大一上數(shù)分課堂課件第二章

§2.3

函數(shù)1一、函數(shù)的定義定義域與對(duì)應(yīng)法則.2.函數(shù)的兩要素y

=

1

-

x

2

,D

:[-1,1];,211

-

x

2y

=D

:

(-1,1).1.

f

: X

fi

Y

的映射,

如果

X,

Y

?

R,

則稱

f

為函數(shù).當(dāng)x0

?

D時(shí),稱f

(x0

)為函數(shù)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值.約定:

定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.⒊函數(shù)的表示方法⑴

公式法例如,

y

=

1

-

x

23(2)

列表法(3)

隱函數(shù)(4)

參數(shù)法x1x2x3x4y1y2y3y4F

(

x,

y)

=

0

y

=

h

(

t

)

x

=

g

(

t

)x2

+

y2

=

1

y

=

b

sin

q

x

=

a

cos

q(5)

圖像法y

=

f

(

x)xy40

2x

>

0x

-

1,

x

￡

0例如,

f

(

x)

=

2

x

-

1,y

=

2

x

-

15y

=

x

2

-

1在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).⑹

分段函數(shù)二、函數(shù)的運(yùn)算D(

g)

=

Dg

.⒈

四則運(yùn)算D(

f

)

=

Df

,和

f

+

g

: (

f

+

g)(

x)

=

f

(

x)

+

g(

x),

x

?

Df

Dg

.差

f

-

g

: (

f

-

g)(

x)

=

f

(

x)

-

g(

x),

x

?

Df

Dg

.積

f g

: (

f

g)(

x)

=

f

(

x)

g(

x),

x

?

Df

Dg

.g6

Dg

,

g(

x)

?

0.商

f

: (

f

)(

x)

=

f

(

x)

,

x

?

Dg g(

x)

f⒉復(fù)合運(yùn)算y

=

f

g(

x)

=

f

[

g(

x)]設(shè)y

=u,

u

=

1

-

x

2

,

y

=

1

-

x

2設(shè)函數(shù)

y

=

f

(u)的定義域Df

,

而函數(shù)7

Wg

?f

,

則稱函數(shù)u

=

g(

x)

的值域?yàn)閃g

,

若Dfy

=f

[g(x)]為x的復(fù)合函數(shù).定義:x

?

自變量,

u

?

中間變量,y

?因變量,注意:

1.

不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;例如

y

=

arcsin

u,

u

=

2

+

x2

;

y

?

arcsin(2

+

x

2

)2.

復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成(有限次).例如

y

=

cot

x

,

y

=

u,228u

=

cot

v,

v

=

x

.(f

g

h有結(jié)合率無交換率)1．函數(shù)的有界性若X

?

D,$M

>0,"x

?

X

,有f

(x)￡

M

成立,9三、函數(shù)的基本特征<x2時(shí),則稱函數(shù)f

(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加(減少)的.則稱函數(shù)f

(x)在X上有界.否則稱無界.2．函數(shù)的單調(diào)性如果對(duì)于區(qū)間

I

上任意兩點(diǎn)

x1及

x2

,

當(dāng)

x1恒有f

(x1

)￡

f

(x2

),(或f

(x1

)?f

(x2

))3．函數(shù)的奇偶性y10xf

(-

x)y

=

f

(

x)-x

o

x偶函數(shù)f

(

x)設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

對(duì)于"

x

?

D,

有f

(-x)=f

(x),

稱f

(x)為偶函數(shù);設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

對(duì)于"

x

?

D,

有f

(-

x)

=

-

f

(

x),稱f

(x)為奇函數(shù);f

(-

x)奇函數(shù)y11xf

(

x)o

x-xy

=

f

(

x)4．函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)f

(

x)的定義域?yàn)镈,

如果存在一個(gè)不為零的數(shù)l,

使得對(duì)于任一x

?

D,(

x–

l

)

?

D.

則稱f

(

x)為周期函數(shù),

l稱為f

(

x)的周期.

且f

(

x

+

l

)

=

f

(

x)恒成立.（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.2-

ll22-

3l3l212⑴13}四、反函數(shù)f

是X

fi

Y一一對(duì)應(yīng),y

=

f

(

x)

fi

x

=

f

-1

(

y),

x

?

X

,

y

?

Y

.f

f

-1

(

y)

=

y,

y

?

Yf

-1

f

(

x)

=

x,

x

?

X所以f

f

-1

,f

-1

f是恒等映射.⑵

反函數(shù)定理14若f在定義域X上嚴(yán)格單調(diào)增（減）,則必存在反函數(shù)f

-1

.f

-1定義域?yàn)閒

(

X

),

且f

-1也單調(diào)增（減）.函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y

=x

對(duì)稱.五、初等函數(shù)⒈基本初等函數(shù)冪

函

數(shù)“冪三反指對(duì)”1y

=

xa

(a

?

0)y

=

xa

?(a

>

0,

a

?

1)反三角函數(shù)y

=

arcsin

x對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)y

=

sin

x指數(shù)函數(shù)y

=

a

xy=

e

xy

=

log

a

xy

=

ln

x151

+

x

2

)16y

=

ln(

x

+2.初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).1

+

2

x

sin

xy

=

arccos

x

,(1)

符號(hào)函數(shù)y

=

sgn

x

=

0

1

當(dāng)x

>0

當(dāng)x

=0

-1

當(dāng)x

<0xy1o-1x

=

sgn

x

x17⒊非初等函數(shù)舉例(2)

取整函數(shù)y=[x]-2-3-4x18階梯曲線[x]表示不超過x

的最大整數(shù)y432-4

-3

-2

-1

1o

-11

2

3

4

5

當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)當(dāng)x是無理數(shù)時(shí)

0y

=

D(

x)

=

1有理數(shù)點(diǎn)19無理數(shù)點(diǎn)?xy1o(3)

狄利克雷函數(shù)(4) Riemann

函數(shù)

0

,

x

?

R

\

Q.qR(

x)

=

q

1

,

x

=p

,整數(shù)p,q互質(zhì);

1

分母為1的有理數(shù)（整數(shù)）分母為2的有理數(shù)123

1

分母為3的有理數(shù)分母越大其值越小，點(diǎn)越密所有無理數(shù)取值都是零20⒋雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)22x

+

1)shx

=

?e

x

-

e

-

xx

?

R22x

-

1)?

arcchx

=

ln(

x

+chx

=e

x

+

e

-

xx

?

[1,+￥

)thx

=

e

x

+

e

-

x21e

x

-

e

-

x?

arcthx

=

1

ln

1

+

xe

1

-

xx

?

(-1,1)雙曲正弦 反雙曲正弦雙曲余弦arcshx=

ln(

x

+反雙曲余弦雙曲正切反雙曲正切例12

,x

-

1,

x

?

0

x

+

2,

x

<

0,

j(

x)

=x

?

1

e

x

,

x

<

1

求f

[j(x)].設(shè)f

(x)=

x,解

j(

x),j(

x)

<

1j(

x)

?

1f

[j(

x)]

=

ej(

x

)

,10當(dāng)j(x)<1時(shí),或x

<0,或x

?0,j(

x)

=

x

+

2

<

1,j(

x)

=

x

2

-

1

<

1,x

<

-1;0

￡

x

<

2;2220當(dāng)j(x)?1時(shí),或x

<0,或x

?0,j(

x)

=

x

+

2

?

1,j(

x)