀察直線斜率可知直線l1與直線l則有PA⊥PB，且PA2+(相當于方法1的a2“已知PA2+PB想到基本不等式)由PA所以(PA即|PA|+|PB|≤32，當且僅當|PA|=|PB|所以|PA|+|PB|的最大值為32【思考】體會下兩種方法的異同與優(yōu)劣性，方法1中PA+【典題4】已知點A(4,0),B(0,2)，對于直線l：x?y+m=0的任意一點P，都有PA2+PB2>18【解析】根據題意，點P在直線l：x?y+m=0上，設P的坐標為(x,x+m)，則有PA2=x?4=4x若對于直線l：x?y+m=0上的任意一點P，都有PA2則4x即4x2+(4m?12)x+(2則有△=4m?122－16(2解可得m>?1+22或m<?1?2即m的取值范圍為(?∞,?1?22【點撥】本題采取設元的方法，把PA2情況2點到直線的距離【典題1】已知曲線C：xy=27和直線l：3x+4y=0，點M在曲線C上，點N在直線l上，則|MN|的最小值是．【解析】設點M(a,b)，則ab=27，|MN|取到最小值時是點M到直線l的距離，點M到直線l的距離為d=3a+4b∴d∴|MN|的最小值是365【典題2】已知直線l方程為2+mx+1?2my+4?3m=0．那m【解析】方法一函數法點Q到直線l的距離d=3則d令t=?56m+33，則?56m+33m由對勾函數易得t+4225t?66≥64(當t=65時取到等號)則0≤3136tt故當t=65，即m=?47時，d2取到最大值4方法二幾何法直線2+mx+1?2my+4?3m=0由x?2y?3=0?2x?y?4=0，得x=?1∴直線必過定點(?1,?2)．當點Q(3,4)到直線的距離最大時，QP垂直于已知的直線，即點Q與定點P(?1,?2)的連線就是所求最大值，此時直線PQ與直線2+mx+∵kPQ=?2?4?1?3此時，點Q(3,4)到直線的最大距離是(3+1)綜上所述，m=?47時，點Q(3,4)到直線的距離最大，最大值為【點撥】體會下兩種方法的優(yōu)劣性.【典題3】設直線l1：y=k1x+1，l2：y=(1)證明：直線l1與l(2)試用解析幾何的方法證明：直線l1與l(3)設原點到l1與l2的距離分別為d1和d【解析】證明：(1)(只需證明k1反證法：假設l1與l則l1與l2平行，有代入k1k2這與k1為實數的事實相矛盾，∴k1≠k(2)由(1)知k1≠解得交點P的坐標(x,y)為x=2而x2即l1與l2的交點到原點距離為3d(從函數的角度思考，遇到二元，要不基本不等式，要不消元)=1=1+k=1+k1=1+當|k1|=1即k1=±1【點撥】對于一些常見的式子(或模型)的處理手段要掌握好，這是基本功.情況3兩平行線間的距離【典題1】若平面內兩條平行線l1：x+a?1y+2=0，l2：ax+2y+1=0間的距離為35【解析】∵平面內兩條平行線l1：x+(a?1)y+2=0，l2：∴1a=a?12當a=2時，兩條平行直線即l1：2x+2y+4=0，l2：它們之間的距離為|4?1|4+4當a=?1時，兩條平行直線即l1：x?2y+2=0，l2：它們之間的距離為|2+1|1+4故實數a=?1．【點撥】用兩平行直線距離公式時，要確定x、【典題2】正方形ABCD一條邊AB所在方程為x+3y?5=0，另一邊CD所在直線方程為x+3y+7=0，(1)求正方形中心G所在的直線方程；(2)設正方形中心G(x0,【解析】(1)由于正方形中心G所在直線平行于直線x+3y?5=0，設中心所在直線為x+3y+c=0，由平行線間的距離公式得|c+5|12+則正方形中心G所在的直線方程為x+3y+1=0；(2)正方形的邊長即為平行直線AB與CD間的距離d=|7+5|設正方形BC所在直線方程為3x?y+m=0，(用到了正方形內角是直角的性質)由于中心G(x0,y0那么|3x0?y0又因為G在直線x+3y+1=0上，那么x0+3y0+1=0把②代入①得m=±6?10x0聯(lián)立方程x+3y?5=03x?y+m=0，解得x=由于正方形只有兩個點在第一象限，那么x>0y>0，就是?3m+510>0m+1510把③代入④得到?15<±6?10x0故x0的取值范圍為(【點撥】結合圖象，充分利用圖象的性質得到變量的限制要求，從而求出變量范圍.鞏固練習1(★)已知△ABC的頂點為A(2,1)，B(?2,3)，C(0,?1)，則AC邊上的中線長為．【答案】32【解析】根據題意，設AC的中點為D，△ABC的頂點為A(2,1),B(－2,3),C(0,－1)，則D(1,0)，|BD|=9+92(★)點P(cosθ,sinθ)到直線3x+4y?12=0的距離的取值范圍為．【答案】[7【解析】記d為點P(cosθ,sinθ)到直線3x+4y－12=0的距離，即：d=15|3cosθ+4sinθ－12|=當θ變化時，d的最大值為175，d的最小值為73(★)到直線3x－4y+1=0的距離為3且與此直線平行的直線方程是．【答案】3x－4y+16=0或3x－4y－14=0【解析】由平行關系可設所求直線的方程為3x－4y+c=0，由平行線間的距離公式可得|c?1|3解得c=16，或c=－14∴所求直線的方程為：3x－4y+16=0，或3x－4y－14=04(★★)兩條平行線l1,l2分別過點P(?1,2)，Q(2,?3)，它們分別繞P,Q旋轉，但始終保持平行，則l1【答案】(0,34]【解析】當PQ與平行線垂直時，|PQ|為平行線之間的距離的最大值，|PQ|=(?1?2∴則l1,5(★)已知直線l經過點P(5,10)，且原點到它的距離為5，則直線l的方程為．【答案】x=5或3x?4y+25=0【解析】當直線斜率不存在時直線方程為x=5，滿足原點到它的距離為5，當斜率存在時，設直線為y?10=k(x?5)，變形為kx?y+10?5k=0∴d=|10?5k|k6(★★)已知點M(a,b)在直線l：3x+4y=25上，則a2+b【答案】5【解析】∵a2+b2的幾何意義是點O(0,0)到點M∴a2+b2的最小值為點O又d=25∴a7(★★)若直線m被兩平行線l1：x?3y+1=0與l2：x?3y+3=0所截得的線段的長為【答案】120°【解析】由兩平行線間的距離為|1?3|1+3直線m被兩平行線l1：x?3y+1=0與l2：可得直線m和兩平行線的夾角為90°．由于兩條平行線的傾斜角為30°，故直線m的傾斜角為120°，8(★★)已知實數a,b,c成等差數列，則點P(2,?1)到直線ax+by+c=0的最大距離是．【答案】2【解析】由a,b,c成等差數列，得a+c=2b，所以c=2b－a；則點P(2