2021年新高考數(shù)學(xué)考前10天模擬定心卷三（解析版）

高考前10天模擬考試-定心卷(解析版)

數(shù)學(xué)(三)

本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共16道小題，6道大題，滿分150.考試時(shí)間120分鐘.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知集合A={y|y=爐+2x+3},B=<x\y=J,則Ap|B=()

A.[2,3]B.[2,3)C.(2,31D.(2,3)

【答案】B

【分析】

分別化簡集合A,集合3,然后取交集即可.

【詳解】

A={y|y=爐+2x+3=(x+l)2+2}={y|y..2},B=<x\y=2-——=x<3},

所以4cB=[2,3).

故選：B.

2.復(fù)數(shù)z+l=(z-l)i,貝|」1=()

A.iB.-iC.1+zD.1-i

【答案】A

【分析】

由已知條件得出z=--,利用復(fù)數(shù)的除法法則化簡可得復(fù)數(shù)z,利用共輸復(fù)數(shù)的定義可得結(jié)果.

1-1

【詳解】

?JZ+I=(z—l)i,則z+l=zi-i,z=_j~^=_/0：/"~~r=--=-1>因此，Z=i-

故選：A.

3.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是,空氣的溫度是.那么/min后物體的溫。(單

位：。C)可由公式。求得，其中A是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸情況而定的常數(shù).現(xiàn)有

46℃的物體，放在10℃的空氣中冷卻，Imin以后物體的溫度是38℃,則衣的值約為(ln3。1.10,ln7b1.95)

)

A.0.25B.-0.25C.0.89D.-0.89

【答案】A

【詳解】

由題意可知：。=%+（4—仇”-"

當(dāng)4=46°,4=10°,f=l時(shí)，e=38°，

28。_7

代入公式得:38°=10°+(46°-1011即e-k

36：~9

7

9-21n3-ln7=2.20-1.95=0.25.

A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算，屬于簡單題.

4.在平面直角坐標(biāo)系x如中，角e的頂點(diǎn)為〃，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若點(diǎn)P（-1,2）是角a終邊上的一

點(diǎn),則tan（"一2c）等于（）

3434

A.----B.----C.-D.一

4343

【答案】B

【分析】

由三角函數(shù)的定義可求tana的值，再利用誘導(dǎo)公式及二倍角正切公式可求.

【詳解】

2tana_2x(-2)_4

解：由題意，得tana=-2,從而tan（左一2a）=-tan2a=1—tan2a—"l-(-2)2--3

故選：B.

5.已知雙曲線￡-馬=l（a>0,0>0）的離心率為K，則該雙曲線的漸近線方程為（）

ab-

A.y=±gxB.y=±xC.y-±41xD.y=±2x

【答案】C

【分析】

直接利用6=￡,。2=42+62進(jìn)行齊次轉(zhuǎn)化得到g=,即得結(jié)果

aa

【詳解】

雙曲線中，6=?=石,所以2=杵=/三:=后=1=J^T=0，

故該雙曲線的漸近線方程為y=±y/2x.

故選：C.

6.已知（〃eN*）的展開式中有常數(shù)項(xiàng)，則”的值可能是（）

\x）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】

寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式，令》的指數(shù)為0,此式有正整數(shù)解，從而可得〃的范圍.

【詳解】

由題意展開式通項(xiàng)公式為=。;（/）…（工）=c>2,,-3r

所以關(guān)于r的方程2〃-3r=0有正整數(shù)解，〃必是3的整數(shù)倍.只有B滿足.

故選:B.

7.如圖所示，在正四棱錐S-中，AB=6,SA=36，它的內(nèi)切球。與四個(gè)側(cè)面分別相切于點(diǎn)發(fā)

F,G,，處，則四邊形E尸G”外接圓的半徑為（）

22

【答案】C

【分析】

作出過正四棱錐頂點(diǎn)和底面對(duì)邊中點(diǎn)的截面ASMN,M,N是AD,8c中點(diǎn)，ASMN的內(nèi)切圓是正四棱錐

內(nèi)切球的大圓，切點(diǎn)￡G為球與正四棱錐側(cè)面的切點(diǎn)，求得ASMN的邊長，得切點(diǎn)E,G位置求得EG,

而四邊形EFG"是正方形，對(duì)稱線為其外接圓直徑，山此可得.

【詳解】

如圖，作出過正四棱錐頂點(diǎn)和底面對(duì)邊中點(diǎn)的截面AS“V,不妨設(shè)M,N是中點(diǎn)（SM,SN是正

四棱錐的斜高），則ASMN的內(nèi)切圓是正四棱錐內(nèi)切球的大圓，切點(diǎn)E,G為球與正四棱錐側(cè)面的切點(diǎn)，

正四棱錐S-A88中，AB=6，SA=3亞,則SM=SN=&后=6，MN=AB=6,ASMN

是等邊三角形，則E,G分別為SM,SN的中點(diǎn)，EG=LMN=3,

2

13

由正四棱錐性質(zhì)知四邊形EFGH是正方形，所以外接圓半徑為r=-EG=-.

22

故選：C.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：在涉及到正棱錐與內(nèi)切球、外接球的計(jì)算中，常常需要作出截面得出相應(yīng)關(guān)系求解.對(duì)正四棱

錐來講，有兩個(gè)截面，一個(gè)是本題中作出的過棱錐的標(biāo)點(diǎn)，和底面對(duì)邊中點(diǎn)的截面，它截正四棱錐內(nèi)切球

所得大圓為截面三角形的內(nèi)切圓，另外一個(gè)是正四棱錐的對(duì)角面MC,它截外接球的大圓是截面三角形的

外接圓.

8.定義在R上的函數(shù)/（x）滿足/'（x）-2/（》）一8>0,且/（0）=-2,則不等式/（%）>2/-4的解

集為（）

A.（0,2）B.（0,+8）C.（0,4）D.（4,+00）

【答案】B

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)="，：4,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)的單調(diào)性，將所求不等式變形為g(x)>g(O),即可

解得x的取值范圍.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=g，則小)「("—")+曠J(X)一斗)8〉0,

所以，函數(shù)g(x)為R上的增函數(shù)，g(o)=叢注=2,

由/(x)>2g2,一4可得g(x)=/4〉2=g(0),所以，X>Q.

e"x

故選：B.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)不等式求解函數(shù)不等式，思路如下：

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造原函數(shù)g(x)；

(2)分析原函數(shù)的奇偶性，并利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

(3)將所求不等式變形為g(a)>g(6)或g(M)>g(W)(偶函數(shù))；

(4)利用函數(shù)g(x)的單調(diào)性可得出關(guān)于。、。的不等式進(jìn)行求解.

二、選擇題：本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.(山

東新高考:全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得3分.其他八省新高考：全部選對(duì)的

得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.)

9.已知向量石=(3,—4),5=(2,1),則()

A.a-2^=(-l,-6)

B.\a+h\^y/34

C.與向量￡平行的單位向量為

2_

D.向量M在向量5上的投影向量為

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解判斷，注意與某個(gè)向量平行的單位向量有兩個(gè)，它們是相反向量.

【詳解】

由題意萬一25=（—1,一6）,A正確;

a+b=（5,-3）,,+目=,5?+（-3）2=-s/34,B正確;

與￡平行的單位向量有兩個(gè)，它們是相反向量，c錯(cuò)；

￡石=6—4=2＞0，向量M在向量5上的投影向量與B同向,

ab226I/-2-

W=R"=不一，而W=J5,所以向量M在向量5上的投影向量為，D正確.

故選：ABD.

10.如果函數(shù)/（x）在3,句上是增函數(shù)，那么對(duì)于任意的玉,勿（芯/占），下列結(jié)論中不正確的是

A,-6/㈤>0

玉-x2

C.右％vx?則/（。）＜/（西）＜/（/）＜/（》）D.＜。

【答案】CD

【分析】

根據(jù)單調(diào)性的定義百一W與—的符號(hào)相同，逐個(gè)判斷即可.

【詳解】

因?yàn)?（x）在［。,可上是增函數(shù)，所以對(duì)于任意的玉,工2€伍,例（玉。*2），玉一工2與/（玉）一）（%2）的符號(hào)

相同，故A,B正確，D不正確；

C中，若內(nèi)＜々，則/（。）期（玉）＜/（%）/S），所以C不正確，

故選CD

【點(diǎn)

本題考查對(duì)單調(diào)性定義的理解，是基礎(chǔ)題.

11.在AABC中下列關(guān)系成立的有（）

A.sin(A+B)=sinCB.cos(A+B)=cosC

「.A+BC八A+B.C

C.sin-----=cos—D.cos-----=-sin—

2222

【答案】AC

【分析】

由4+3+。=不，可得4+8=萬一。04±目=二一2,再利用誘導(dǎo)公式判斷即可.

222

【詳解】

△ABC中，因?yàn)锳+B+C="，

An-4+371C

所以A+3=;r—Cn-----=------，

222

所以sin(A+6)=sin(乃一C)=sinC,A正確;

cos(A+B)=cos(-C)=-cosC,B不正確；

D不正確.

故選：AC.

12.設(shè)。＞0力＞0,。+匕=1,則(

41八

A./+〃的最小值為g.B.—H7的范圍為[9,+8)

ah

3+DS+1)D.若c>l,則["把-2]"+—^的最小值為8

C.的最小值為2J5

\[abIabJc-i

【答案】ABD

【分析】

由a?+從2(〃+b),可判定A正確；由一+7=(—+7)。+〃)=54----F-,可判定B正確；由

2ab\abJab

(4+DS+1)ab+Q+/?+lf—r2

-—7==-=---r=—=V^+-7=,結(jié)合基本不等式，可判定C不正確；由

7ab7ab7ab

/2\??

3/+1

c4。b、A得到""-2-c+—L"(C-1)+—!—+4,進(jìn)而判定D正確.

—2=1—>4

abbaab]c-\c-1

【詳解】

對(duì)于A中，由"+8223+/斤=L當(dāng)且僅當(dāng)a=b=l■時(shí)取等，

222

可得〃+后的最小值為工，所以A正確；

2

41(41)/1x廠4brr

對(duì)于B中，由一+—=—+—(。+。)=5+—+—25+2,4=9,

abyabJab

21

當(dāng)且僅當(dāng)4=2/7時(shí)，即。=一力=一時(shí)，等號(hào)成立，取得最小值9,所以B正確；

33

(Q+l)(〃+l)4。+4+。+1f—r2

對(duì)于C中，由1—7=~-=------7=—=V^+-7=,

slab7ab7ab

r-r21214J

又由0<疝弓，所以V"+詬一>萬+1==5+5,所以c不正確；

22

,.?,3。一+13。一+(Q+Z?)~4。b

對(duì)于1)中，由--------2=-----------------2=—十—24,

ababba

1?

當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)，即。=不/二二時(shí)，等號(hào)成立，

可得-2[C+-^-N4(C-1)+-5-+4N8,

、ab)c—1c—1

3

當(dāng)且僅當(dāng)。=一時(shí)取等，所以D正確.

2

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其滿足的三個(gè)條件：“?正、二定、三相等”：

(1)“一正”：就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

(2)“二定”：就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)

成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”：利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所

求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.

三、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.如圖，在直三棱柱ABC-AB。中，若m=1,而=5,比I=d,則“=.（用〃,B,c表

示）

【答案】-a+b—c

【分析】

____UUU

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，利用空間向量的線性運(yùn)算即可用4,仇C表示出A&

【詳解】

在直三棱柱ABC—48cl中，若百=2麗=反反尸E，

則率=平+/+國

^qC-CA+CB

=-CA+CB-CQ

=—ci+h—c

故答案為：-G+B-E

【點(diǎn)睛】

本題考查空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.設(shè)隨機(jī)變量f服從二項(xiàng)分布《6,；）,則P信42）等于

【答案】1

【分析】

將P?,2)轉(zhuǎn)化為求Pe=0)+PK=D+P?=2),即可得到答案：

【詳解】

P(￡2)=Pe=0)+PC=l)+P(g=2)

\2j\2)\2)[2)\2j[2)64646432

故答案為：—.

32

15.已知等差數(shù)列｛&｝,且&+@5=10,a236=21,則&=.

【答案】/=〃+1或4=-〃+9.

【分析】

設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為4,根據(jù)題意列出方程組，求得d的值，即可求解.

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,

因?yàn)椤?+。5=2%=1°，可得。4=5,

又由a2a6=(%-2d)(%+2d)=(5-2d)(5+2d)=21,

解得“2=1，所以d=l或d=—l,

所以數(shù)列｛見｝的通項(xiàng)公式為4=〃+1或凡=一〃+9.

故答案為：氏=〃+1或=-〃+9.

16.在平面直角坐標(biāo)系x勿中，己知直角AABC中，直角頂點(diǎn)1在直線x-y+6=0上，頂點(diǎn)B,。在圓

V+y2=iO上，則點(diǎn)4橫坐標(biāo)的取值范圍是.

【答案】[-4,-2]

【分析】

山題意畫出圖形，寫出以原點(diǎn)為圓心，以2有為半徑的圓的方程，與直線方程聯(lián)立求得工值，則答案可求.

【詳解】

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)A往直線兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，44C不斷變小,

當(dāng)點(diǎn)A為直線上的定點(diǎn)時(shí)，直線A5,AC與圓相切時(shí)，N3AC最大,

當(dāng)ABOC為正方形，則04=2逐，

則以。為圓心，以2石為半徑的圓的方程為-+y2=20.

y=x+6

聯(lián)立〈，，得X2+6X+8=0.

x2+y2=20

解得x=T或x=-2.

點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍是[T，-2].

故答案為：[-4,-2].

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求

解能力，求解時(shí)注意坐標(biāo)法的應(yīng)用.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.從①都是銳角，且sina=^~,cosJ3=,、②a、f3都是鈍角，且tana=——,cosB--士心工；

510434

53

③a是銳角，〃是鈍角，且tan2a=方，tan￡=一萬這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加

以解答.

已知，求夕+￡的值.

如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

冗

【答案】選擇①：a+/3=~TT；選擇②：夕=」771；選擇③：a+/3=3—.

444

【分析】

選擇①根據(jù)已知條件求出COSa、sin/7的值，再計(jì)算cos(a+〃)的值即可求解；選擇②由已知條件先求出

Sin夕的值，即可求tan夕得值，計(jì)算tan(a+4)的值，結(jié)合a+￡的范圍即可求解；選擇③先利用正切的

二倍角公式計(jì)算出tana的值，計(jì)算tan(a+4)的值，結(jié)合￡的范圍即可求解.

【詳解】

gc°s￡=亞;

若選擇①a,夕都是銳角，ILsina

510

由名，都是銳角，且sina=更，cos/3=3

510

c°s(a+0—八…叱竽x嚕.去?？?

TT

因?yàn)橐姺蕉际卿J角，所以O(shè)va+4〈兀，所以=+月=一;

4

若選擇②a,尸都是鈍角，且tana=—Leos尸=—士叵

434

因?yàn)椤ㄊ氢g角，cos/7=-3晝

34

3取

可得sin，=Jl-cos?0

34

3扃

sinf33

所以tanP=34

COS057345

34

因?yàn)閍是鈍角，tanct——,

4

13

tana+tan，

所以tan(a+/?)=

1-tana?tanf3

因?yàn)橐籿a＜]，—＜B＜TC,所以/＜。+/?＜2%，

22

所以a+/?="；

4

53

若選擇③：。是銳角，夕是鈍角，且tan2a=—，tan〃二一一,

122

2tancc5

由tan2a=---------=—整理可得：5tan2。+24tanc—5=0，

l-tan2a12

即(5tan二一1)(tana+5)=0解得tana=g或tana=—5(舍)

1_3

tana+tan/?

所以tan(a+p)=

1-tana-tan°

_.、,cTCTCcr-r-II冗c31

因?yàn)?＜二＜一，—＜，＜"，所以一＜。+[＜—,

2222

所以。+￡=型

4

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：對(duì)于給值求角型的題目，要注意先由已知條件判斷角的范圍，再確定計(jì)算哪一種三角函數(shù)值,

jr34

如已知條件給的是弦，角的范闈是［0,乃］或［〃,2乃］,要計(jì)算余弦值，角的范圍是要計(jì)算正弦值,

以保證該三角函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，若已知正切應(yīng)計(jì)算角的正切值，再求角.

18.已知數(shù)列｛q｝的各項(xiàng)均為正，其前〃項(xiàng)和為S“，且滿足：2S,=%+%(〃eN)

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)〃=%+￡,若對(duì)任意的〃eN*，都有求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

an

【答案】(1)a“=〃(〃eN*)；⑵［6,12］.

【分析】

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，可求得力：當(dāng)“22時(shí)，利用%=S“-S,i可證得數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通

項(xiàng)公式可求得4；

(2)由可得(”—3)(3〃-C)N0,分別在〃<2、〃=3和〃24三種情況下，利用恒成立的思想求

3〃

得結(jié)果，綜合可得結(jié)果.

【詳解】

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，2S]=2al=a；+4,又>0,4=1；

當(dāng)〃22時(shí)，2s._]=+an_x,2an-2(S“—S“_|)=a~+an,

整理可得：(a.+a,i)(a“_a,i_l)=O,又a“+4->0,a“—a,1-1=0,

即?！耙籥,i=l，，數(shù)列｛風(fēng)｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，，%=〃；

經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)〃=10寸，滿足/=〃；

綜上所述：a“=〃(〃eN*)；

(2)由(1)得：b”=〃T—,由42％得：n-\—23H—,

nn3

...〃+￡_3一￡=3/-(。+9)〃+3。=("3)(3〃-c)20

〃33〃3n

①當(dāng)時(shí)，〃一3v0,3〃>0,.\3?—c<0,即cN3〃恒成立，c>6；

②當(dāng)〃=3時(shí)，(〃二3)(3〃二c)=0,.?.52%恒成立，...。€/?；

3n

③當(dāng)〃24時(shí)，n—3>0,3/1>0?/.3n—c>0,即恒成立.，/.c<12；

綜上所述：實(shí)數(shù)，的取值范圍為[6,12].

【點(diǎn)睛】

易錯(cuò)點(diǎn)睛:在利用勺與S,關(guān)系求解數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)，需注意驗(yàn)證首項(xiàng)是否滿足〃N2時(shí)所求解的通項(xiàng)公式，

S],幾=1

若不滿足，則通項(xiàng)公式為分段數(shù)列的形式，即《,=1

[Sn-Sn_?n>2

19.某省高考曾經(jīng)使用過一段標(biāo)準(zhǔn)分制度，標(biāo)準(zhǔn)分是把學(xué)生考試的基礎(chǔ)分參與全省排出相對(duì)名稱，通過公

式換算成標(biāo)準(zhǔn)分.高考后公布考生的標(biāo)準(zhǔn)分，而不公布基礎(chǔ)分.考生根據(jù)自己的標(biāo)準(zhǔn)分多少就可以大致估出

自己在全省考生的名次.其標(biāo)準(zhǔn)分才是服從正態(tài)分布"(500,IO。?)的隨機(jī)變量.假設(shè)某學(xué)生的數(shù)學(xué)成績不

低于600的概率為R.

（1）求R的值；

（2）某校高三的高考英語和數(shù)學(xué)兩科都超過600分的有5人，僅單科超過600分的共有8人，在這些同學(xué)

中隨機(jī)抽取3人，設(shè)三人中英語和數(shù)學(xué)雙科都超過600分的有&人，求&的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（參考數(shù)據(jù)：若h"（U,。與，有產(chǎn)（口-。（朕口+。）=0.6826,P（u-2o〈啟u+2。）=0.9544,

P（u-3o<收u+3o）=0.9974.）

【答案】（1）0.1587；（2）分布列見解析,后傳）=>

【分析】

（1）根據(jù)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布“（500,lOOJ,得到〃=500,<7=100,再由網(wǎng)=戶（尤>600）=1-

（1W500）+—^（400<T^600）］求解.

2

（2）根據(jù)英語和數(shù)學(xué)雙科都超過600分的有5人，僅單科超過600分的有8人，得到€的所有取值有0,1,

2,3,然后分別求得相應(yīng)概率，列出分布列，再求期望.

【詳解】

（1）由于隨機(jī)變量￥服從正態(tài)分布“（500,100D,

.?.〃=500,o—100,

P（X>600）=1-月（啟600）,

由正態(tài)分布的對(duì)稱性，可知/（xWSOO）=—,

2

則P（400〈啟600）=0.6826,

則R?=P（尤>600）=1-P（朕600）

=1-［2（啟500）+：（400CXW600）］

2

=1-（-+-X0.6826）

22

=1-（0.5+0.3413）

=0.1587.

（2）英語和數(shù)學(xué)雙科都超過600分的有5人，僅單科超過600分的有8人,

&的所有取值有0,1,2,3,

P(g=0)Ci”

0（&=2）=。犯840

C；5

〃（&=3）

二&的分布列為:

€0123

2870405

P

143143143143

廠”、，、28?70。40r515

/（自）=Ox------Fix------l-2x------b3x----=—

14314314314313

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量才的分布列的步驟：①理解才的意義，寫出才可能取的全部值：②求才取

每個(gè)值的概率；③寫出/的分布列.求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率.

20.已知M、N是正四棱柱ABCD-ABCQI的棱與G、GA的中點(diǎn)，異面直線MN與A4所成角的大

小為arccos典

10

(1)求證：M、N、B、。在同一平面上;

(2)求二面角C—MN—G的大小.

【答案】(1)證明見解析；(2)arctan472.

【分析】

(1)根據(jù)MN〃可知四點(diǎn)共線，即可求證：

(2)先證明NCOG是二面角C-MN-G的平面角，解三角形求解即可.

【詳解】

(1)連接MN、05、,取MN的中點(diǎn)。，連接CO,CQ,如圖,

2G

M是棱的中點(diǎn).N是棱的GA的中點(diǎn)，

則MN〃。乃「DBHD、B\

所以MN//DB，

所以M、N、B、。確定一個(gè)平面，

即A/、N、B、。在同一平面上

（2）由（1）可知NA4A（或其補(bǔ)角）是異面直線MN與A4所成的角

設(shè)底面A5CD的邊長為。，正四棱柱高/?

2222

ABt=\/a+h，AR=yja+h，BR=41a，

22222=巫，解得/z=2a

..D?a+h+2a-a-h

cosZAB.D.=-------1~—-------------

2“2+〃2.血&10

取MN的中點(diǎn)。，因?yàn)镃M=CV,C[M=C1N,

則CO，MN,CQ上MN,/COC1是二面角C-MN-G的平面角

yf2n「八-tanZ.COC.==—1=—=4>/2

C,O=—a，R〃COG中，OC,&

4——a

4

二面角C—MN—C1的大小為arctan4\/D

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)二面角的定義，作出或證明二面角，利用直角三角形求解即可，屬于中檔題.

21.已知左、右焦點(diǎn)分別為耳、居的橢圓a0+與=1（。＞匕＞0）過點(diǎn)（夜,6）,以與尺為直徑的圓過

ab

C的下頂點(diǎn)A.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若過點(diǎn)P（O,1）的直線1與橢圓C相交于照N兩點(diǎn)，且直線AM、AN的斜率分別為占、k2,證明："

為定值.

22

【答案】（1）—%+^v-=1；（2）證明見解析.

84

【分析】

（1）由以￡瑪為直徑的圓過下頂點(diǎn)A得人=。，結(jié)合橢圓參數(shù)關(guān)系及點(diǎn)在橢圓上求6,寫出橢圓方程即

可.

（2）由題意，可設(shè)直線/為丁=h+1,加（石,%）,%（々,%），聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理得不+々，%工2，

又占=2-^2=--，得K?晨表達(dá)式并求值，即可證明結(jié)論.

玉x2

【詳解】

（1）?.?以4名為直徑的圓過點(diǎn)40,4）,

:,b=c，,又a=\Jb2+c2-y/2b,

二橢圓C:又c過點(diǎn),

23

/?2從+=1，解得b-1,a—2.yp2.,

22

...橢圓c的方程為土+匕=1.

84

（2）由題意，直線/的斜率一定存在，

,設(shè)直線1的方程為y=履+1,M（石,％,N（/,必），

"22

工+21=1

由《84一，消去y得（1+2左2）f+4版一6=。，J=64^2+24＞0.

y=kx-\-\

4k-6

于是玉+%2=又A（0,-2）,

l+2k21-1+2公

X+2,必+2（凹+2）（%+2）_（依+3）（5+3）_公中2+3%&+々）+9

,?一,則片?G———

玉X?XyX2x}x2XjX2

229(l+2k2)3,

=k2+2k2——------L=--為定值?

62

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，首先確定宜線/的斜率一定存在，再設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理、

斜率兩點(diǎn)式，求得匕?&表達(dá)式，最后求證是否為定值.

22.已知函數(shù)/(x)=lnx+g,aeR,且曲線y=/(x)在x=l處的切線平行于直線2x+y=0.

x

(1)求a的值;

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(3)已知函數(shù)g(x)=/(%)一X-』圖象上不同的兩點(diǎn)4(%,y),6(馬,％)，試比較&5"與g1立產(chǎn)]

X