2022-2023學(xué)年福建省南平市高一下冊(cè)期末數(shù)模擬試題（四）（含解析）

2022-2023學(xué)年福建省南平市高一下冊(cè)期末數(shù)模擬試題（四）（含解析）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.若，則（）A B. C. D.【正確答案】A【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可得解.【詳解】由，得，所以.故選：A.2.已知，，，則的形狀是（）．A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形【正確答案】A【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示可得，，，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可判斷.【詳解】根據(jù)已知，有，，，因?yàn)椋?，即．故為直角三角形．故選：A本題考查了向量的坐標(biāo)表示、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.3.如圖所示，在等腰梯形中，，對(duì)角線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交BC于點(diǎn)N，則在以，，為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，相等向量有A.1對(duì) B.2對(duì) C.3對(duì) D.4對(duì)【正確答案】B【分析】利用相等向量的概念直接求解即可【詳解】由題，故相等向量有兩對(duì)故選：B本題考查相等向量的概念，是基礎(chǔ)題4.已知是銳角，，，且，則為（）A.30° B.45° C.60° D.30°或60°【正確答案】B【分析】由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)值可得出結(jié)論.【詳解】∵，，且，∴，求得，，由是銳角，所以.故選：B.本題考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、已知三角函數(shù)值求角.5.在中，下列各式正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】利用正弦定理、余弦定理以及誘導(dǎo)公式判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤，即可得正確答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由正弦定理有，故，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：，由余弦定理得；故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由正弦定理可得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式可得：，即，故選項(xiàng)D正確；故選：D6.已知三條不同的直線和兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】D【分析】根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系及平行垂直性質(zhì)判斷逐一判斷.【詳解】若,可以有或相交，故A錯(cuò)；若，可以有或異面，故B錯(cuò)；若，可以有、與斜交、，故C錯(cuò)；過作平面，則，又，得，，所以，故D正確.故選:D本題考查空間線、面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.7.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的正弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先取正方形的中心，連接，由知為異面直線與所成的角，再在中求的正弦即可.詳解】連，相交于點(diǎn)，連、，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，有，可得或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，不妨設(shè)正方形中，，則，由平面，可得，則，，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，．故選：C.方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結(jié)果.8.如圖，已知高為3的棱柱的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用棱錐的體積公式計(jì)算即可．【詳解】三棱錐的體積為：故選：C本題考查柱錐臺(tái)體的體積公式，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、多項(xiàng)選擇題.（本大題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.若四邊形ABCD是矩形，則下列命題中正確的是（）A.共線 B.相等C.模相等，方向相反 D.模相等【正確答案】ACD【分析】根據(jù)向量的加法和減法的幾何意義（平行四邊形法則)，結(jié)合矩形的判定與性質(zhì)進(jìn)行分析可解.【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，,所以共線，模相等,故A、D正確;∵矩形的對(duì)角線相等,∴|AC|=|BD|,模相等,但的方向不同，故B不正確;|AD|=|CB|且AD∥CB，所以的模相等，方向相反，故C正確.本題考查向量的共線，相等，模，向量的加減法的幾何意義，屬基礎(chǔ)題，根據(jù)向量的加減法的平行四邊形法則和矩形的性質(zhì)綜合判定是關(guān)鍵.10.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說(shuō)法，其中正確的是（）A.復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是B.復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是C.若，互為共軛復(fù)數(shù)，則是實(shí)數(shù)D.若，互為共軛復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱【正確答案】AC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類，共軛復(fù)數(shù)的定義與復(fù)數(shù)的幾何意義判斷．【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類，時(shí)，才是純虛數(shù)．A正確，B錯(cuò)誤，，則，所以是實(shí)數(shù)，C正確；當(dāng)是實(shí)數(shù)時(shí)，其共軛復(fù)數(shù)是它本身，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是同一點(diǎn)，不關(guān)于虛軸對(duì)稱，D錯(cuò)．故選：AC．11.已知直三棱柱中，AB⊥BC，，O為的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成的角的正切值為B.無(wú)論點(diǎn)P在上怎么運(yùn)動(dòng)，都有⊥C.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，才有與相交于一點(diǎn)，記為Q，且D.無(wú)論點(diǎn)P在上怎么運(yùn)動(dòng)，直線與AB所成角都不可能是30°【正確答案】ABD【分析】構(gòu)造線面角，由已知線段的等量關(guān)系求的值即可判斷A的正誤；利用線面垂直的性質(zhì)，可證明即可知B的正誤；由中位線的性質(zhì)有可知C的正誤；由直線的平行關(guān)系構(gòu)造線線角為，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)P分析角度范圍即可知D的正誤【詳解】直三棱柱中，，選項(xiàng)A中，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，有E為的中點(diǎn)，連接、，如下圖示即有面∴直線與平面所成的角的正切值：∵，∴，故A正確選項(xiàng)B中，連接，與交于E，并連接，如下圖示由題意知，為正方形，即有而且為直三棱柱，有面，面∴，又∴面，面，故同理可證：，又∴面，又面，即有，故B正確選項(xiàng)C中，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，即在△中、均為中位線∴Q為中位線的交點(diǎn)∴根據(jù)中位線的性質(zhì)有：，故C錯(cuò)誤選項(xiàng)D中，由于，直線與所成角即為與所成角：結(jié)合下圖分析知：點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)當(dāng)在或上時(shí)，最大為45°當(dāng)在中點(diǎn)上時(shí)，最小為∴不可能是30°，故D正確故選：ABD12.拋擲一枚硬幣三次，若記出現(xiàn)“三個(gè)正面”、“三個(gè)反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分別為，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】CD【分析】利用n次的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率計(jì)算公式，分別求得的值，即可求解.【詳解】由題意，拋擲一枚硬幣三次，若記出現(xiàn)“三個(gè)正面”、“三個(gè)反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分別為，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算公式，可得：，由，故A是錯(cuò)誤的；由，故B是錯(cuò)誤的；由，故C是正確的；由，故D是正確的.故選：CD本題主要考查概率的計(jì)算及其應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率計(jì)算公式求得相應(yīng)的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力.三、填空題.(本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.在△ABC中，其外接圓半徑R＝2，A＝30°，B＝120°，則△ABC的面積為__________.【正確答案】【分析】根據(jù)正弦定理求邊的值，再根據(jù)的面積公式求面積.【詳解】根據(jù)正弦定理可知，所以，,，所以是等腰三角形，且，.故14.設(shè)為虛數(shù)單位，則的虛部為______．【正確答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，進(jìn)而得結(jié)果【詳解】故易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，在解題時(shí)一般利用分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，化簡(jiǎn)為的形式，b就是這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，一定要注意符號(hào)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于易錯(cuò)題.15.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射擊4次，至少擊中3次的概率：先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1表示沒有擊中目標(biāo)，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標(biāo)，以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為__________．【正確答案】【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)擊中目標(biāo)的次數(shù)，再用古典概型概率公式求解.【詳解】由數(shù)據(jù)得射擊4次至少擊中3次的次數(shù)有15，所以射擊4次至少擊中3次的概率為.故本題考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.16.如圖，已知直四棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，，E是棱的中點(diǎn)，設(shè)平面經(jīng)過直線，且平面平面，若平面，則異面直線與所成的角的余弦值為_______．【正確答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，證明平面平面，平面即平面，然后分別取的中點(diǎn)，證明平面平面，可得，，可得異面直線與所成的角即與所成的角，由余弦定理可得答案.【詳解】由直四棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，，所以是菱形，連接，，且，，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，且，所以平面，取的中點(diǎn)，連接，連接交與，所以，且是的中點(diǎn)，所以平面，所以平面平面，又平面，所以平面即平面，分別取的中點(diǎn)，連接交與點(diǎn)，即為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，又，所以平面平面，且平面平面，平面平面，所以，，所以異面直線與所成的角即與所成的角，設(shè)，則直四棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，由，所以，，且，由余弦定理得故答案為.本題考查了異面直線所成的角，關(guān)鍵點(diǎn)是作出平面及找出異面直線所成的角，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力及空間想象力.四、解答題.（本大題共6小題，17題10分，18-22題每題12分，共70分）17.已知、、且（1）證明：是等腰直角三角形（2）求．【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由題意得，，由，，能夠證明是等腰直角三角形．（2）設(shè)點(diǎn)，則，．由，知且，由此能求出．【詳解】解：（1）證明：由題意得，因?yàn)椋运允侵苯侨切斡?，，，是等腰直角三角形?）解：設(shè)點(diǎn)，則，，且，解得，，，，，，，．本題考查平面向量的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算的靈活運(yùn)用．18.甲、乙二人獨(dú)立破譯同一密碼，甲破譯密碼的概率為0.7，乙破譯密碼的概率為0.6.記事件A：甲破譯密碼，事件B：乙破譯密碼.（1）求甲、乙二人都破譯密碼的概率；（2）求恰有一人破譯密碼的概率.【正確答案】（1）0.42；（2）0.46.【分析】（1）由相互獨(dú)立事件概率的乘法公式運(yùn)算即可得解；（2）由互斥事件概率的加法公式及相互獨(dú)立事件概率的乘法公式運(yùn)算即可得解.【詳解】（1）事件“甲、乙二人都破譯密碼”可表示為AB，事件A，B相互獨(dú)立，由題意可知，所以；（2）事件“恰有一人破譯密碼”可表示為，且,互斥所以.19.成都七中為了解班級(jí)衛(wèi)生教育系列活動(dòng)的成效，對(duì)全校40個(gè)班級(jí)進(jìn)行了一次突擊班級(jí)衛(wèi)生量化打分檢查（滿分100分，最低分20分）.根據(jù)檢查結(jié)果：得分在評(píng)定為“優(yōu)”，獎(jiǎng)勵(lì)3面小紅旗；得分在評(píng)定為“良”，獎(jiǎng)勵(lì)2面小紅旗；得分在評(píng)定為“中”，獎(jiǎng)勵(lì)1面小紅旗；得分在評(píng)定為“差”，不獎(jiǎng)勵(lì)小紅旗.已知統(tǒng)計(jì)結(jié)果的部分頻率分布直方圖如圖：（1）依據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的部分頻率分布直方圖，求班級(jí)衛(wèi)生量化打分檢查得分的中位數(shù)；（2）學(xué)校用分層抽樣的方法，從評(píng)定等級(jí)為“良”、“中”的班級(jí)中抽取6個(gè)班級(jí)，再?gòu)倪@6個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取2個(gè)班級(jí)進(jìn)行抽樣復(fù)核，求所抽取的2個(gè)班級(jí)獲得的獎(jiǎng)勵(lì)小紅旗面數(shù)和不少于3的概率.【正確答案】（1）分；（2）.【分析】（1）利用頻率分布直方圖，能求出班級(jí)衛(wèi)生量化打分檢查得分的中位數(shù)．（2）“良”、“中”的頻率分別為0.4，0.2．又班級(jí)總數(shù)為40．從而“良”、“中”的班級(jí)個(gè)數(shù)分別為16，8．分層抽樣的方法抽取的“良”、“中”的班級(jí)個(gè)數(shù)分別為4，2．由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出抽取的2個(gè)班級(jí)獲得的獎(jiǎng)勵(lì)小紅旗面數(shù)和不少于3的概率．【詳解】（1）得分的頻率為；得分的頻率為；得分的頻率為；所以得分的頻率為設(shè)班級(jí)得分的中位數(shù)為分，于是，解得所以班級(jí)衛(wèi)生量化打分檢查得分的中位數(shù)為分.（2）由（1）知題意“良”、“中”的頻率分別為又班級(jí)總數(shù)為于是“良”、“中”的班級(jí)個(gè)數(shù)分別為.分層抽樣的方法抽取的“良”、“中”的班級(jí)個(gè)數(shù)分別為因?yàn)樵u(píng)定為“良”，獎(jiǎng)勵(lì)2面小紅旗，評(píng)定為“中”，獎(jiǎng)勵(lì)1面小紅旗.所以抽取的2個(gè)班級(jí)獲得的獎(jiǎng)勵(lì)小紅旗面數(shù)和不少于3為兩個(gè)評(píng)定為“良”的班級(jí)或一個(gè)評(píng)定為“良”與一個(gè)評(píng)定為“中”的班級(jí).記這個(gè)事件為則為兩個(gè)評(píng)定為“中”的班級(jí).把4個(gè)評(píng)定為“良”的班級(jí)標(biāo)記為2個(gè)評(píng)定為“中”的班級(jí)標(biāo)記為從這6個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取2個(gè)班級(jí)用點(diǎn)表示，其中.這些點(diǎn)恰好為方格格點(diǎn)上半部分（不含對(duì)角線上的點(diǎn)），于是有種.事件僅有一個(gè)基本事件.所以所抽取的2個(gè)班級(jí)獲得的獎(jiǎng)勵(lì)小紅旗面數(shù)和不少于3的概率為.本題考查中位數(shù)、概率的求法，考查分層抽樣、頻率分布直方圖、古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．20.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，設(shè)平面向量，且（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求中邊上的高.【正確答案】(1);(2).【詳解】分析：（1）由向量的數(shù)量積的運(yùn)算，得，根據(jù)正弦、余弦定理得，即可得到；（2）由余弦定理和，得，再利用三角形的面積公式，求得，即可得到結(jié)論．詳解：（1）因?yàn)椋?，即，即，根?jù)正弦定理得，所以，所以；（2）由余弦定理，又，所以，根據(jù)△的面積，即，解得，所以中邊上的高．點(diǎn)睛：本題主要考查了利用正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，對(duì)于解三角形問題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.21.將棱長(zhǎng)為2的正方體沿平面截去一半（如圖1所示）得到如圖2所示的幾何體，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積.【正確答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）1.【分析】（Ⅰ）由和，利用線面垂直的判定定理證得平面，然后再由證明.（Ⅱ）由平面，則是三棱錐在平面上的高，然后利用等體積法求解.【詳解】（Ⅰ）如圖所示：連接，易知，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，所以平?在中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，所以.所以平面（Ⅱ）∵平面，∴是三棱錐在平面上的高，且.∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，∴.∴.∴.方法點(diǎn)睛：(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①線面垂直的定義；②判定定理