第07講構造法求數(shù)列通項的六種方法（解析）

第07講構造法求數(shù)列通項的六種方法考法一：an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0）例題分析【例1】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1(1)求證：數(shù)列an(2)求數(shù)列{an}的前n項和S【詳解】（1）證明：設a則a因為a所以t=3即a所以an+3an-又a1所以數(shù)列an+3是以a1+3=4（2）由（1）an+3=4所以S==4?滿分秘籍遇到an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0）的形式第一步構造出：an＋1＋t＝p（an＋t）的形式；第二步利用待定系數(shù)求出t的值。則數(shù)列{an＋t}為公比為p的等比數(shù)列。變式訓練【變式1-1】已知數(shù)列an滿足a(1)求an(2)若bn=2n-1，數(shù)列cn滿足c4【答案】(1)a(2)S【分析】（1）根據(jù)遞推關系解方程得a1=2，進而證明數(shù)列an-1（2）由題知c4n-3+c4n-2+c4n-1【詳解】（1）解：數(shù)列an滿足所以，a2=2a由an+1=2an所以，數(shù)列an-1是等比數(shù)列，公比為2所以an-所以，an的通項公式為（2）解：因為bn=2n所以c4n-3=b2所以，c4令dn設數(shù)列dn的前n項和為T因為數(shù)列8n-2為等差數(shù)列，所以，T因為數(shù)列cn的前4n+1項和為Tn與c4n+1所以，S4n+1【變式1-2】已知數(shù)列an滿足a1=1(1)求證：數(shù)列an(2)若bn=2n+1an+1-【答案】(1)證明見解析(2)Sn=4n?【分析】（1）根據(jù)遞推公式證明an（2）先由（1）求得數(shù)列an的通項，從而可得數(shù)列bn【詳解】（1）因為an所以an又a1所以an+1是以2為首項，以（2）由（1）知an+1=2?3所以bn故Sn則3S兩式相減得-==-8n?3所以Sn【變式1-3】在數(shù)列an中，a1=(1)求an(2)求數(shù)列an的前n項和S【答案】(1)a(2)S【分析】（1）由題知數(shù)列an+15是首項為a1（2）由題知an=34n-1-15為單調遞減數(shù)列，再根據(jù)【詳解】（1）解：因為在數(shù)列an中，a1=所以，an+1所以，等式兩邊同加上15得a因為，a所以，數(shù)列an+15是首項為所以，an（2）解：因為an+1-an所以，an因為a6=3所以，n<7時，an>0，n≥7時，記an的前n項和為Tn，則所以，當n≤6時，an>0，當n≥7時，an<0，TSn=所以，①+②得：Sn+T綜上，S考法二：an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)例題分析【例2】已知：a1=1，n≥2時，a【答案】a【分析】構造等比數(shù)列an-【詳解】設an+An+B=1∴-12A=2,又a1-4+6=3，∴an-4n+6∴an-4n+6=312滿分秘籍先構造出an+An+B=pan-1變式訓練【變式2-1】已知數(shù)列{an}滿足：a（1）證明：數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列并求數(shù)列{（2）設bn=(2n-1)?(an【答案】（1）證明見解析，Sn=2n+1-【分析】（1）要證數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列，只需證明an+1+(n+1)an+n等于同一個常數(shù)即可，根據(jù)（2）求出數(shù)列{bn}得通項公式，利用錯位相減法即可求得數(shù)列{bn【詳解】（1）證明：因為an+1所以an+1+(n+1)=2aa1所以數(shù)列{an+n}是以2則an+n=2?2n-1所以S==2（2）解：bn則Tn2Tn=①-②得：-

=2×(2+

=-(2所以Tn【變式2-2】設數(shù)列an滿足a1=2(1)求證：an-n(2)若bn=an-n?【答案】(1)證明見解析，a(2)T【分析】（1）由遞推公式可得an-n=2an-1-n-1，即可得到a（2）由（1）可得bn【詳解】（1）解：因為a1=2，所以an=2又a1-1=2-1=1，所以an所以an-（2）解：由（1）可得bn所以Tn=1×所以2Tn①-②得-即-Tn=【變式2-3】已知數(shù)列an中，a1=1，滿足an+1=2a(1)證明：數(shù)列an(2)若不等式λ?2n+S【答案】(1)證明見解析(2)-【分析】（1）依題意可得an+1+2n+1+1=2an+2n+1（2）利用分組求和法求出Sn，依題意可得?λ?2n+2n+2-n【詳解】（1）因為an+1所以an+1所以an+2n+1是以a1所以an+2n+1=4×2（2）因為an所以Sn=22+若λ?2n+Sn可得λ?2n>n2所以λ>n2+2n2n所以?b1<b2所以λ的取值范圍為-2,+∞考法三：an＋1＝pan＋rqn例題分析【例3-1】p=q已知數(shù)列an的首項a1=(1)求數(shù)列an(2)設bn=2nan，將數(shù)列bn分組：b1，b2,b（i）求數(shù)列cn（ii）證明1c【答案】(1)a(2)（i）cn=n【分析】（1）把已知的式子an+1=12an+1（2）（i）先由（1）得出bn的通項公式，然后根據(jù)分組找出分組規(guī)律，進而求出數(shù)列cn（ii）由（i）得出ncn的通項公式，然后根據(jù)該通項公式的特點進行放縮，從而求出數(shù)列ncn【詳解】（1）依題意2n+1an+1∴數(shù)列2nan是以1∴2∴a（2）（i）由（1）知bn=2n-1.設bn的前n項和為S顯然數(shù)列bn分組后第n組有n項，前面n-1組共有n∴當n≥2時，cn當n=1時，c1∴數(shù)列cn的通項公式為c（ii）∵n∴當n≥2時，1n當n=1時，1c當n≥2時，1=1+1故1c【例3-2】p≠q已知數(shù)列{an}滿足an+1【答案】a【分析】解法一：利用待定系數(shù)法可得an+1-4×3n=2a解法二：兩邊同時除以3n+1得a【詳解】解法一：因為an+1設an+1所以an+1則λ2=2λ即an+1則數(shù)列an-4×3n-1是首項為所以an-4×解法二：因為an+1=2an+4×所以an+13n+1所以an3n-4所以an3n-4滿分秘籍當p=q時，等式兩邊同時除以p，即可構造出一個等差數(shù)列。當p≠q時，可設an變式訓練【變式3-1】已知數(shù)列an中,a1=2(1)求證:an+2n是等比數(shù)列,(2)設bn=3×2n4an-【答案】(1)證明見解析,a(2)T【分析】(1)計算得出an+1+2n+1=4an+2n,(2)化簡數(shù)列bn的通項公式,利用裂項相消即可求得【詳解】（1）證明:∵∴a∵a故數(shù)列an+2n是以4∴a即an（2）由題知b====3∴=32=3故Tn【變式3-2】若數(shù)列an滿足a1=2(1)證明:an(2)設an的前n項和為Sn,求滿足Sn【答案】(1)證明見解析(2)7【分析】(1)根據(jù)題意構造數(shù)列證明等比,求出首項及公比即可,(2)由(1)求出an+1-3an的通項公式,與題中等式聯(lián)立,求出an通項公式,進而求出前n項和為Sn【詳解】（1）證明：因為an+1所以an+2-2故a=3又a1=2,則a2故an+1-3an（2）由(1)得an+1-又an+1-②－①得,an故S==2易得Sn為遞增數(shù)列又S7=1220<2023,Sn<2023,故n考法四：an＋2＝pan+1＋qan例題分析【例4】已知數(shù)列{an}中，a【答案】a【分析】構造法求證{an+1【詳解】an+2=23as+t=23st=-13不妨令an+2-a所以{an+1-an}是以累加法可得：ana又a1=1符合上式，故滿分秘籍設出an+2-san+1變式訓練【變式4-1】已知數(shù)列an滿足a1=3，a2【答案】an=14．3n+1+3【分析】法1：構造an+1+an為等比數(shù)列，求出其通項，再分奇偶討論，利用累加法求解即可；法2：利用二階特征根方程求解得到an=α?3n+β?-【詳解】法1：已知an+2=2a則an+1+an是首項為故an+1+a②-①得，a當n為奇數(shù)時，an-an-2=2×3n-1，a累加可得，an所以an當n為偶數(shù)時，an綜上，an法2：由特征根方程x2=2x+3得，x1所以an=α?3n+β?-1nan【變式4-2】已知數(shù)列an滿足a1=1，a(1)證明：an(2)證明：存在兩個等比數(shù)列bn，cn，使得【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由an+2=5a（2）通過兩次構造等比數(shù)列，求出an的通項公式，根據(jù)通項公式得出結論即可【詳解】（1）由已知，an+2=5an+1∴an+2顯然an+1-2an=0與a∴an+2∴數(shù)列an+1-2an是首項為（2）∵an+2=5an+1∴an+2顯然an+1-3an=0與a∴∴an+2∴數(shù)列an+1-3an∴an+1-3又∵由第（1）問，an+1-2∴②-①得，an∴存在bn=3n，cn=-2n，兩個等比數(shù)列【變式4-3】已知數(shù)列an滿足a1=5，a(1)求證：數(shù)列an+1-(2)若an-2n>λ【答案】(1)證明過程見解析，a(2)-【分析】（1）根據(jù)題意結合等比數(shù)列定義證明an+1-2an為等比數(shù)列，得到a（2）在第一問的基礎上，分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況，利用作差法得到cn=3n【詳解】（1）∵an+2=5an+1-故數(shù)列an+1-2an∴an+1-2可得an+13n+1故數(shù)列an3n-1∴an3n（2）由（1）可得：an-2故3n>λ(3n+1)(-1)n-1對任意的n∈N設cn=3n3n+1故數(shù)列cn當n為奇數(shù)時，則cn>λ對任意的n∈N*恒成立，，可得當n為偶數(shù)時，則cn>-λ對任意的n∈N*恒成立，，可得綜上所述：實數(shù)λ的取值范圍-9考法五：an＋1＝an例題分析【例5】已知數(shù)列an滿足：a1=2【答案】a【分析】取倒數(shù)后得到1an是等差數(shù)列，求出1【詳解】取倒數(shù)：1an=1an-1+2?1∴1∴an滿分秘籍等式兩邊同時取倒數(shù)，即可得到一個新的等比數(shù)列。變式訓練【變式5-1】在數(shù)列{an}中，a【答案】a【分析】將已知關系式變形為aa+1an+3an+1=an，兩邊同除以【詳解】由已知關系式得1a所以數(shù)列{1an+12}所以a【變式5-2】已知數(shù)列an中，a1=(1)求數(shù)列an(2)求證：數(shù)列an的前n項和S【答案】(1)a(2)證明見解析【分析】（1）兩邊同時取到數(shù)，構造等比數(shù)列求解即可；（2）放縮法證明不等式即可.【詳解】（1）因為a1=13，所以1an+1=2又a1=13，所以1an+1故數(shù)列1an-1是首項為所以1an-（2）因為an=所以Sn【變式5-3】已知數(shù)列an的首項a1=(1)求證：數(shù)列1a(2)若1a1+【答案】(1)證明見解析(2)50【分析】（1）兩邊取倒數(shù)，再同時減2，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可證明.(2)利用等比數(shù)列求和公式求和，再根據(jù)函數(shù)單調性，即可求解.【詳解】（1）證明：由an+1=21an+1故數(shù)列1an（2）由（1）可知1an-1令fn=1-12n+2n，易知fn隨考法六：an＋1＝pan2例題分析【例6】設正項數(shù)列an滿足a1=1，a【答案】a【分析】在等式an=2an-12n≥2兩邊取對數(shù)可得log2an=2【詳解】對任意的n∈N*，因為an=2a所以，log2an所以，數(shù)列l(wèi)og2an+1是首項為所以，log2an滿分秘籍兩邊同時取對數(shù)，可以構造出一個等比數(shù)列。變式訓練【變式6-1】數(shù)列an中，a1=2，an【答案】a【分析】對an+1=an2兩邊同時取以2為底的對數(shù)，構造bn【詳解】取以a1=2為底的對數(shù)，得到log2an+1=log2an2，log2an+1=2log223．已知數(shù)列an，a1=100（1）求數(shù)列an（2）設bn=n+1lgan【答案】（1）an=102n【分析】（1）在等式an+1=an2兩邊取常用對數(shù)，得出lgan+1（2）求得bn=n+1【詳解】（1）在數(shù)列an中，a1=100，an+1=an2n∈對任意的n∈N*，在等式an+1=an2兩邊取常用對數(shù)，可得lg所以，數(shù)列l(wèi)gan是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此，an（2）由（1）可得bn∴T2T上式-下式得-Tn=2?因此，Tn【點睛】本題考查利用構造法求數(shù)列通項，同時也考查了錯位相減法，考查計算能力，屬于中等題.24．已知數(shù)列an滿足a1=3(1)證明數(shù)列l(wèi)nan-1(2)若bn=1an+1an【答案】(1)證明見解析，a(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)遞推公式證明lna（2）由an+1=an2-2an+2，得an+1-【詳解】（1）因為an+1=a則lna又lna所以數(shù)列l(wèi)nan-1是以則lna所以an（2）由an+1=a則1a所以1a所以bn所以S==2因為222n所以Sn真題專練1．已知數(shù)列an,a(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列bn的前n項和T【答案】(1)an(2)Tn【分析】（1）利用構造等比數(shù)列的方法求出通項公式作答.（2）由（1）及已知，利用錯位相減法求和作答.【詳解】（1）因為數(shù)列an滿足a1=1,因此數(shù)列{ann2}是以a11所以數(shù)列an的通項公式是a（2）由（1）知，bn則Tn于是有2T兩式相減得-Tn=3+所以Tn2．已知數(shù)列an滿足a1=1（1）證明：數(shù)列1an是等差數(shù)列，并求數(shù)列（2）設bn=an2n+1，數(shù)列bn的前n項和為Sn【答案】（1）見解析，an=12n-1【分析】（1）對遞推式兩邊取倒數(shù)化簡,即可得出1an+1-1a（2）由（1）得bn=1212n-1-【詳解】（1）∵an+1=an2an+1，兩邊取倒數(shù)∴數(shù)列1an是以1為首項，∴1an=1a（2）由（1）得bn∴Sn=1要使不等式Sn＜k對一切n∈N*恒成立，則k∴k的范圍為:12【點睛】本題考查了構造法求等差數(shù)列的通項公式，裂項相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題．3．已知正項數(shù)列{an}滿足3（1）求證：數(shù)列1an-（2）證明：數(shù)列{an}的前n【答案】（1）證明見解析，an=12×【分析】（1）由條件易得1an-1=（2）由（1）可得an=【詳解】證明：（1）由，知1a所以1a所以1an-1是以1故而1an-1=2×（2）由（1）可得an所以Sn==12×4．已知數(shù)列bn是首項為1的等差數(shù)列，數(shù)列an滿足an+1-（1）求數(shù)列an（2）令cn=an?bn【答案】(1)an=3【詳解】試題分析:（1）根據(jù)數(shù)列an的遞推關系式以及等比數(shù)列的定義,得出an+12是一個等比數(shù)列,根據(jù)基本量運算求解即可;(2)先求出等差數(shù)列bn的通項公式,代入試題解析:（1）∵an+1-3an-1=0∴an+12是首項為∴an+1（2）由（1）知，b3=a2-1=∴Tn令Sn=1×3+2×3Sn①-②得-∴Sn=2n-1?點睛:用錯位相減法求和應注意的問題:(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式；(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.5．已知數(shù)列an滿足a1=1（1）設bn=a（2）求數(shù)列an的前n項和S【答案】（1）證明見解析；（2）Sn【分析】（1）由已知an+1+3=2(an+3)（2）由（1）可得到bn的通項公式，進而得到an的通項公式，由分組求和法可得到【詳解】解：（1）數(shù)列{an}滿足所以an+1即an+1又bn所以bn+1bn=2，又所以數(shù)列{bn}是以4（2）由（1）可得，bn所以an所以S====6．設數(shù)列an滿足(1)求an(2)設bn=1-an【答案】(1)a(2)證明見解析【分析】（1）由已知寫出11-an（2）應用裂項相消法求Sn，即可證結論【詳解】（1）由11-an+1-1故11-an（2）bn所以Sn=7．已知數(shù)列an，bn滿足a1=118，2a【答案】證明見解析，bn【分析】由2an+1-an=16a【詳解】證明：因為2an+1-所以1a所以1an+1-又因為b1所以bn是首項為2，公比為2所以bn8．在數(shù)列an中，a1=1(1)設bn=a(2)求數(shù)列an的通項公式a【答案】(1)證明見解析(2)a【分析】（1）由已知得an+12n（2）由（1）bn=n可得【詳解】（1）由an+1=2an+2n得a又b1=1，∴bn是首項為1公差為（2）由（1）bn為等差數(shù)列，b1=1，∴b所以an9．已知數(shù)列an和bn滿足：a1=12，an(1)求數(shù)列an和b(2)設數(shù)列cn=an?bn【答案】(1)an=(2)n-1【分析】（1）構造等比數(shù)列，求解an的通項公式；利用an=S1,n=1Sn-Sn-1,n≥2求解b【詳解】（1）∵a∴設an+1+λ=2∴λ=∴a∴an+1∴a∴a當n≥2時b當n=1時，b1=故bn的通項公式為：（2）c∴設n?2n的前n則Sn2S①-②得：-S∴S∴T10．已知數(shù)列an滿足a1=1(1)求數(shù)列an(2)若bn=2n?an【答案】(1)a(2)S【分析】（1）由題意得數(shù)列ann為常數(shù)列，可數(shù)列（2）利用錯位相減法求數(shù)列前n項和.【詳解】（1）由n-1an-nan-1=0n≥2，得（2）bnSn2S兩式相減，-S所以S11．已知數(shù)列an中，a（1）求證：數(shù)列an（2）令bn=(-1)nan,Sn為數(shù)列【答案】（1）證明見解析；（2）最小值為67.【分析】（1）將遞推關系式變形為an+1（2）先求出數(shù)列{bn}的通項公式，再分奇偶討論求【詳解】（1）由nan+1-a∴an+1n+1=a（2）由（1）知：a即bn∴當n為偶數(shù)時，Sn=-當n為奇數(shù)時，Sn=Sn+1-結合n為奇數(shù)得：n的最小值為67.所以n的最小值為67.【點睛】方法點睛：一般根據(jù)遞推關系式要證明數(shù)列為什么數(shù)列，就根據(jù)遞推關系式同構成要證明的數(shù)列的結構即可.對于含有調節(jié)數(shù)列的結構在求和時一般要分奇偶討論.12．已知數(shù)列an滿足a1=1,(1)證明數(shù)列an+1-(2)求數(shù)列an的前n項和S【答案】(1)證明見詳解，a(2)T【分析】（1）根據(jù)遞推公式構造可證，然后借助an+1-2（2）由錯位相減法可得.【詳解】（1）因為a所以a又因為a所以an+1-2an是以所以a變形得a所以{an2n}所以an2（2）因為Tn=1×所以2Tn①-②得：-所以T13．已知數(shù)列an中，a1=5且(1)求證：數(shù)列bn(2)從條件①n+bn，求數(shù)列______的前n項和Tn注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)證明見解析(2)選①：Tn=n2【分析】（1）根據(jù)遞推公式使用構造法可得an-1（2）選①：由分組求和法可得；選②：使用錯位相減法可得.【詳解】（1）因為a1=5且所以當n?2時，所以an-所以an-12n所以an所以an=因為b1=a1所以數(shù)列bn是以2為首項，2（2）選①：因為bn=2則T==選②：因為bn=2n，所以nb2Tn=1×（i）-（ii）得-T14．已知數(shù)列an滿足a(1)求數(shù)列an(2)當cn=an+1-a【答案】(1)a(2)T【分析】（1）當n≥2時可得ann=an-12(n-1)，令bn=ann，則bn（2）利用分組求和法及等差數(shù)列前n項和公式求和即可；【詳解】（1）解：當n≥2時，2n-1an-nan–1又因為b1=a11=1所以bn=12n（2）解：因為cn所以T=a15．在數(shù)列an中，a1=5(1)證明：an-1(2)令bn=(-1)n?an【答案】(1)證明見解析，a(2)S【分析】（1）依題意可得an+1-1=2an-1，即可得到a（2）由（1）可得bn=(-1)【詳解】（1）解：因為an+1=2an-1，所以所以an-1是以4為首項，故an-1=4×（2）解：由（1）得bn則bn①當n=2k,k∈NS=-②當n=2k-1,k∈NSn綜上所述，S16．已知數(shù)列an，2an(1)求證：數(shù)列1a(2)設bn=1-an1-a【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)2an+1=（2）利用裂項相消法求出數(shù)列bn的前n項和Sn【詳解】（1）∵2an+1=a∵a1=3，∴an-∴1===-1，∴1an-1是首項為（2）由（1）知1an-1∴bn∴S==-2-2+2-=-2-1∵n∈N*，∴∴Sn17．已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；(2)若a1＝12，a2＝32，求{an}【答案】(1)證明見解析(2)an＝12×3n－【分析】（1）將an＋2＝2an＋1＋3an，變形為an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，利用