2021年四川省涼山州中考數(shù)學(xué)真題試卷（學(xué)生版+解析版）

2021年四川省涼山州中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共12個(gè)小題，每小題4分，共48分）在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)

是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)的字母填涂在答題卡上相應(yīng)的位置。

1.（4分）|-2021]=（）

A.2021B.-2021C----D-----

20212021

2.（4分）下列數(shù)軸表示正確的是（

IIIII1I.

A.32104-2-3B.-1-2-30123

c.-3-2-1123

3.（4分）“天問(wèn)一號(hào)”在經(jīng)歷了7個(gè)月的“奔火”之旅和3個(gè)月的“環(huán)火”探測(cè)，完成了

長(zhǎng)達(dá)5億千米的行程，登陸器“祝融”號(hào)火星車(chē)于2021年5月15日7時(shí)18分從火星發(fā)

來(lái)‘'短信"，標(biāo)志著我國(guó)首次火星登陸任務(wù)圓滿成功.請(qǐng)將5億這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示

為（）

A.5X107B.5X108C.5X109D.5X1O10

4.（4分）下面四個(gè)交通標(biāo)志圖是軸對(duì)稱圖形的是（）

5.（4分）面的平方根是（）

A.9B.±9C.3D.±3

6.（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，將線段AB平移后得到線段ABI點(diǎn)A（2,1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

A的坐標(biāo)為（-2,-3）,則點(diǎn)8（-2,3）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)8'的坐標(biāo)為（）

A.（6,1）B.（3,7）C.（-6,-1）D.（2,-1）

7.（4分）某校七年級(jí)1班50名同學(xué)在“森林草原防滅火”知識(shí)競(jìng)賽中的成績(jī)?nèi)绫硭?

成績(jī)60708090100

人數(shù)3913169

則這個(gè)班學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）

A.90,80B.16,85C.16,24.5D.90,85

8.（4分）下列命題中，假命題是（）

A.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

B.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合

C.若AB=BC,則點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)

D.三角形三條邊的垂直中分線的交點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的外心

9.（4分）函數(shù)y=fcx+6的圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程/+公+左-1=0的根的

情況是（）

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.無(wú)法確定

10.（4分）如圖，△ABC中，NACB=90°,AC=8,BC=6,將△AQE沿。E翻折，使點(diǎn)

A與點(diǎn)8重合，則CE的長(zhǎng)為（）

11.（4分）點(diǎn)P是。。內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)為10?！?，最短弦的長(zhǎng)為6cm,則。尸

的長(zhǎng)為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

12.（4分）二次函數(shù)y=/+fer+c（〃WO）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中不正確的是（)

C.當(dāng)-時(shí)，y20D.4a-2b+c<0

二、填空題（共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）

13.（4分）函數(shù)丫=苧中，自變量x的取值范圍是

14.（4分）已知C是方程or+y=2的解，則a的值為.

15.（4分）菱形ABC。中,對(duì)角線AC=10,B/）=24.則菱形的高等于.

16.（4分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△AbC,已知AC=3,BC=2,

則線段AB掃過(guò)的圖形（陰影部分）的面積為.

17.（4分）如圖，用火柴棍拼成一個(gè)由三角形組成的圖形，拼第一個(gè)圖形共需要3根火柴

棍；拼第二個(gè)圖形共需要5根火柴棍；拼第三個(gè)圖形共需要7根火柴棍；…照這樣拼圖，

則第〃個(gè)圖形需要根火柴棍.

圖1

三、解答題（共5小題，共32分）

18.（5分）解不等式：一丁—x<3

11

19.（5分）已知x-y=2,一—一=1,求fy-xv?的值.

xy

20.（7分）隨著手機(jī)的日益普及，學(xué)生使用手機(jī)給學(xué)校管理和學(xué)生發(fā)展帶來(lái)諸多不利影響.為

了保護(hù)學(xué)生視力，防止學(xué)生沉迷網(wǎng)絡(luò)和游戲，讓學(xué)生在學(xué)校專心學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生身心健

康發(fā)展，教育部辦公廳于2021年1月15日頒發(fā)了《教育部辦公廳關(guān)于加強(qiáng)中小學(xué)生手

機(jī)管理工作的通知》.為貫徹《通知》精神，某學(xué)校團(tuán)委組織了“我與手機(jī)說(shuō)再見(jiàn)”為主

題的演講比賽，根據(jù)參賽同學(xué)的得分情況繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（其中4

表示''一等獎(jiǎng)”，8表示“二等獎(jiǎng)"，C表示''三等獎(jiǎng)”，。表示“優(yōu)秀獎(jiǎng)”）.

獲獎(jiǎng)情況條形統(tǒng)計(jì)圖獲獎(jiǎng)情況扇形統(tǒng)計(jì)圖

請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中所提供的信息解答下列問(wèn)題:

（1）獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)為人，m=；

（2）請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（3）學(xué)校將從獲得一等獎(jiǎng)的4名同學(xué)（其中有一名男生，三名女生）中隨機(jī)抽取兩名參

加全市的比賽，請(qǐng)利用樹(shù)狀圖或列表法求抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率.

21.（7分）王剛同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識(shí)后，嘗試?yán)盟鶎W(xué)知識(shí)測(cè)量河

對(duì)岸大樹(shù)AB的高度，他在點(diǎn)C處測(cè)得大樹(shù)頂端A的仰角為45°,再?gòu)腃點(diǎn)出發(fā)沿斜坡

走2付米到達(dá)斜坡上。點(diǎn)，在點(diǎn)。處測(cè)得樹(shù)頂端A的仰角為30°,若斜坡CF的坡比

為i=l：3（點(diǎn)E、C、8在同一水平線上）.

（1）求王剛同學(xué)從點(diǎn)C到點(diǎn)D的過(guò)程中上升的高度：

（2）求大樹(shù)AB的高度（結(jié)果保留根號(hào)）.

22.（8分）如圖，在四邊形48co中，N43C=NB=90°,過(guò)點(diǎn)。作于E,若

DE=BE.

（1）求證：DA—DC-.

（2）連接AC交OE于點(diǎn)凡若乙4?！?30°,AZ）=6,求。尸的長(zhǎng).

四、填空題（共2小題，每小題5分，共10分）

2xm

23.（5分）若關(guān)于x的分式方程——-3=——的解為正數(shù)，則m的取值范圍

x-11-x

是.

24.（5分）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,OC的半徑為B，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)尸作。C的切線PQ,切點(diǎn)為Q,則PQ的最小值為.

25.（8分）閱讀以下材料:

蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Npler,1550-1617年）是對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人.他發(fā)明對(duì)數(shù)是在指

數(shù)書(shū)寫(xiě)方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Evler,1707-1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與

對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系.

對(duì)數(shù)的定義：一般地，若/=N(a>0且〃W1),那么x叫做以。為底N的對(duì)數(shù)，記作x

=log.N,比如指數(shù)式24=16可以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式4=k)g216,對(duì)數(shù)式2=log39可以轉(zhuǎn)化為

指數(shù)式32=9.

我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：

log。(M，N)=logMk)gaN(干>0,-WLM>0,N>0),理由如下:

n

設(shè)\o^aM=m,TogaN=〃,則M=d",N=a,

，M?N=由對(duì)數(shù)的定義得M+〃=log〃(M?N).

又*/m+n=logqM+logaM

1?log”(M*N)=k)gaA/+logaN.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，解答下列問(wèn)題：

(1)填空：①log232=,②log327=,③log71=;

■M

(2)求證：10g?—=log?M-loga^(?>0,M>0,N>0)；

(3)拓展運(yùn)用：計(jì)算log5125+log56-log530.

26.(10分)如圖，ZSAOB中，NAB。=90°,邊OB在x軸上，反比例函數(shù)y=/(x>0)

的圖象經(jīng)過(guò)斜邊04的中點(diǎn)與A8相交于點(diǎn)N,S^AOB=U,AN,

(1)求一的值;

27.(10分)如圖，在RtZ\ABC中，/C=90°,AE平分NBAC交8c于點(diǎn)E,點(diǎn)。在A8

上，DE1AE,。0是Rt/VIQE的外接圓，交AC于點(diǎn)F.

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)若。0的半徑為5,AC=8,求S&BDE.

28.（12分）如圖，拋物線＞=0?+加+。（a#0）與x軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，

AC=VTo,OB=OC=3OA.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點(diǎn)P,使四邊形PBAC的面積最大，求出點(diǎn)尸的坐

標(biāo)；

（3）在（2）的結(jié)論下，點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)。，使點(diǎn)P、B、

例、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出。點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

2021年四川省涼山州中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共12個(gè)小題，每小題4分，共48分）在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)

是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)的字母填涂在答題卡上相應(yīng)的位置。

1.(4分)卜202“=()

1

A.2021B.-2021C.D?一盛

2021

【解答】解：-2021的絕對(duì)值是2021,

故選：A.

2.（4分）下列數(shù)軸表示正確的是（）

A.3210-1-2-3B.-1-2-30123

C.-3-2-1123D.-3-2-10123

【解答】解：A選項(xiàng)，應(yīng)該正數(shù)在右邊,負(fù)數(shù)在左邊，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤;

8選項(xiàng)，負(fù)數(shù)的大小順序不對(duì)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)，沒(méi)有原點(diǎn)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤;

。選項(xiàng)，有原點(diǎn)，正方向，單位長(zhǎng)度，故該選項(xiàng)正確;

故選：D.

3.（4分）“天問(wèn)一號(hào)”在經(jīng)歷了7個(gè)月的“奔火”之旅和3個(gè)月的“環(huán)火”探測(cè)，完成了

長(zhǎng)達(dá)5億千米的行程，登陸器“祝融”號(hào)火星車(chē)于2021年5月15日7時(shí)18分從火星發(fā)

來(lái)‘'短信"，標(biāo)志著我國(guó)首次火星登陸任務(wù)圓滿成功.請(qǐng)將5億這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示

為（）

A.5X107B.5X108C.5X109D.5X1O10

【解答】解：5億=500000000=5X1()8.

故選：B.

4.（4分）下面四個(gè)交通標(biāo)志圖是軸對(duì)稱圖形的是（

A.B.

。9

【解答】解：A.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

B.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

C.是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

D.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

5.(4分)面的平方根是()

A.9B.±9C.3D.±3

【解答】解：：質(zhì)=9,

質(zhì)的平方根是±3,

故選：D.

6.(4分)在平面直角坐標(biāo)系中，將線段A8平移后得到線段A8,點(diǎn)A(2,1)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

A'的坐標(biāo)為(-2,-3),則點(diǎn)B(-2,3)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)夕的坐標(biāo)為()

A.(6,1)B.(3,7)C.(-6,-1)D.(2,-1)

【解答】解：(2,1)平移后得到點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(-2,-3),

向下平移了4個(gè)單位，向左平移了4個(gè)單位，

：.B(-2,3)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)8的坐標(biāo)為(-2-4,3-4),

即(-6,-1).

故選：C.

7.(4分)某校七年級(jí)1班50名同學(xué)在“森林草原防滅火”知識(shí)競(jìng)賽中的成績(jī)?nèi)绫硭?

成績(jī)60708090100

人數(shù)3913169

則這個(gè)班學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)分別是()

A.90,80B.16,85C.16,24.5D.90,85

【解答】解：90出現(xiàn)的次數(shù)最多，眾數(shù)為90.

這組數(shù)據(jù)一共有50個(gè)，已經(jīng)按大小順序排列，第25和第26個(gè)數(shù)分別是80、90,所以中

位數(shù)為(80+90)4-2=85.

故選：D.

8.（4分）下列命題中，假命題是（）

A.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

B.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合

C.若AB=BC,則點(diǎn)8是線段AC的中點(diǎn)

D.三角形三條邊的垂直中分線的交點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的外心

【解答】解：A、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，所以A選項(xiàng)不符合題意；

8、等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，所以8選項(xiàng)不符合

題意；

C、若A、B、C在同一直線上，且AB=BC,則點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，所以C選項(xiàng)符

合題意；

。、三角形三條邊的垂直中分線的交點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的外心，所以D選項(xiàng)不符合題意。

故選：C.

9.（4分）函數(shù)y=fcv+6的圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程/+法+k-1=0的根的

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.無(wú)法確定

【解答】解：根據(jù)圖象可得％<0,b<0,

所以后>0,-4*>0,

因?yàn)椤?反-4（Z:-1）=b1-4上+4>0,

所以△>（）,

所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：C.

10.（4分）如圖，/MBC中，NAC8=90°,AC=8,BC=6,將△AOE沿DE翻折，使點(diǎn)

A與點(diǎn)8重合，則CE的長(zhǎng)為（）

7

D.-

4

【解答】解：設(shè)CE=x,則4E=8-x=E2,

在RtABCE中，BE1=CE2+BC2,

即（8-x）2=X2+62,

解得x=；，

故選：D.

11.（4分）點(diǎn)P是。0內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)為10。"，最短弦的長(zhǎng)為6cm,則0尸

的長(zhǎng)為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【解答】解：如圖所示，COLA3于點(diǎn)P.

根據(jù)題意，得

AB=\0cm9CD=6cm.

1

:?CP=2。。=3(7%.

根據(jù)勾股定理，得0P=\/C02-CP2=V52-32=4(cm).

故選:B.

12.（4分）二次函數(shù)y=o?+fer+c（a#0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中不正確的是（）

B.函數(shù)的最大值為+c

C.當(dāng)-3WxWl時(shí)，y^OD.4a-2h+c<0

【解答】解：???拋物線開(kāi)口向下，

：.a<0,

???拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-名=-1，

b=2〃V0,

???拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)在工軸上方，

Ac>0,

.\abc>09所以A不符合題意；

當(dāng)x=-l時(shí)，函數(shù)的最大值為：?,（-1）2+6,（-1）+c=a-b+c,故B不符合題意；

由圖可知，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為（-3,0）,所以-3Wx〈l時(shí)，y'O,故C不符合題

意；

當(dāng)x=-2時(shí)，y>0,

所以，??（-2）2+6*（-2）+<?>0,

即4a-2b+c>0,故D符合題意，

故選：D.

二、填空題（共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）

13.（4分）函數(shù)），=與^中，自變量x的取值范圍是X2-3且x#0

【解答】解：根據(jù)題意得:｛北產(chǎn)°

解得X2-3且x#0.

故答案為x2-3且xWO.

14.（4分）已知二:是方程or+y=2的解，則a的值為-1.

【解答】解：把［二;代入到方程中得：a+3=2,

.*.a=-1,

故答案為：-1.

120

15.（4分）菱形ABCQ中，對(duì)角線AC=10,80=24.則菱形的高等于天

【解答】解：由題意得，菱形的面積另xAUBO=/x10X24=120,

則4。=5,80=12,

則AB=+8。2=13,

設(shè)菱形的高為/?，

則菱形的面積=8C?/z=13力=120,

解得h=黑，

120

故答案為二

13

16.（4分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ASC已知AC=3,BC=2,

57r

則線段AB掃過(guò)的圖形（陰影部分）的面積為7.

【解答】解：:△A8C繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°得到△?!'B'C,

???△"&△4'B'C,

***SAA5C—SAABC，ZBCB'=ZACA'=120°.

VAB掃過(guò)的圖形的面積=S闞形AC4+SZXABC-S扇形8ar-S&r夕c,

???A8掃過(guò)的圖形的面積=S扇形AC4-S扇形8CB，，

77

：.AB掃過(guò)的圖形的面積=絲鬻-—I2需-=等.

故答案為：—?

17.（4分）如圖，用火柴棍拼成一個(gè)由三角形組成的圖形，拼第一個(gè)圖形共需要3根火柴

棍；拼第二個(gè)圖形共需要5根火柴棍；拼第三個(gè)圖形共需要7根火柴棍；…照這樣拼圖，

則第"個(gè)圖形需要（2〃+1）根火柴棍.

圖1圖2圖3

【解答】解：設(shè)第"個(gè)圖形需要所（"為正整數(shù)）根火柴棒,

觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第一個(gè)圖形需要火柴棍：3=1X2+1,

第二個(gè)圖形需要火柴棍：5-2X2+1；

第三個(gè)圖形需要火柴棍：7=3義2+1,…，

第〃個(gè)圖形需要火柴棍：2〃+1.

故答案為：（2n+l）.

三、解答題（共5小題，共32分）

18.（5分）解不等式：—^―-x<3—

【解答】解：去分母，得：4（1-x）-12x06-3（x+2）,

去括號(hào)，得：4-4x-12x<36-3x-6,

移項(xiàng)、合并，得：-13xV26,

系數(shù)化為1得，-2.

11

19.（5分）己知x-y=2,---=1,求/廠孫2的值.

xy

【解答】解：,?4一工=1,

xy

??y-x=xy.

,?Xy=2,

.,.y-x=xy=-2.

.?.原式=刈（工-y）=-2X2=-4.

20.（7分）隨著手機(jī)的日益普及，學(xué)生使用手機(jī)給學(xué)校管理和學(xué)生發(fā)展帶來(lái)諸多不利影響.為

了保護(hù)學(xué)生視力，防止學(xué)生沉迷網(wǎng)絡(luò)和游戲，讓學(xué)生在學(xué)校專心學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生身心健

康發(fā)展，教育部辦公廳于2021年1月15日頒發(fā)了《教育部辦公廳關(guān)于加強(qiáng)中小學(xué)生手

機(jī)管理工作的通知》.為貫徹《通知》精神，某學(xué)校團(tuán)委組織了“我與手機(jī)說(shuō)再見(jiàn)”為主

題的演講比賽，根據(jù)參賽同學(xué)的得分情況繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（其中A

表示“一等獎(jiǎng)”，B表示“二等獎(jiǎng)”，C表示“三等獎(jiǎng)”，。表示“優(yōu)秀獎(jiǎng)”）.

獲獎(jiǎng)情況條形統(tǒng)計(jì)圖獲獎(jiǎng)情況扇形統(tǒng)計(jì)圖

（1）獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)為40人,m=30

（2）請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

（3）學(xué)校將從獲得一等獎(jiǎng)的4名同學(xué)（其中有一名男生，三名女生）中隨機(jī)抽取兩名參

加全市的比賽，請(qǐng)利用樹(shù)狀圖或列表法求抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率.

【解答】解：（1）獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)為8?20%=40（人）,

40-4-8-16

m%=X1OO%=30%,

即修=30；

故答案為40；30；

（2）“三等獎(jiǎng)”人數(shù)為40-4-8-16=12（人）,

條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充為:

獲獎(jiǎng)情況條形統(tǒng)計(jì)圖

（3）畫(huà)樹(shù)狀圖為:

開(kāi)始

共有12種等可能的結(jié)果，抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)為6,

所以抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率=^=1<.

21.（7分）王剛同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識(shí)后，嘗試?yán)盟鶎W(xué)知識(shí)測(cè)量河

對(duì)岸大樹(shù)AB的高度，他在點(diǎn)C處測(cè)得大樹(shù)頂端A的仰角為45°,再?gòu)腃點(diǎn)出發(fā)沿斜坡

走2m米到達(dá)斜坡上。點(diǎn)，在點(diǎn)。處測(cè)得樹(shù)頂端A的仰角為30°,若斜坡CF的坡比

為i=l：3（點(diǎn)E、C、8在同一水平線上）.

（1）求王剛同學(xué)從點(diǎn)C到點(diǎn)。的過(guò)程中上升的高度；

（2）求大樹(shù)4B的高度（結(jié)果保留根號(hào)）.

【解答】解:（1）過(guò)點(diǎn)D作。于點(diǎn)H,

A

由題意知。。=20訪米，

??,斜坡C/的坡比為，=1：3,

*DH1

??—―,

CH3

設(shè)0H=x（米）,CH=3x（米），

'：DH2+CH2=DC1,

：.x2+（3x）2=（2?U）2,

?.x=2,

???QH=2（米）,C”=6（米），

答:王剛同學(xué)從點(diǎn)C到點(diǎn)D的過(guò)程中上升的高度為2米;

⑵過(guò)點(diǎn)D作DGLAB于點(diǎn)G,

,/ZDHB=ZDGB=NABC=90°,

四邊形Q//BG為矩形，

:.DH=BG=2米,Z>G=BH=（x+6）米，

VZACfi=45°,

，BC=AB=x（米），

；.AG=（x-2）米，

VZADG=30°,

AGV3

—=tan30°=—,

DG3

.x-2V3

*'x+6-3，

/.x—6+4A/3,

，AB=（6+4百）（米）.

答:大樹(shù)A8的高度是（6+4百）米.

22.（8分）如圖，在四邊形A8CD中，/AOC=/3=90°,過(guò)點(diǎn)。作。E_LAB于E,若

DE=BE.

(1)求證：DA=DC；

(2)連接AC交OE于點(diǎn)R若NADE=30°,AO=6,求。尸的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：作。交5C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,如右圖所示,

ZB=90°,DG±BC,

：?NDEB=NB=NBGD=90°,

???四邊形DEBG是矩形，

又?：DE=BE,

，四邊形DE8G是正方形，

:.DG=BE,NEDG=90°,

:?DG=DE,NEDC+NCDG=90°,

VZADC=90°,

：.ZEDC+ZADE=90°,

NADE=NCDG,

在和△COG中，

(ZADE=NCDG

\DE=DG，

V^AED=Z.CGD

:.AADEQ/XCDG(ASA),

：.DA=DC；

(2)VZADE=30°,AO=6,ZDEA=90°,

：.AE=3,DE=y/AD2-AE2=V62-32=3A/3,

由(1)知，△ADE^ZiCOG,四邊形OEBG是正方形，

:.DG=DE=3?AE=CG=3fBE=DG=BG=3?

：.BC=BG-CG=3>/3-3,AE=AE+BE=3+3V39

VFG±AB,BCLAB,

：.FE//CB,

?,.AAEF^AABC,

.AEEF

??'=,

ABBC

3EF

即nn----產(chǎn)=-7=--，

3+3V33V3-3

解得EF=6-3V3,

:.DF=DE-EF=3/一（6-3百）=3百-6+3百=6百一6,

即。尸的長(zhǎng)是6V3-6.

四、填空題（共2小題，每小題5分，共10分）

2%

23.（5分）若關(guān)于x的分式方程一-3=—的解為正數(shù)，則根的取值范圍是m>-3

x-11-x

且-2.

【解答】解：方程兩邊同時(shí)乘以（x-1）得，2x-3（x-1）--m,

解得x=zn+3.

為正數(shù)，

：.m+3>0,解得〃?>-3.

即mW-2.

：.m的取值范圍是〃〉-3且加會(huì)-2.

故答案為：加>-3且mW-2.

24.（5分）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,0C的半徑為VI尸為A3邊上一動(dòng)點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)P作。C的切線PQ,切點(diǎn)為Q，則點(diǎn)。的最小值為3

A

Q

Brc）

【解答】解：連接CP、CQ,作于，，如圖,

???等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,

：.AB=CB=4,ZBCH=1x60°=30°,

：.BH=^AB=4,CH=^BC=^x4=2V3,

：PQ為（DC的切線，

：.CQLPQ,

在RtaCPQ中，PQ=_CQ2=7cp2_3,

???點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到H點(diǎn)時(shí)，CP最小，

即CP的最小值為2百，

：.PQ的最小值為=3,

故答案為：3.

五、解答題（共4小題，共40分）

25.（8分）閱讀以下材料：

蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（/.Npler,1550-1617年）是對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人.他發(fā)明對(duì)數(shù)是在指

數(shù)書(shū)寫(xiě)方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（EWer,1707-1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與

對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系.

對(duì)數(shù)的定義：一般地，若/=N（a>0且。片1）,那么x叫做以。為底N的對(duì)數(shù)，記作x

=log“N,比如指數(shù)式24=16可以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式4=log216,對(duì)數(shù)式2=log39可以轉(zhuǎn)化為

指數(shù)式32=9.

我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：

k)g〃(M?N)=log“M+k)gaN(〃>0,。工1,M>0,N>0),理由如下：

設(shè)log“M=m,log(N=n,則M=am,N=d，,

?,.M?N=""?〃〃=4〃T由對(duì)數(shù)的定義得m+〃=log〃(M?N).

又*/m+n=logaM+logJV,

loga(M?N)=logaM+logaN.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，解答下列問(wèn)題：

(1)填空：@log232=5,②k)g327=3,③loll=0;

M

(2)求證：logd—=logr/M-log^(?>0,M>0,N>0)；

(3)拓展運(yùn)用:i+WIog5125+log56-log530.

【解答】解：(1)log232=log225=5,logs27=logs33=3,Iog71=log77°=0；

故答案為：5,3,0；

(2)設(shè)log.M="，log°N=n,則M="",N=d1

Mam.M

?=-=d"",由對(duì)數(shù)的定義得m-n=log?—,

NanN

XVm-〃=logaM-logaN,

M

???loga—=10gaM-logaN(q>0,1,M>0,N>0);

N

(3)原式=log5(125X64-30)

=logs25

=2.

k

26.(10分)如圖，ZXAOB中，乙480=90°,邊OB在x軸上，反比例函數(shù)尸-x>0)

q

的圖象經(jīng)過(guò)斜邊OA的中點(diǎn)M,與AB相交于點(diǎn)MSAAOB=12,AN,

(1)求女的值；

(2)求直線MN的解析式.

y

【解答】解：(1)設(shè)N(岫)則OB=a,BN=b,

?：AN=宗9

9

??AB=b~\~2，

.9

?二A(〃,/?+2)?

IM為。4中點(diǎn)，

119

而反比例函數(shù)y=((x>0)的圖象經(jīng)過(guò)斜邊04的中點(diǎn)M,

119

??k=2。?叩+4)=必

解得：b=|,

VSAA^=12,NABO=90°,

119

???5。8\48=12,即&aS+務(wù)=12,

Q139

將b-2代入得：-a(-+-)=12,

解得。=4,

3

???M4,0M(2,3),

3

"=4x]=6；

3

(2)由(1)知：M(2,3),N(4,-),

設(shè)直線MN解析式為y=nvc+n,

(3=2m+n(m=—7

?..g=4m+/解得93

12In=

QQ

直線MN解析式為產(chǎn)-永+

27.(10分)如圖，在RL^ABC中，ZC=90°,AE平分NBAC交BC于點(diǎn)E,點(diǎn)。在A8

上，DELAE,。。是RtaAOE的外接圓，交AC于點(diǎn)F.

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)若。。的半徑為5,AC=8,求5.BDE.

【解答】解：(1)連接0E,

VZC=90°,

：.Z2+ZAEC=90°,

又：O4=0E,

.?./l=N0E4,

.?.NAEC+NOE4=90°,

即OEA.BC,

；.BC是0O的切線；

(2)過(guò)點(diǎn)E作EM_LA8,垂足為M,

VZ1=Z2,NC=NAED=90°,

：.△-￡￡),