有理數(shù)的運(yùn)算章末重難點(diǎn)題型（舉一反三）（浙教版）（原卷版）

專題有理數(shù)的運(yùn)算章末重難點(diǎn)題型匯編【舉一反三】【浙教版】【考點(diǎn)1科學(xué)記數(shù)法及近似數(shù)】【方法點(diǎn)撥】（1）科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，解決此類問題只需確定a與n的值，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)位數(shù)減1，如若數(shù)帶單位可先將其還原；（2）一般地，一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說×105很多同學(xué)錯(cuò)誤的認(rèn)為這個(gè)數(shù)是精確到千分位，解決此類問題需將這個(gè)數(shù)還原成整數(shù)201900，這時(shí)能確定這個(gè)9應(yīng)在百位上，因此這個(gè)數(shù)精確到百位.【例1】（2018?浉河區(qū)校級(jí)期中）2018年河南省全年生產(chǎn)總值48055.86億元，數(shù)據(jù)“48055.86億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．4.805586×104 B．0.4805586×105 C．4.805586×1012 D．4.805586×1013【變式1-1】（2018秋?沭陽縣期末）某種鯨魚的體重約為1.36×105kg，關(guān)于這個(gè)近似數(shù)，下列說法正確的是（）A．它精確到百位 B．它精確到0.01 C．它精確到千分位 D．它精確到千位【變式1-2】（2018?涼州區(qū)校級(jí)期中）綠水青山就是金山銀山，為了創(chuàng)造良好的生態(tài)生活環(huán)境，我省2017年一季度清理垃圾約1.16×107方，數(shù)字1.16×107表示（）a的取值范圍是（）A．3.45≤a≤3.55 B．3.4＜a＜3.6 C．3.45≤a＜3.55 D．3.45＜a【考點(diǎn)2數(shù)軸與有理數(shù)運(yùn)算綜合】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上點(diǎn)的表示方法，明確數(shù)軸的特點(diǎn)能根據(jù)題目中的信息，判斷各個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)哪一個(gè)點(diǎn)．【例2】（2019秋?通州區(qū)期末）點(diǎn)，，和原點(diǎn)在數(shù)軸上，點(diǎn)，，對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為，，．若，，，那么以下符合題意的是A． B． C． D．【變式2-1】（2018秋?南平期末）點(diǎn)，，和原點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)，，表示的有理數(shù)為，，（對(duì)應(yīng)順序暫不確定）．如果，，，那么表示數(shù)的點(diǎn)為A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【變式2-2】（2018秋?江干區(qū)期末）如圖，將刻度尺放在數(shù)軸上（數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是，刻度尺上“”和“”分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的3和0，那么刻度尺上“”對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為A．5.4 B． C． D．【變式2-3】（2019?棗莊校級(jí)期中）點(diǎn)，，，在數(shù)軸上的位置如圖所示，為原點(diǎn)，，．若點(diǎn)所表示的數(shù)為，則點(diǎn)所表示的數(shù)為A． B． C． D．【考點(diǎn)3利用數(shù)軸判斷有理數(shù)運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題需由數(shù)軸得知字母所表示的數(shù)的正負(fù)性，再根據(jù)有理數(shù)加、減、乘、除、乘方、絕對(duì)值的意義以及數(shù)軸上右邊點(diǎn)的數(shù)總比左邊的數(shù)大判斷即可.【例3】（2018秋?鹽田區(qū)校級(jí)期中）數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，給出結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的共有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式3-1】（2018秋?硚口區(qū)月考）有理數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的個(gè)數(shù)是A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式3-2】（2018秋?黃陂區(qū)月考）如圖，、、三點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為、、，根據(jù)圖中各點(diǎn)位置，下列各式正確的是A． B． C． D．【變式3-3】有理數(shù)、在數(shù)軸上分別對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為、，則下列式子結(jié)果為負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)是①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【考點(diǎn)4絕對(duì)值與偶次乘方的非負(fù)性】【方法點(diǎn)撥】直接利用絕對(duì)值及偶次乘方的非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別得出字母的值，進(jìn)而得出答案．【例4】（2019春?密山市期末）如果的三邊長(zhǎng)、、滿足關(guān)系式，則的周長(zhǎng)是．【變式4-1】（2018秋?太湖縣期末）已知和互為相反數(shù)，那么等于．【變式4-2】（2019?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）已知，則．【變式4-3】有最值是，此時(shí)是；有最值是，此時(shí)是．【考點(diǎn)5新定義運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】正確地理解新定義的算式含義，然后嚴(yán)格按照新定義的計(jì)算程序，將數(shù)值代入，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的有理數(shù)混合運(yùn)算算式進(jìn)行計(jì)算.【例5】（2019秋?仙桃校級(jí)期中）定義新運(yùn)算“”如下，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；則的值為．【變式5-1】如果對(duì)于有理數(shù)，定義運(yùn)算※如下：※，則※※．【變式5-2】（2019?福田區(qū)三模）對(duì)于，我們定義運(yùn)算，，請(qǐng)你計(jì)算．【變式5-3】（2018秋?翠屏區(qū)期中）定義一種對(duì)正整數(shù)的“運(yùn)算”：①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為；②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如，取，第三次“運(yùn)算”的結(jié)果是11．則：若，則第449次“運(yùn)算”的結(jié)果是．【考點(diǎn)6有理數(shù)的混合運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題需熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算的先后順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里，值得注意有些題可能會(huì)運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算.【例6】（2018秋?松桃縣期末）計(jì)算．（1）（2）【變式6-1】（2018秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：（1）（2）【變式6-2】（2018秋?雁塔區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：（1）；（2）【變式6-3】（2018秋?蔡甸區(qū)期末）計(jì)算：（1）（2）【考點(diǎn)7有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】【例7】（2018秋?靜寧縣期末）下表記錄的是今年長(zhǎng)江某一周內(nèi)的水位變化情況，這一周的上周末的水位已達(dá)到警戒水位33米（正號(hào)表示水位比前一天上升，負(fù)號(hào)表示水位比前一天下降）．星期一二三四五六水位變化（米（1）本周哪一天長(zhǎng)江的水位最高？位于警戒水位之上還是之下？（2）與上周周末相比，本周周末長(zhǎng)江的水位是上升了還是下降了？并通過計(jì)算說明理由．【變式7-1】（2018秋?槐蔭區(qū)期中）上海世博會(huì)第一天月1日）的進(jìn)園人數(shù)為20.3萬人，以后的6天里每天的進(jìn)園數(shù)變化如下表（正數(shù)表示比前一天多的人數(shù)，負(fù)數(shù)表示比前一天少的人數(shù)，（單位：萬人）日期2日3日4日5日6日7日人數(shù)變化①5月2日的進(jìn)園人數(shù)是多少？②5月1日月7日這7天內(nèi)的進(jìn)園人數(shù)最多的是哪天？最少的是哪天？它們相差多少？③求出這7天進(jìn)園的總?cè)藬?shù)．【變式7-2】（2018秋?沂水縣期中）甲、乙兩商場(chǎng)上半年經(jīng)營情況如下“”表示盈利，“”表示虧本，以百萬為單位）月份一二三四五六甲商場(chǎng)乙商場(chǎng)（1）三月份乙商場(chǎng)比甲商場(chǎng)多虧損多少元？（2）六月份甲商場(chǎng)比乙商場(chǎng)多盈利多少元？（3）甲、乙兩商場(chǎng)上半年平均每月分別盈利或虧損多少元？【變式7-3】（2019秋?來賓期末）武漢市質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督局從某食品廠生產(chǎn)的袋裝食品中抽出樣品20袋，檢測(cè)每袋的質(zhì)量是否符合標(biāo)準(zhǔn)，把超過或不足的部分分別用正、負(fù)數(shù)來表示，記錄如下表：與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值（單位：克）0134袋數(shù)143453（1）若標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為450克，則抽樣檢測(cè)的20袋食品的總質(zhì)量為多少克？（2）若該種食品的合格標(biāo)準(zhǔn)為，求該食品的抽樣檢測(cè)的合格率．【考點(diǎn)8有理數(shù)的化簡(jiǎn)求值】【例8】（2019春?白塔區(qū)校級(jí)月考）已知，互為相反數(shù)，，互為倒數(shù)，是絕對(duì)值等于3，求的值．【變式8-1】（2018秋?廣陵區(qū)校級(jí)期中）若有理數(shù)，滿足，，且，求的值．【變式8-2】（2019秋?天津月考）已知三個(gè)非零的有理數(shù)、、，記的最大值為，最小值為，求的值．【變式8-3】（2019秋?河北月考）三個(gè)有理數(shù)，，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，其中數(shù)，互為相反數(shù)，試求解以下問題：（1）判斷，，的正負(fù)性；（2）化簡(jiǎn)：．【考點(diǎn)9有理數(shù)乘方的意義】【例9】（2018秋?奉化區(qū)期中）閱讀下列各式：，，回答下列三個(gè)問題：（1）猜想：．（2）請(qǐng)用我們學(xué)過的知識(shí)說明上式成立的理由．（3）請(qǐng)計(jì)算：【變式9-1】（2019?柳州模擬）閱讀材料，求值：．解：設(shè)，將等式兩邊同時(shí)乘以2得：將下式減去上式得即請(qǐng)你仿照此法計(jì)算：（1）（2）（其中為正整數(shù)）【變式9-2】（2018秋?高新區(qū)期中）閱讀理解：根據(jù)乘方的意義，可得：．請(qǐng)你試一試，完成以下題目：①；②歸納、概括：；③如果，，運(yùn)用以上的結(jié)論，計(jì)算：．【變式9-3】（2018秋?長(zhǎng)葛市期中）材料：一般地，個(gè)相同的因數(shù)相乘：．如，此時(shí)，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為（即．一般地，若且，，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記為（即．如，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為（即．問題：（1）計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：，，．（2）觀察（1）中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式為、、之間又滿足怎樣的關(guān)系式：（3）由（2）的結(jié)果，你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論嗎？且，，．【考點(diǎn)10有關(guān)數(shù)軸的探究題】【例10】（2018秋?灌云縣期中）已知在紙面上有一數(shù)軸如圖1，根據(jù)給出的數(shù)軸，解答下面的問題：（1）請(qǐng)你根據(jù)圖中，兩點(diǎn)的位置，分別寫出它們所表示的有理數(shù)．（2）請(qǐng)問，兩點(diǎn)之間的距離是多少？（3）在數(shù)軸上畫出與點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)（用不同于，的其它字母表示），并寫出這些點(diǎn)表示的數(shù)．（4）折疊紙面．若在數(shù)軸上表示的點(diǎn)與5表示的點(diǎn)重合，回答以下問題：①10表示的點(diǎn)與數(shù)表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上、兩點(diǎn)之間的距離為在的左側(cè)），且、兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，求、兩點(diǎn)表示的數(shù)是多少？（5）如圖2，半徑為2的圓周上有一點(diǎn)落在數(shù)軸上點(diǎn)處，求將圓在數(shù)軸上向右滾動(dòng)（無滑動(dòng)）一周后點(diǎn)所處的位置的點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)．【變式10-1】（2018秋?江陰市校級(jí)月考）閱讀理解：若、、為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離2倍，我們就稱點(diǎn)是【，】的好點(diǎn)．例如，如圖1，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為2．表示1的點(diǎn)到點(diǎn)的距離是2，到點(diǎn)的距離是1，那么點(diǎn)是【，】的好點(diǎn)；又如，表示0的點(diǎn)到點(diǎn)的距離是1，到點(diǎn)的距離是2，那么點(diǎn)就不是【，】的好點(diǎn)，但點(diǎn)是【，】的好點(diǎn)．知識(shí)運(yùn)用：（1）如圖2，、為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)所表示的數(shù)為，點(diǎn)所表示的數(shù)為4．①在點(diǎn)和點(diǎn)中間，數(shù)所表示的點(diǎn)是【，】的好點(diǎn)；②在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)所表示的點(diǎn)都是【，】的好點(diǎn)；（3）如圖3，、為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)所表示的數(shù)為，點(diǎn)所表示的數(shù)為40．現(xiàn)有一只電子螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)停止．當(dāng)為何值時(shí)，、和中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的好點(diǎn)？【變式10-2】（2019秋?莒縣期中）閱讀下面材料：點(diǎn)、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，、兩點(diǎn)之間的距離表示為．當(dāng)、兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)在原點(diǎn)，如圖1，，當(dāng)、兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、都在原點(diǎn)的右邊，如圖2，；點(diǎn)、在原點(diǎn)的左邊，如圖3，；點(diǎn)、在原點(diǎn)的兩邊，如圖4，．綜上，數(shù)軸上、兩點(diǎn)的距離．回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點(diǎn)之間的距離是；（2）數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)和之間的距離是，如果那么為．（3）當(dāng)代數(shù)式取最小值時(shí)，相應(yīng)的取值范圍是．【變式10-3】（20