2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題-附答案

2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知全集，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合B的補(bǔ)集，再求出【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，故選：A2．已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，進(jìn)而求得，得到答案.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以.故選：C.3．如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得，所以.故選：C.4．某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)比例和近視情況分別如圖甲和圖乙所示，為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中被抽取的小學(xué)生有80人，則樣本容量和該地區(qū)的初中生近視人數(shù)分別為（

）

A．100，50 B．100，1050 C．200，50 D．200，1050【答案】D【分析】根據(jù)扇形圖，即可樣本容量，再計(jì)算初中生人數(shù)，再根據(jù)條形圖計(jì)算初中生的近視人數(shù).【詳解】由分層抽樣的概念可得樣本容量為，則該地區(qū)的初中生有人，所以該地區(qū)的初中生近視人數(shù)為.故選:D5．下列說(shuō)法不正確的是（

）A．若直線(xiàn)平面，則直線(xiàn)a與平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都無(wú)公共點(diǎn)B．若，，且，則C．垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面互相平行D．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)互相平行【答案】B【分析】根據(jù)線(xiàn)面平行的定義可判斷A；判斷平面的位置關(guān)系可判斷B；根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可判斷C，D.【詳解】A項(xiàng)：直線(xiàn)與平面平行，即沒(méi)有公共點(diǎn)，故直線(xiàn)與平面內(nèi)任意一條直線(xiàn)都無(wú)公共點(diǎn)，A項(xiàng)正確；B項(xiàng)：和有可能平行，有可能相交，B項(xiàng)錯(cuò)誤；C項(xiàng)：由直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)可知垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面互相平行，C項(xiàng)正確；D項(xiàng)，由直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理可知垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)互相平行，正確，故選：B6．函數(shù)的大致圖象為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，排除選項(xiàng)，再根據(jù)特殊值的正負(fù)，再排除選項(xiàng)，即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，則為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故排除A，C，又，故排除B，故選：D.7．某教學(xué)軟件在剛發(fā)布時(shí)有100名教師用戶(hù)，發(fā)布5天后有1000名教師用戶(hù)，如果教師用戶(hù)人數(shù)與天數(shù)t之間滿(mǎn)足關(guān)系式：，其中為常數(shù)，是剛發(fā)布的時(shí)間，則教師用戶(hù)超過(guò)30000名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】根據(jù)題意，列出方程組求得，由不等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的預(yù)算性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意得，可得，所以，則，故，所以教師用戶(hù)超過(guò)20000名至少經(jīng)過(guò)天.故選：C8．如圖，已知電路中4個(gè)開(kāi)關(guān)閉合的概率都是，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相互獨(dú)立的概率乘法公式，以及互斥事件與對(duì)立是事件的概率公式，即可求解.【詳解】由題意，燈泡不亮包括四個(gè)開(kāi)關(guān)都開(kāi)，下邊的2個(gè)都開(kāi)且上邊的2個(gè)中有一個(gè)開(kāi)另一個(gè)閉，這三種情況是互斥的，每一種情況中的事件都是相互獨(dú)立的，所以燈泡不亮的概率為，所以燈泡亮的概率為.故選：D.二、多選題9．一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中是最小值，是最大值，則（

）A．，，，的平均數(shù)等于，，…，的平均數(shù)B．，，，的第60百分位數(shù)等于，，…，的第60百分位數(shù)C．，，，的標(biāo)準(zhǔn)差小于，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差D．，，，的極差不大于，，…，的極差【答案】BD【分析】根據(jù)平均數(shù)、百分位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念，結(jié)合特殊值法，對(duì)選項(xiàng)中的結(jié)論逐一分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A：不妨令，，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：不妨令，因?yàn)?，則，，，的第60百分位數(shù)是；因?yàn)槭亲钚≈担亲畲笾?，且，故，，，，，的?0百分位數(shù)依然是，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)：取這六個(gè)數(shù)為：，則平均，標(biāo)準(zhǔn)差，的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，即，故錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)，，，中最小值為，最大值為，則，，則，故D正確；故選：BD.10．已知，則下列不等式一定成立的有（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由，可得，然后逐個(gè)分析判斷即可【詳解】由得.A.令，，則，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B.因?yàn)椋?，所以，故選項(xiàng)B正確；C.因?yàn)闉镽上遞增函數(shù)，由得，故選項(xiàng)C正確；D.由得，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.11．一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．事件A與事件B互斥C．事件A與事件B相互獨(dú)立 D．【答案】CD【分析】A.利用古典概型的概率求解判斷；B.利用互斥事件的定義判斷；C.利用獨(dú)立事件的概率求解判斷；D.利用并事件的概率求解判斷.【詳解】解：依題意，拋擲正四面體木塊，第一次向下的數(shù)字有1，2，3，4四個(gè)基本事件，則，A不正確：事件B含有的基本事件有8個(gè)：，，，，，，，，其中事件，，，發(fā)生時(shí)，事件A也發(fā)生，即事件A，B可以同時(shí)發(fā)生，B不正確；拋擲正四面體木塊兩次的所有基本事件有16個(gè)，，，即事件A與事件B相互獨(dú)立，C正確；，D正確.故選：CD.12．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的動(dòng)點(diǎn)，將分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)G，則下列結(jié)論正確的是（

）A．BG⊥EFB．G到平面DEF的距離為C．若BG∥面EFP，則二面角D?EF?P的余弦值為D．四面體G?DEF外接球表面積為【答案】ACD【分析】連，，證得平面，得到，進(jìn)而證得面，可判定A項(xiàng)正確；根據(jù)等體積法，求得G到面的距離，可判定B項(xiàng)錯(cuò)誤；令，連，，證得，，得到即為二面角的平面角，利用余弦定理求得二面角的余弦值可判定C項(xiàng)正確；將三棱錐放置于一個(gè)長(zhǎng)方體中，求得外接球半徑，進(jìn)而判定D項(xiàng)正確.【詳解】A中：連，，可知，因?yàn)?，，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，且平面，所以面，又因?yàn)槊?，所以，所以A項(xiàng)正確；B中：因?yàn)?，，所以為直角三角形，所以，所以故，又因?yàn)?，故G到面的距離（等體積法），所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；C中：令，連，，因?yàn)槊?，面，面面，所以，又，，又因?yàn)槊妫?，，所以即為二面角的平面角，因?yàn)槊妫?，在中，可得，又因?yàn)椋试谥?，由余弦定理的推論：，故二面角的余弦值為，所以C項(xiàng)正確；D中：由于，，兩兩互相垂直，不妨將三棱錐放置于一個(gè)長(zhǎng)寬均為2、高為4的長(zhǎng)方體中，其外接球半徑，故其表面積，所以D項(xiàng)正確.故選：ACD.三、填空題13．若，則．【答案】【分析】利用兩角和的余弦公式展開(kāi)原式后，再利用平方關(guān)系，求得的值.【詳解】，兩邊平方后得，，所以.故答案為：14．以棱長(zhǎng)為1的正方體各面的中心為頂點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)正八面體，那么這個(gè)正八面體的表面積是.【答案】【分析】根據(jù)正方體的特征易得正八面體的棱長(zhǎng)為，進(jìn)而求解即可.【詳解】由正方體的棱長(zhǎng)為1易得正八面體的棱長(zhǎng)為，故其表面積.故答案為：.

15．一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)小球，其中有3個(gè)紅色球、2個(gè)綠色球，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則兩個(gè)球顏色相同的概率為.【答案】/0.4【分析】根據(jù)題意寫(xiě)出從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球的所以可能結(jié)果結(jié)合兩個(gè)球顏色相同的結(jié)果，利用古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】用1、2、3表示3個(gè)紅色球，4、5表示2個(gè)綠色球，用數(shù)組表示可能的結(jié)果，x是第一次摸到球的標(biāo)號(hào)，y是第二次摸到球的標(biāo)號(hào)，則樣本空間所包含的樣本點(diǎn)為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20個(gè).其中兩個(gè)球顏色相同的事件有：，，，，，，，，共8種，故所求事件的概率為.16．在中，，，（，），若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立，則邊的最小值是.【答案】【分析】設(shè)，得到恒成立，得出，根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理，得到，即可求解.【詳解】設(shè)，如圖所示，因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)，都有恒成立，由恒成立，則，因?yàn)?，，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.

四、解答題17．如圖，在四棱錐P?中，底面ABCD為正方形，側(cè)面ADP是正三角形，側(cè)面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中點(diǎn).

(1)求證：AM⊥平面CDP；(2)求直線(xiàn)BP與底面ABCD所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證得，由，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)，證得平面，進(jìn)而得到，利用線(xiàn)面垂直的判定定理，即可證得平面；（2）取的中點(diǎn)，連，，證得平面，得到是所求直線(xiàn)與平面所成角，在直角中，即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)閭?cè)面為正三角形，且為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所?因?yàn)槠矫嫫矫媲移矫嫫矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋移矫?，所以平?（2）解：取的中點(diǎn)，連，，因?yàn)闉檎切?，且為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平面，所以是所求直線(xiàn)與平面所成角，不妨設(shè)，則在等邊中，可得，在直角中，；在直角中，，故，所以直線(xiàn)與底面所成角的正弦值為.

18．已知在中，，.(1)求；(2)設(shè)，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由結(jié)合三角形內(nèi)角和可求出，由得，化簡(jiǎn)后結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系可求出；（2）利用兩角和的正弦公式結(jié)合，求出，再利用正弦定理可求出，從而可求出三角形的面積.【詳解】（1），，.又，，即，∵，∴，得∵，，∴，∴.（2）∵，，所以，∴，由正弦定理，代入得，，；故.19．已知向量，，記函數(shù).(1)求使成立的x的取值集合；(2)已知，均為銳角，，，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出，并化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求解不等式；（2）先由已知求出，，，又因?yàn)?，由正弦和角公式?jì)算.【詳解】（1）由知，，，，解得，；（2），，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所?/p>

.20．某地區(qū)為了解市民的心理健康狀況，隨機(jī)抽取了位市民進(jìn)行心理健康問(wèn)卷調(diào)查，將所得評(píng)分百分制按國(guó)家制定的心理測(cè)評(píng)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)整理，得到頻率分布直方圖.已知調(diào)查評(píng)分在中的市民有200人.心理測(cè)評(píng)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)調(diào)查評(píng)分心理等級(jí)EDBBA

(1)求的值及頻率分布直方圖中的值；(2)該地區(qū)主管部門(mén)設(shè)定預(yù)案：若市民心理健康指數(shù)的平均值不低于0.75，則只需發(fā)放心理指導(dǎo)資料，否則需要舉辦心理健康大講堂.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說(shuō)明理由.（每組的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，心理健康指數(shù)=調(diào)查評(píng)分÷100）(3)在抽取的心理等級(jí)為D的市民中，按照調(diào)查評(píng)分的分組，分為2層，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣抽取3人進(jìn)行心理疏導(dǎo).據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評(píng)分在的市民的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B的概率為，調(diào)查評(píng)分在的市民的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B的概率為，假設(shè)經(jīng)心理疏導(dǎo)后的等級(jí)轉(zhuǎn)化情況相互獨(dú)立，求在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后恰有一人的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B的概率.【答案】(1)，(2)不需要舉辦心理健康大講堂活動(dòng)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)調(diào)查評(píng)分在中的市民有200人，且頻率為可求出的值，再由各組頻率和為1列方程可求出的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合平均數(shù)的定義求出調(diào)查評(píng)分的平均值，再計(jì)算出心理健康指數(shù)比較即可；（3）根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合分層抽樣的定義求出抽取的調(diào)查評(píng)分在和中的人數(shù)，然后根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式求解即可.【詳解】（1）由已知條件可得，又因?yàn)槊拷M的小矩形的面積之和為1.所以，解得；（2）由頻率分布直方圖可得，.估計(jì)市民心理健康調(diào)查評(píng)分的平均值為80.7，所以市民心理健康指數(shù)平均值為.所以只需發(fā)放心理指導(dǎo)材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動(dòng).（3）由（1）知：，則調(diào)查評(píng)分在中的人數(shù)是調(diào)查評(píng)分在中人數(shù)的，若按分層抽樣抽取3人，則調(diào)查評(píng)分在中有1人，在中有2人，設(shè)事件“在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后恰有一人的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B”.因?yàn)榻?jīng)心理疏導(dǎo)后的等級(jí)轉(zhuǎn)化情況相互獨(dú)立，所以.故經(jīng)心理疏導(dǎo)后恰有一人的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B的概率為.21．如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD?A'B'C'D'中，M為AD的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)在體對(duì)角線(xiàn)上是否存在動(dòng)點(diǎn)Q，使得AQ⊥平面？若存在，求出DQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，【分析】（1）連接交于點(diǎn)E，連接，證得，結(jié)合線(xiàn)面平行的判定定理，即可證得面.（2）根據(jù)題意，證得平面，得到平面平面，作，利用面面垂直的性質(zhì)，證得平面，再由，即可求得的長(zhǎng).【詳解】（1）證明：連接，交于點(diǎn)E，連接.因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以E是的中點(diǎn)，又M是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槊?，面，所以?（2）在對(duì)角線(xiàn)上存在點(diǎn)Q，且，使得平面，證明如下：因?yàn)樗倪呅问钦叫危?，因?yàn)槠矫妫?，所以，因?yàn)椋移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，作于Q，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以平面，由，可得，所以?dāng)時(shí)，平面.

22．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，對(duì)于區(qū)間（，），若滿(mǎn)足以下兩條性質(zhì)之一，則稱(chēng)I為的一個(gè)“區(qū)間”.性質(zhì)1：對(duì)任意，有；性質(zhì)2：對(duì)任意，有.(1)分別判斷區(qū)間是否為下列兩函數(shù)的“區(qū)間”（直接寫(xiě)出結(jié)論）；①；②.(2)若（）是函數(shù)的“區(qū)間”，求m的取值范圍；(3)已知定義在R上，且圖象連續(xù)不斷的函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意a，，且，有.求證：存在“區(qū)間”，且存在，使得不屬于的任意一個(gè)“區(qū)間”.【答案】(1)①是（滿(mǎn)足性質(zhì)1）；②不是(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的新定義，結(jié)合