第05講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（原卷版）

第05講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1．根式(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根．(2)式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．(3)(eq\r(n,a))n＝a.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．3．指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(a>0，b>0，r，s∈R)aras＝ar＋s；；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr．4．指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù)．(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(diǎn)(0,1)，即x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)一．指數(shù)冪的運(yùn)算例1．（1）化簡(jiǎn)（其中）的結(jié)果是（）A． B． C． D．（2）=_____________.（3）計(jì)算：（4）計(jì)算（5）已知am＝4，an＝3，求eq\r(am－2n)的值．（6）已知＝3，求下列各式的值．①a＋a－1；②a2＋a－2；③a2－a－2；=4\*GB3④【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加．②運(yùn)算的先后順序．(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù)．(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)．二．指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2．（1）函數(shù)的圖像如圖所示，其中為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．， C．， D．，（2）如圖所示，函數(shù)的圖像是（

）A．B．C．D．（3）函數(shù)與，其中，且，它們的大致圖象在同一直角坐標(biāo)系中有可能是（

）A．B．C．D．（4）如圖是指數(shù)函數(shù)①，②，③，④的圖像，則a，b，c，d與0和1的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．（5）若函數(shù)（且）的圖像過第一、三、四象限，則必有（

）．A． B． C． D．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論．(2)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解．三．指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用命題點(diǎn)1比較指數(shù)式的大小例3．（1）已知，則（）A． B．C． D．（2）下列各式比較大小，正確的是（

）A．1.72.5＞1.73B．C．1.70.3＞0.93.1D．（3）已知，則（）A． B． C． D．（4）設(shè)a＝eq\r(4,24)，b＝eq\r(3,12)，c＝eq\r(6)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．b>a>c D．a(chǎn)<b<c（5）已知，，，則（

）A． B． C． D．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量．(2)某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.(3)比較冪值大小的3種類型及處理方法命題點(diǎn)2解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式例4．（1）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件（2）函數(shù)的定義域是（

）.A． B． C． D．（3）方程的解為______.（4）若，則函數(shù)的值域?yàn)開_______．（5）設(shè)0<a<1，則使不等式成立的x的集合是________．（6）已知指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)P(3,8)，且函數(shù)g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，又g(2x－1)<g(3x)，求x的取值范圍．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：解指數(shù)不等式的基本方法是先化為同底指數(shù)式，再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性化為常規(guī)的不等式來解，注意底數(shù)對(duì)不等號(hào)方向的影響．命題點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例5．（1）若函數(shù)的值域是，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．（2）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)镽 B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．函數(shù)在上單調(diào)遞減【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：函數(shù)y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調(diào)性的處理方法(1)關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調(diào)性由兩點(diǎn)決定，一是底數(shù)a>1還是0<a<1；二是f(x)的單調(diào)性，它由兩個(gè)函數(shù)y＝au，u＝f(x)復(fù)合而成．(2)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通過考察f(u)和φ(x)的單調(diào)性，借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷出y＝f(φ(x))的單調(diào)性．（3）若函數(shù)滿足，且在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值等于_______．（4）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_____．（5）把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，那么后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，60分鐘以后物體的溫度是．要使物體的溫度變?yōu)?，還要經(jīng)過__________分鐘．（6）求下列函數(shù)的定義域和值域，并寫出其單調(diào)區(qū)間.=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域的求法(1)求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)，首先觀察函數(shù)是y＝ax型還是y＝af(x)型，前者的定義域是R，后者的定義域與f(x)的定義域一致，而求y＝eq\r(fax)型函數(shù)的定義域時(shí)，往往轉(zhuǎn)化為解指數(shù)不等式(組)．(2)求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時(shí)，在運(yùn)用前面介紹的求函數(shù)值域的方法的前提下，要注意指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0，＋∞)，切記準(zhǔn)確運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．1．化簡(jiǎn)(a>0，b>0)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．2．函數(shù)的圖像可能是（

）A．B．C．D．3．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

）A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)4．函數(shù)的圖像的大致形狀是（

）A．B．C．D．5．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．6．已知曲線且過定點(diǎn)，若且，則的最小值為（

）.A． B．9 C．5 D．7．已知，則（

）A． B． C． D．8．設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．9．若集合，，則（）A． B． C． D．10．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．12．若函數(shù)的最大值是2，則（

）A． B． C． D．13．已知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有（

）A． B．C． D．14．函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．15．下列各式正確的是（

）A． B．C． D．16．函數(shù)的圖像大致為（

）A． B．C． D．17．函數(shù)的圖像大致為（

）A．B．C．D．18．已知函數(shù)，則（

）A． B． C．7 D．19．若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．20．若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．21．某工廠產(chǎn)生的廢氣必須經(jīng)過過濾后排放，規(guī)定排放時(shí)污染物的殘留含量不得超過原污染物總量的.已知在過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量（單位：毫克/升）與過濾時(shí)間（單位：小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為（為常數(shù)，為原污染物總量）.若前個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物被過濾掉了，那么要能夠按規(guī)定排放廢氣，還需要過濾小時(shí)，則正整數(shù)的最小值為（

）（參考數(shù)據(jù)：取）A． B． C． D．22．定義在R上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)，，則與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（

）A．3 B．4 C．5 D．623．由于鹽堿化嚴(yán)重，某地的耕地面積在最近年內(nèi)減少了．如果按此規(guī)律，設(shè)2012年的耕地面積為，則2017年后的耕地面積為（）

A． B． C． D．24．有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，中國(guó)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾在年約為萬噸，年的年增長(zhǎng)率為，有專家預(yù)測(cè)，如果不采取措施，未來包裝垃圾還將以此增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，從（

）年開始，快遞業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過萬噸.（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．25．（多選）已知，則（

）A． B． C． D．26．_____________.27．不等式的解集是___________.28．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，則x的取值范圍是________．29．如果函數(shù)定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_________．30．已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，則的取值范圍為________．31．已知常數(shù)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，．若，則______．32．方程的解為______.33．已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，計(jì)算＝________．34．函數(shù)的定義域?yàn)開_____________．35．已知對(duì)一切上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．36．已知函數(shù)，給出下列命題：①若，則；②對(duì)于任意的，，，則必有；③若，則；④若對(duì)于任意的，，，則，其中所有正確命題的序號(hào)是_____．37．計(jì)算下列各式：（1）.（2）.（3）.38．已知x＋y＝12，xy＝9且x<y，求的值．39．指數(shù)函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)解不等式．40．如果函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在[－1,1]上的最大值為14，求a的值．41．（1）已知函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)A，且點(diǎn)A又在函數(shù)的圖像上，求不等式的解集；（2）已知，求函數(shù)的最大值和最小值.42．已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）若有最大值3，求a的值（3）若的值域是，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.43．已知函數(shù)，且，的定義域?yàn)閇－1，1].（1）求的值及函數(shù)的解析式；（2）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）若方程＝有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.44．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，（1）求k，b的值；（2）求解不等式.45．已知函數(shù)（且）．（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性；（3）若在其定義域上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.46．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域及其值域；（2）求方程的解；（3）若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求m的取值范圍．47．