2023-2023學年蘇州市高一期末數(shù)學試卷

2024-2024學年蘇州市高一期末數(shù)學試卷2024-2024學年江蘇省蘇州市高一（上）期末數(shù)學試卷

一、填空題：本大題共14個小題，每小題5分，共計70分．

1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，則A∩B=．2．（5分）已知f（x）是偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x+1，則f（﹣1）=．3．（5分）若tanα=3，，則tan（α﹣β）等于．

4．（5分）已知A（﹣3，4）、B（5，﹣2），則||=．

5．（5分）函數(shù)y=e2x﹣1的零點是．

6．（5分）把函數(shù)y=sinx的圖象上全部點的橫坐標縮小到原來的（縱坐標不變），再將圖象上全部點向右平移個單位，所得函數(shù)圖象所對應的解析式為．

7．（5分）若函數(shù)f（x）=，則f（log23）=．8．（5分）函數(shù)的單調遞增區(qū)間為．

9．（5分）設是兩個不共線向量，，，，若A、B、D三點共線，則實數(shù)P的值是．

10．（5分）若=﹣，則sin2α的值為．

11．（5分）f（x）=x2，若對任意的x∈，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是．

12．（5分）如圖，O是坐標原點，M、N是單位圓上的兩點，且分別在第一和第

三象限，則的范圍為．

13．（5分）如圖，將矩形紙片的右下角折起，使得該角的頂點落在矩形的左邊

上，若，則折痕l的長度=cm．

14．（5分）函數(shù)是奇函數(shù)，且f（﹣2）≤f（x）≤f（2），則a=．

二、解答題：本大題共6小題，計90分．

15．（14分）已知=（1，2），=（﹣3，1）．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）設的夾角為θ，求cosθ的值；

（Ⅲ）若向量與相互垂直，求k的值．

16．（14分）已知，，，．（I）求tan2β的值；

（II）求α的值．

17．（14分）已知函數(shù)f（x）滿意f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x）．

（1）求函數(shù)f（x）的解析式及定義域；

（2）解不等式f（x）＜1；

（3）推斷并證明f（x）的單調性．

18．（16分）某廠生產(chǎn)某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價定為60元．該廠為鼓舞銷售商訂購，打算當一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠單價不低于51元．

（1）當一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰降為51元？

（2）設一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為p元，寫出函數(shù)p=f（x）的表達式；

（3）當銷售商一次訂購多少個時，該廠獲得的利潤為6000元？（工廠售出一個零件的利潤=實際出廠單價﹣成本）

19．（16分）如圖1，在△ABC中，，，點D是BC的中點．（I）求證：；

（II）直線l過點D且垂直于BC，E為l上任意一點，求證：為常數(shù)，并求該常數(shù)；

（III）如圖2，若，F(xiàn)為線段AD上的任意一點，求的范圍．

20．（16分）已知g（x）=x2﹣2ax+1在區(qū)間上的值域．

（1）求a的值；

（2）若不等式g（2x）﹣k?4x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

（3）若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)k的取值范圍．

2024-2024學年江蘇省蘇州市高一（上）期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、填空題：本大題共14個小題，每小題5分，共計70分．

1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，則A∩B={0，1}．解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，

∴A∩B={0，1}．

故答案為：{0，1}．

2．（5分）已知f（x）是偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x+1，則f（﹣1）=2．解：∵f（x）是偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x+1，

∴當x＜0時，f（x）=﹣x+1，

∴f（﹣1）=﹣（﹣1）+1=2．

故答案為：2．

3．（5分）若tanα=3，，則tan（α﹣β）等于．

解：tan（α﹣β）===，

故答案為．

4．（5分）已知A（﹣3，4）、B（5，﹣2），則||=10．

解：由題意A（﹣3，4）、B（5，﹣2），

∴||===10

故答案為10

5．（5分）函數(shù)y=e2x﹣1的零點是0．

解：令y=0，即e2x=1，解得：x=0，

故答案為：0．

6．（5分）把函數(shù)y=sinx的圖象上全部點的橫坐標縮小到原來的（縱坐標不變），再將圖象上全部點向右平移個單位，所得函數(shù)圖象所對應的解析式為y=sin（2x﹣）．

解：把圖象上全部點的橫坐標縮小到原來的，得到y(tǒng)=sin2x，

再函數(shù)y=sin2x的圖象上全部點向右平移個單位，得到y(tǒng)=sin=sin（2x﹣）對圖象，

∴所求函數(shù)的解析式為：y=sin（2x﹣）．

故答案為：y=sin（2x﹣）．

7．（5分）若函數(shù)f（x）=，則f（log23）=9．

解：∵函數(shù)f（x）=，

log23＞log22=1，

∴f（log23）===9．

故答案為：9．

8．（5分）函數(shù)的單調遞增區(qū)間為

．

解：令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函數(shù)的增區(qū)間為

故答案為．

9．（5分）設是兩個不共線向量，，，，若A、B、D三點共線，則實數(shù)P的值是﹣1．

解：∵，

，

∴，

∵A、B、D三點共線，

∴，

∴2=2λ，p=﹣λ

∴p=﹣1，

故答案為：﹣1．

10．（5分）若=﹣，則sin2α的值為﹣．

解：∵=﹣，

∵2cos2α=sin（﹣α），

∴2（cos2α﹣sin2α）=cosα﹣sinα，

∴cosα﹣sinα=0，或cosα+sinα=，

平方可得1﹣sin2α=0，或1+sin2α=，

∴sin2α=1，或sin2α=﹣，

∵若sin2α=1，則cos2α=0，代入原式可知應舍去，

故答案為：﹣．

11．（5分）f（x）=x2，若對任意的x∈，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成

立，則實數(shù)t的取值范圍是（﹣∞，﹣]∪，

不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在恒成立，

即|x+t|≥|x|在恒成立，

即：x≤（1+）t在恒成立，

或x≤（1﹣）t在恒成立，

解得：t≥或t≤﹣，

故答案為：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．

12．（5分）如圖，O是坐標原點，M、N是單位圓上的兩點，且分別在第一和第

三象限，則的范圍為[0.）．

解：設的夾角為θ，，則cosθ∈[﹣1，0），2==2+2cosθ∈[0，2）

的范圍為：[0，），

故答案為[0，）．

13．（5分）如圖，將矩形紙片的右下角折起，使得該角的頂點落在矩形的左邊上，若，則折痕l的長度=cm．

解：由已知及對稱性知，GF=BF=lcosθ，GE=BE=lsinθ，

又∠GEA=∠GFB=2θ，

∴AE=GEcos2θ=lsinθcos2θ，

又由AE+BE=lsinθcos2θ+lsinθ=6得：l=

==．

故答案為：．

14．（5分）函數(shù)是奇函數(shù)，且f（﹣2）≤f（x）≤f（2），則a=．

解：∵函數(shù)是奇函數(shù)且定義域內(nèi)有0

∴f（0）=0

解得c=0，故f（x）=．

x＞0，a＞0，f（x）==≤（ax=時取等號）

∵f（﹣2）≤f（x）≤f（2），∴2a=，∴a=．

故答案為．

二、解答題：本大題共6小題，計90分．

15．（14分）已知=（1，2），=（﹣3，1）．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）設的夾角為θ，求cosθ的值；

（Ⅲ）若向量與相互垂直，求k的值．

解：（Ⅰ）=（1，2）﹣2（﹣3，1）=（1+6，2﹣2）=（7，0）．（Ⅱ）=﹣．

（Ⅲ）由于向量與相互垂直，

所以，（）?（）=0，即

由于=5，，所以，5﹣10k2=0，解得．

16．（14分）已知，，，．（I）求tan2β的值；

（II）求α的值．

（本題滿分為14分）

解：（I）∵，，可得：sin=，(2)

分

∴tan==﹣2，…4分

∴tan2β==…7分

（II）∵，，

∴α+β∈（，），

又∵，

∴cos（α+β）=﹣=﹣，…9分

∴cosα=cos（α+β﹣β）=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=（）×（﹣）+

×（）=，

∵，

∴α=．…14分

17．（14分）已知函數(shù)f（x）滿意f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x）．

（1）求函數(shù)f（x）的解析式及定義域；

（2）解不等式f（x）＜1；

（3）推斷并證明f（x）的單調性．

解：（1）f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x），

可令t=x+1，則x=t﹣1，可得f（t）=lg（1+t）﹣lg（1﹣t），

即有f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x），

由1+x＞0且1﹣x＞0，解得﹣1＜x＜1，

則函數(shù)f（x）的定義域為（﹣1，1）；

（2）由f（x）＜1即lg（1+x）﹣lg（1﹣x）＜1，

即為lg（1+x）＜lg10（1﹣x），

可得0＜1+x＜10（1﹣x），

解得﹣1＜x＜，

則不等式的解集為（﹣1，）；

（3）證明：f（x）在（﹣1，1）上為增函數(shù)．

理由：設﹣1＜m＜n＜1，則f（m）﹣f（n）=lg（1+m）﹣lg（1﹣m）﹣

=lg﹣lg=lg?=lg?，

由于﹣1＜m＜n＜1，可得1﹣m＞1﹣n＞0，1+n＞1+m＞0，

可得0＜＜1，0＜＜1，

則0＜?＜1，

即有l(wèi)g?＜0，

則f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），

故f（x）在（﹣1，1）上為增函數(shù)．

18．（16分）某廠生產(chǎn)某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價定為60元．該廠為鼓舞銷售商訂購，打算當一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠單價不低于51元．

（1）當一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰降為51元？

（2）設一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為p元，寫出函數(shù)p=f（x）的表達式；

（3）當銷售商一次訂購多少個時，該廠獲得的利潤為6000元？（工廠售出一個零件的利潤=實際出廠單價﹣成本）

解：（1）設每個零件的實際出廠價格恰好降為51元時，一次訂購量為x0個，

則（個）

因此，當一次訂購量為550個時，每個零件的實際出廠價格恰好降為51元．…（2分）

（2）當0≤x≤100時，p=60；…（3分）

當100＜x＜550時，；…（4分）

當x≥550時，p=51．…（5分）

所以…（6分）

（3）設銷售商的一次訂購量為x個時，工廠獲得的利潤為L元，則

…（9分）

當0＜x≤100時，L≤2000；…（10分）

當x≥500時，L≥6050；…（11分）

當100＜x＜550時，．

由，解得x=500．

答：當銷售商一次訂購500個時，該廠獲得的利潤為6000元．…（13分）

19．（16分）如圖1，在△ABC中，，，點D是BC的中點．（I）求證：；

（II）直線l過點D且垂直于BC，E為l上任意一點，求證：為常數(shù)，并求該常數(shù)；

（III）如圖2，若，F(xiàn)為線段AD上的任意一點，求的范圍．

（I）證明：延長AD到A1使得AD=DA1，連接CA1，A1B，

∵D是BC的中點，

∴四邊形ACA1B是平行四邊形，

∴=+，

∵；

（II）證明：∵=+，

∴?（﹣）=（+）?（﹣）=?+?，

∵DE⊥BC，∴?=0，

∵?=（）=，

∴?（﹣）=

（III）解：△ABC中，||=2，||=1，cosA=，，

∴||==，

同理+=2，

∴?（+）=?2=||?||，

設||=x，則||=﹣x（0），

∴?（+）=2x（﹣x）≤2=1，當且僅當x=時取等號，∴?（+）∈（0，1]．

20．（16分）已知g（x）=x2﹣2ax+1在區(qū)間上的值域．

（1）求a的值；

（2）若不等式g（2x）﹣k?4x≥0在x∈上的值域．

若1≤a≤3時，g（x）的最小值為g（a）=1﹣a2，

由1﹣a2=0，可得a=1（﹣1舍去），g（x）=（x﹣1）2滿意在區(qū)間上的值域；

若a＞3時，g（x）在遞減，g（x）的最小值為g（3