三重積分的概念及其計(jì)算法 16

§9．4三重積分的概念及其計(jì)算法一、三重積分的定義二、三重積分的性質(zhì)三、三重積分的計(jì)算三重積分化為三次積分先二重積分后定積分三重積分的定義

設(shè)f(x，y，z)是空間有界閉區(qū)域

上的有界函數(shù)．將

任意分成n個(gè)小閉區(qū)域

v1，

v2，···，

vn

其中

vi表示第i個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的體積．在每個(gè)

vi上任取一點(diǎn)(xi，hi，zi)，作乘積f(x

i，h

i，z

i)

vi（i

1，2，···，n)并作和如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l趨于零時(shí)，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)f(x，y，z)在閉區(qū)域

上的三重積分，即三重積分中的有關(guān)術(shù)語(yǔ)：積分號(hào)，被積函數(shù)，f(x，y，z)被積表達(dá)式，f(x，y，z)dv體積元素，dv積分變量，x，y，z積分區(qū)域，W積分和．直角坐標(biāo)系中的體積元素：在直角坐標(biāo)系中，如果用平行于坐標(biāo)面的平面來(lái)劃分W，則

vi

xi

yi

zi．因此在直角坐標(biāo)系中有時(shí)也把體積元素dv記作dxdydz，而把三重積分記作其中dxdydz叫做直角坐標(biāo)系中的體積元素．三重積分的存在性：當(dāng)函數(shù)f(x，y，z)在閉區(qū)域

上連續(xù)時(shí)，函數(shù)f(x，y，z)在

上的三重積分是存在的，以后也總假定f(x，y，z)在閉區(qū)域

上是連續(xù)的．三重積分的性質(zhì)三重積分的性質(zhì)與二重積分的性質(zhì)類(lèi)似．例如其中v表示區(qū)域

W的體積．三重積分的計(jì)算三重積分也可化為三次積分來(lái)計(jì)算．設(shè)空間閉區(qū)域

可表為．xyzObay=y2(x)y=y1(x)z=z1(x,y)z=z2(x,y)則

Dz1(x，y)

z

z2(x，y)，y1(x)

y

y2(x)，a

x

b，注意三重積分化為三次積分的過(guò)程：

．畫(huà)出空間閉區(qū)域，向坐標(biāo)面投影，向坐標(biāo)軸投影，把閉區(qū)域表為不等式組：寫(xiě)出三次積分：xyzObay=y2(x)y=y1(x)z=z1(x,y)z=z2(x,y)Dz1(x，y)

z

z2(x，y)，y1(x)

y

y2(x)，a

x

b．

x

2y

z

1所圍成的閉區(qū)域．解作圖，區(qū)域W可表示為:于是．xyzOx

2y

1x

2y

z

1111/2例1練習(xí)：域W分別是：(1)由曲面z

1

x2

y2，z

0所圍成的閉區(qū)域；(2)由雙曲拋物面xy

z及平面