2022年中考數(shù)學模擬試題壓軸題匯(一)

2022年中考數(shù)學試題壓軸題匯編(一)28.（蘭州市本題滿分11分）如圖1，已知矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3；拋物線經過坐標原點O和x軸上另一點E（4,0）（1）當x取何值時，該拋物線的最大值是多少？（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速移動.設它們運動的時間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點為N（如圖2所示）.①當時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由；②以P、N、C、D為頂點的多邊形面積是否可能為5，若有可能，求出此時N點的坐標；若無可能，請說明理由．圖1第28題圖圖2解：（1）因拋物線經過坐標原點O（0,0）和點E（4,0）故可得c=0,b=4所以拋物線的解析式為…………1分由得當x=2時，該拋物線的最大值是4.…………2分（2）①點P不在直線ME上.已知M點的坐標為(2,4)，E點的坐標為(4,0)，設直線ME的關系式為y=kx+b.于是得，解得所以直線ME的關系式為y=－2x+8.…………3分由已知條件易得，當時，OA=AP=，…4分∵P點的坐標不滿足直線ME的關系式y(tǒng)=－2x+8.∴當時，點P不在直線ME上.……5分②以P、N、C、D為頂點的多邊形面積可能為5∵點A在x軸的非負半軸上，且N在拋物線上，∴OA=AP=t.∴點P，N的坐標分別為(t,t)、(t,－t2+4t)………6分∴AN=－t2+4t(0≤t≤3),∴AN－AP=(－t2+4t)－t=－t2+3t=t(3－t)≥0,∴PN=－t2+3t………………………7分（?。┊擯N=0，即t=0或t=3時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是三角形，此三角形的高為AD，∴S=DC·AD=×3×2=3.（ⅱ）當PN≠0時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是四邊形∵PN∥CD，AD⊥CD，∴S=(CD+PN)·AD=[3+(－t2+3t)]×2=－t2+3t+3……………8分當－t2+3t+3=5時，解得t=1、2………9分而1、2都在0≤t≤3范圍內，故以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為5綜上所述，當t=1、2時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形面積為5，當t=1時，此時N點的坐標（1,3）………10分當t=2時，此時N點的坐標（2,4）………11分說明：（ⅱ）中的關系式，當t=0和t=3時也適合.（故在閱卷時沒有（?。挥校áⅲ┮部梢?不扣分）28．（鹽城市本題滿分12分）已知：函數(shù)y=ax2+x+1的圖象與x軸只有一個公共點．（1）求這個函數(shù)關系式；（2）如圖所示，設二次函數(shù)y=ax2+x+1圖象的頂點為B，與y軸的交點為A，P為圖象上的一點，若以線段PB為直徑的圓與直線AB相切于點B，求P點的坐標；（3）在(2)中，若圓與x軸另一交點關于直線PB的對稱點為M，試探索點M是否在拋物線y=ax2+x+1上，若在拋物線上，求出M點的坐標；若不在，請說明理由．AAxyOB1-21AxyOBPMCQ1-21AxyOBPMCQED∴函數(shù)的解析式為：y=x+1或`y=eq\f(1,4)x2+x+1……（3分）（2）∵eq\a(y=ax2+x+1)是二次函數(shù)，由（1）知該函數(shù)關系式為：y=eq\f(1,4)x2+x+1，則頂點為B（-2，0），圖象與y軸的交點坐標為A（0，1）………（4分）∵以PB為直徑的圓與直線AB相切于點B∴PB⊥AB則∠PBC=∠BAO∴Rt△PCB∽Rt△BOA∴，故PC=2BC，……………………（5分）設P點的坐標為(x，y)，∵∠ABO是銳角，∠PBA是直角，∴∠PBO是鈍角，∴x<-2∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x，P點的坐標為(x，-4-2x)∵點P在二次函數(shù)y=eq\f(1,4)x2+x+1的圖象上，∴-4-2x=eq\f(1,4)x2+x+1…（6分）解之得：x1=-2，x2=-10∵x<-2∴x=-10，∴P點的坐標為：(-10，16)…………………（7分）（3）點M不在拋物線eq\a(y=ax2+x+1)上……………（8分）由（2）知：C為圓與x軸的另一交點，連接CM，CM與直線PB的交點為Q，過點M作x軸的垂線，垂足為D，取CD的中點E，連接QE，則CM⊥PB，且CQ=MQ∴QE∥MD，QE=eq\f(1,2)MD，QE⊥CE∵CM⊥PB，QE⊥CEPC⊥x軸∴∠QCE=∠EQB=∠CPB∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=eq\f(1,2)CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE=eq\f(8,5)，QE=eq\f(16,5)∴Q點的坐標為(-eq\f(18,5)，eq\f(16,5))可求得M點的坐標為(eq\f(14,5)，eq\f(32,5))…………………（11分）∵eq\f(1,4)(\f(14,5))2+(\f(14,5))+1=eq\f(144,25)≠eq\f(32,5)∴C點關于直線PB的對稱點M不在拋物線eq\a(y=ax2+x+1)上……（12分）(其它解法，仿此得分)BFAPEOxy(第24題圖) 24.(金華卷)如圖，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標系中，A，B兩點坐標分別為（3，0）和(0，3）.動點P從A點開始沿折線AO-OB-BA運動，點P在AO，OB，BA上運動的速度分別為1，，2(長度單位/秒)﹒一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以eq\f(\r(,3),3)(長度單位/秒)的速度向上平行移動（即移動過程中保持l∥x軸），且分別與OB，AB交于E，F(xiàn)兩點﹒設動點P與動直線l同時出發(fā)，運動時間為t秒，當點P沿折線AO-OB-BABFAPEOxy(第24題圖) 請解答下列問題： （1）過A，B兩點的直線解析式是▲；（2）當t﹦4時，點P的坐標為▲；當t﹦▲，點P與點E重合； （3）①作點P關于直線EF的對稱點P′.在運動過程中，若形成的四邊形PEP′F為菱形，則t的值是多少？②當t﹦2時，是否存在著點Q，使得△FEQ∽△BEP?若存在,求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由． 解：（1）；………4分（2）（0,），；……4分（各2分）BFBFAPEOxyGP′P′(圖1)（3）①當點在線段上時，過作⊥軸，為垂足（如圖1）∵,,∠∠90°∴△≌△，∴﹒又∵,∠60°,∴BFAPEOxyMBFAPEOxyMP′H（圖2)由得；…1分當點P在線段上時，形成的是三角形，不存在菱形；當點P在線段上時，過P作⊥，⊥，、分別為垂足（如圖2）∵,∴,∴∴，又∵在Rt△中，即，解得．…………………1分BFAPEOBFAPEOxQ′B′QCC1D1(圖3)y∵，∴,，將△繞點順時針方向旋轉90°，得到△（如圖3）∵⊥，∴點在直線上， C點坐標為（，－1）過作∥，交于點Q,則△∽△由，可得Q的坐標為（－，）………1分根據(jù)對稱性可得，Q關于直線EF的對稱點（－，）也符合條件．……1分24.(紹興市)如圖,設拋物線C1:,C2:,C1與C2的交點為A,B,點A的坐標是,點B的橫坐標是－2.第24題圖（1）求的值及點B的坐標；第24題圖（2）點D在線段AB上,過D作x軸的垂線,垂足為點H,在DH的右側作正三角形DHG.記過C2頂點Ｍ的直線為,且與x軸交于點N.①若過△DHG的頂點G,點D的坐標為(1,2)，求點N的橫坐標；②若與△DHG的邊DG相交,求點N的橫坐標的取值范圍.解：（1）∵點A在拋物線C1上，∴把點A坐標代入得=1.∴拋物線C1的解析式為,設B(－2,b)，∴b＝－4,∴B(－2,－4).（2）①如圖1，∵M(1,5)，D(1,2),且DH⊥x軸，∴點M在DH上，MH=5.過點G作GE⊥DH,垂足為E,由△DHG是正三角形,可得EG=,EH=1，第24題圖1∴ME＝4.第24題圖1設N(x,0),則NH＝x－1,由△MEG∽△MHN,得,∴,∴,∴點N的橫坐標為．第24題圖2②當點Ｄ移到與點A重合時,第24題圖2直線與DG交于點G,此時點Ｎ的橫坐標最大．過點Ｇ,Ｍ作x軸的垂線,垂足分別為點Ｑ,F,設Ｎ（x，0），∵A(2,4),∴G(,2),∴NQ=，ＮF=,GQ=2,MF=5.∵△NGQ∽△NMF，∴,第24題圖3圖4∴第24題圖3圖4∴.當點D移到與點B重合時,如圖3，直線與DG交于點D,即點B,此時點N的橫坐標最小.∵B(－2,－4),∴H(－2,0),D(－2,－4),設N（x，0），∵△BHN∽△MFN，∴，∴,∴.∴點N橫坐標的范圍為≤x≤.24.(麗水市卷)△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐標系中，使AB的中點位于坐標原點O(如圖)，△ABC可以繞點O作任意角度的旋轉．OyxCBA(第24題)1OyxCBA(第24題)11-1-1(2)如果拋物線(a≠0)的對稱軸經過點C，請你探究：①當，，時，A，B兩點是否都在這條拋物線上？并說明理由；②設b=-2am，是否存在這樣的m的值，使A，B兩點不可能同時在這條拋物線上？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．解：OyxCBOyxCBA(甲)11-1-1由此，可求得點C的坐標為(，)， ……1分點A的坐標為(，)，∵A，B兩點關于原點對稱，OyxCBA(乙)11OyxCBA(乙)11-1-1將點A的橫坐標代入(＊)式右邊，計算得，即等于點A的縱坐標；將點B的橫坐標代入(＊)式右邊，計算得，即等于點B的縱坐標．∴在這種情況下，A，B兩點都在拋物線上． ……2分情況2：設點C在第四象限(如圖乙)，則點C的坐標為(，-)，點A的坐標為(，)，點B的坐標為(，)．經計算，A，B兩點都不在這條拋物線上． ……1分(情況2另解：經判斷，如果A，B兩點都在這條拋物線上，那么拋物線將開口向下，而已知的拋物線開口向上．所以A，B兩點不可能都在這條拋物線上)②存在．m的值是1或-1． ……2分(，因為這條拋物線的對稱軸經過點C，所以-1≤m≤1．當m=±1時，點C在x軸上，此時A，B兩點都在y軸上．因此當m=±1時，A，B兩點不可能同時在這條拋物線上)20.（益陽市）如圖9，在平面直角坐標系中，已知A、B、C三點的坐標分別為A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.(1)求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；(2)過Ｃ點作CD平行于軸交拋物線于點D，寫出D點的坐標，并求AD、BC的交點E的坐標；(3)若拋物線的頂點為Ｐ，連結ＰC、ＰD，判斷四邊形CEDP的形狀，并說明理由.解：⑴由于拋物線經過點，可設拋物線的解析式為，則，解得∴拋物線的解析式為……………4分⑵的坐標為……………5分直線的解析式為直線的解析式為由求得交點的坐標為……………8分⑶連結交于，的坐標為又∵，∴，且∴四邊形是菱形……………12分26．(丹東市)如圖，平面直角坐標系中有一直角梯形OMNH，點H的坐標為（－8，0），點N的坐標為（－6，－4）．（1）畫出直角梯形OMNH繞點O旋轉180°的圖形OABC，并寫出頂點A，B，C的坐標（點M的對應點為A，點N的對應點為B，點H的對應點為C）；（2）求出過A，B，C三點的拋物線的表達式；（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F(xiàn)，G分別在線段CO，OA，AB上，求四邊形BEFG的面積S與m之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍；面積S是否存在最小值?若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由；（4）在（3）的情況下，四邊形BEFG是否存在鄰邊相等的情況，若存在，請直接寫出此時m的值，并指出相等的鄰邊；若不存在，說明理由．解：（1）利用中心對稱性質，畫出梯形OABC． 1分∵A，B，C三點與M，N，H分別關于點O中心對稱，∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） 3分（寫錯一個點的坐標扣1分）OMOMNHACEFDB↑→－8(－6，－4)xy（2）設過A，B，C三點的拋物線關系式為，∵拋物線過點A（0，4），∴．則拋物線關系式為． 4分將B（6，4），C（8，0）兩點坐標代入關系式，得 5分解得 6分所求拋物線關系式為：． 7分（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． 8分∴OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA（0＜＜4） 10分∵．∴當時，S的取最小值．又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． 12分（4）當時，GB=GF，當時，BE=BG． 14分25.（威海市12分）（1）探究新知：①如圖，已知AD∥BC，AD＝BC，點M，N是直線CD上任意兩點．ABDCMNABDCMN圖①②如圖，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，點M是直線CD上任一點，點G是直線EF上任一點．試判斷△ABM與△ABG的面積是否相等，并說明理由．CC圖②ABDMFEG（2）結論應用：如圖③，拋物線的頂點為C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點D．試探究在拋物線上是否存在除點C以外的點E，使得△ADE與△ACD的面積相等？若存在，請求出此時點E的坐標，若不存在，請說明理由．﹙友情提示：解答本問題過程中，可以直接使用“探究新知”中的結論．﹚AA圖③CDBOxy解：﹙1﹚①證明：分別過點M，N作ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為點E，F(xiàn)．ABDCMN圖①EF∵ABDCMN圖①EF∴四邊形ABCD為平行四邊形．∴AB∥CD．∴ME=NF．∵S△ABM＝，S△ABN＝，∴S△ABM＝S△ABN．……………………1分②相等．理由如下：分別過點D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分別為H，K．HC圖②ABDMFEGHC圖②ABDMFEGK∵AD∥BE，∴∠DAH=∠EBK．∵AD＝BE，∴△DAH≌△EBK．∴DH=EK．……………2分∵CD∥AB∥EF，∴S△ABM＝，S△ABG＝，∴S△ABM＝S△ABG.…………………3分﹙2﹚答：存在．…………4分解：因為拋物線的頂點坐標是C(1，4)，所以，可設拋物線的表達式為.又因為拋物線經過點A(3，0)，將其坐標代入上式，得，解得.∴該拋物線的表達式為，即．………5分∴D點坐標為（0，3）．設直線AD的表達式為，代入點A的坐標，得，解得.∴直線AD的表達式為．過C點作CG⊥x軸，垂足為G，交AD于點H．則H點的縱坐標為．∴CH＝CG－HG＝4－2＝2．…………6分設點E的橫坐標為m，則點E的縱坐標為．過E點作EF⊥x軸，垂足為F，交AD于點P，則點P的縱坐標為，EF∥CG．A圖③-1CDBOxyH PGFPA圖③-1CDBOxyH PGFPE①若E點在直線AD的上方﹙如圖③-1﹚，則PF=，EF＝．∴EP＝EF－PF＝=．∴．解得，．……………7分當時，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3．∴E點坐標為（2，3）．同理當m=1時，E點坐標為（1，4），與C點重合．………………8分②若E點在直線AD的下方﹙如圖③－2,③－3﹚，則．……………9分∴．解得，．………………10分當時，E點的縱坐標為；當時，E點的縱坐標為．∴在拋物線上存在除點C以外的點E，使得△ADE與△ACD的面積相等，E點的坐標為E1（2，3）；；．………………12分﹙其他解法可酌情處理﹚AA圖③－3CDBOxyH PGFPEA圖③－2CDBOxyH PGFPE24.(湖北省恩施自治州12分)如圖11，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點.（1）求這個二次函數(shù)的表達式．（2）連結PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POPC，那么是否存在點P，使四邊形POPC為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大并求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積.圖11解：（1）將B、C兩點的坐標代入得……2分解得：所以二次函數(shù)的表達式為：……………3分（2）存在點P，使四邊形POPC為菱形．設P點坐標為（x，），PP交CO于E若四邊形POPC是菱形，則有PC＝PO．連結PP則PE⊥CO于E，∴OE=EC=∴=．…6分∴=解得=，=（不合題意，舍去）∴P點的坐標為（，）…………8分（3）過點P作軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設P（x，），易得，直線BC的解析式為則Q點的坐標為（x，x－3）.=……………10分當時，四邊形ABPC的面積最大此時P點的坐標為，四邊形ABPC的面積．………………12分23．（河南省11分）在平面直角坐標系中，已知拋物線經過A，B，C三點．（1）求拋物線的解析式；（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S．求S關于m的函數(shù)關系式，并求出S的最大值．（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標．27．（貴州省遵義市14分）如圖，已知拋物線的頂點坐（27題圖）標為Q，且與軸交于點C，與軸交于A、B兩（27題圖）點（點A在點B的右側），點P是該拋物線上一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與A不重合），過點P作PD∥軸，交AC于點D．(1)求該拋物線的函數(shù)關系式；(2)當△ADP是直角三角形時，求點P的坐標；(3)在問題(2)的結論下，若點E在軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）（3分）∵拋物線的頂點為Q（2，-1）∴設將C（0，3）代入上式，得∴，即（2）（7分）分兩種情況：①(3分)當點P1為直角頂點時,點P1與點B重合(如圖)令=0,得解之得,∵點A在點B的右邊,∴B(1,0),A(3,0)∴P1(1,0)②(4分)解:當點A為△APD2的直角頂點是(如圖)∵OA=OC,∠AOC=,∴∠OAD2=當∠D2AP2=時,∠OAP2=,∴AO平分∠D2AP2又∵P2D2∥軸,∴P2D2⊥AO,∴P2、D2關于軸對稱.設直線AC的函數(shù)關系式為將A(3,0),C(0,3)代入上式得,∴∴∵D2在上,P2在上,∴設D2(,),P2(,)∴()+()=0,∴,(舍)∴當=2時,==-1∴P2的坐標為P2(2,-1)(即為拋物線頂點)∴P點坐標為P1(1,0),P2(2,-1)(3)(4分)解:由題(2)知,當點P的坐標為P1(1,0)時,不能構成平行四邊形當點P的坐標為P2(2,-1)(即頂點Q)時,平移直線AP(如圖)交軸于點E,交拋物線于點F.當AP=FE時,四邊形PAFE是平行四邊形∵P(2,-1),∴可令F(,1)∴解之得:,∴F點有兩點,即F1(,1),F2(,1)25．（龍巖市14分）如圖①，將直角邊長為的等腰直角三角形ABC繞其直角頂點C順時針旋轉α角（0°＜α＜90°），得△A1B1C，A1C交AB于點D，A1B1分別交于BC、AB于點E、F，連接AB（1）求證：△ADC∽△A1DF；（2）若α=30°，求∠AB1A1（3）如圖②，當α=45°時，將△A1B1C沿C→A方向平移得△A2B2C2，A2C2交AB于點G，B2C2交BC于點H，設CC2=x（0＜x＜），△ABC與△A2B2C2的重疊部分面積為S，試求圖圖①圖②備用圖（第25題圖）解：（1）證明：如圖①，根據(jù)旋轉變換的性質易知∠CAD=∠FA1D 1分∵∠1=∠2 2分∴△ADC∽△A1DF 4分（2）解：圖①（法一）∵CA=CA1=CB=CB1圖①∵點A、A1、B、B1均在以C為圓心半徑為的圓上， 2分∴∠AB1A1= 4分（法二）如圖①，∵AC=B1∴∠4=∠3 1分∵，∠A1CB1=90°∴∠ACB1=120° 2分∴∠4==30° 3分∴∠AB1A1=∠CB1A1∠4=4530°=15（法三）如圖①，∵AC=B1∴∠4=∠3 1分∵∠CAB=∠CB1A1∴∠CAB∠3=∠CB1A1∠即∠B1AB=∠AB1A1 2∵∠5=∠B1AB+∠AB1A∴∠5=2∠AB1A1 3∵△ADC∽△A1DF∴∠5=∴∠AB1A1= 4分（3）解：△A1B1C在平移的過程中，易證得△AC2G、△HB2E、△A2FG、△C2△FBE均是等腰直角三角形，四邊形AC2B2F∵AB==2∴當α=45°時，CE=CD=AB=1情形①：當0＜x＜1時（如圖②所示），△A2B2C2與△ABC的重疊部分為五邊形C2HEFG（法一）S五邊形C2HEFG=S平行四邊形AC2B2FSRt△AC2GSRt△HB2E∵C2C=x∴CH=x，AC2=，B2E=HE=∴AG=C2G=AC2=∴S平行四邊形AC2B2F=AC2·CE=（）·1=圖②SRt△AC2G=·AG2圖②SRt△HB2E=·B2E2= 3分∴S五邊形C2HEFG== 4分（法二）S五邊形C2HEFG=SRt△A2B2C2SRt△A2FGSRt△HB2∵C2C=∴AC2=，B2E=∴C2G=AC2=A2G=A2C2C2G∴SRt△A2B2C2=A2=SRt△A2FG=A2G2=SRt△HB2E=B2E2= 3分∴S五邊形C2HEFG== 4分（法三）S五邊形C2HEFG=SRt△ABCSRt△AC2GSRt△C2HCSRt△FBE∵C2C=∴AC2=，CH=，BE=∴AG=C2G=AC2=∴SRt△ABC=A==1SRt△AC2G=AG2=SRt△C2HC=C2C2SRt△FBE=BE2= 3分∴S五邊形C2HEFG== 4分情形②：當1≤x＜時（如圖③所示），△A2B2C2與△ABC的重疊部分為直角梯形C2B2FG 5（法一）S直角梯形C2B2FG=S平行四邊形C2B2FASRt△AC2G=AC2·CEAG2== 6分（法二）S直角梯形C2B2FG=SRt△A2B2C2SRt△A2圖③=