2021年新高考數(shù)學(xué)名校押題06 函數(shù)與方程（選擇與填空）（解析版）

精選06函數(shù)與方程（選擇與填空）

1.函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

（1）直接求零點(diǎn)：令yu）=o,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間口，句上是連續(xù)不斷的曲線，且人。）十〃）

<o,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

2.已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中

畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解

一、單選題

|2r-l|,x<2,

1.已知函數(shù)/（x）=<3若方程/（%）=々有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)人的

.x—1

取值范圍是

A.1＜女＜3B.1,,女＜3

C.0＜攵＜3D.k＜3

【答案】B

|2A-l|,x<2,

【解析】已知={3，作出函數(shù)圖象，

----,x..2,

、九一1

通過(guò)函數(shù)圖象可以看出，當(dāng)x<0,函數(shù)無(wú)限趨近于1,但不等于1,當(dāng)x>2,函數(shù)無(wú)限趨

近于0,但不等于0,所以/（X）=々行且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，可以得到L,女<3.故選B.

y

(x+1)',x<0

2.已知函數(shù)/(x)=若方程/(x)=a有四個(gè)不同的解玉,々，％3，/，且

|log2x|,x>0

x1<x2<x3<x4,貝|JX3?(占+w)+-T—的取值范圍是

芯,X4

A.(—1,1]B.[-1,1]

c.[—1,1)D.(Tl)

【答案】A

因此X3，(％+工2)+/=-2七+，1為單調(diào)遞減函數(shù),

X3,-^4

-2xl+l=l,-2xl+U-l(從而演G+xJ+qeCi』]故選人

2天乜

3.定義在R上的奇函數(shù)_/(x)滿足y(x+4)=yu),且在區(qū)間［2,4)上/(x)=〈，“一，則

x-4,3<x<4

函數(shù)y=/(x)-log5兇的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

A.3B.4

C.5D.6

【答案】C

【解析】因?yàn)閒(x+4)=f(x),可得f(x)是周期為4的奇函數(shù)，先畫(huà)出函數(shù)f(x)在區(qū)間［2,4)

上的圖象，根據(jù)奇函數(shù)和周期為4,可以畫(huà)出f(x)在R上的圖象，由y=/(x)—k)g5|M=0,得

1/(%)=logslx|,分別畫(huà)出y=7㈤和y=log51M的圖象，如下圖,由/(5)=/(1)=1,而1。的5

=1,4-3)=/⑴=1,log5|-3|<1,而7)=/(1)=1,Mlogsl-7|=log57>l,可以得

A./(x)的圖象關(guān)于了軸對(duì)稱B.方程/(x)=0的解的個(gè)數(shù)為2

C./(X)在(L+W)上單調(diào)遞增D./(幻的最小值為

4

【答案】B

【解析】/(乃=/-/定義域?yàn)镽,顯然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

又/(-%)=(-%)4-(-x)2=x4-X2=f(x),

所以y=/(x)是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱，故選項(xiàng)A正確.

令/(X)=0即》2(》+1)(*_1)=0,

解得X=0，1,-1，函數(shù)“X)有3個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

令工=》2,g(f)=y-f=(f-g)2一;，%>1時(shí)，

函數(shù)f=f,g(f)=f2一/都為遞增函數(shù)，故/(X)在(1,+00)遞增，故?正確；

由，=工時(shí)，g(r)取得最小值—《，故/(X)的最小值是—!，故D正確.故選B.

244

5.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)于任意xwR,都有/(x+4)=/(x),且當(dāng)

xe[0,2]時(shí)，/(X)=X2-3,若方程/(幻=1。8“*3>0,。聲1)在區(qū)間(0/0)上有5個(gè)不

同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值為

A.(0,1]U[8,10)B.(0,^]U[6,10)

o2

C.(0,1)U(6,10]D.(0,^)U(6,10]

o2

【答案】D

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)對(duì)于任意xeR,都有/(x+4)=/(x),

所以函數(shù)的周期為4,由函數(shù)/(x)是定義在/?上的偶函數(shù)，目當(dāng)xe[0,2]時(shí)，f(x)=x2-3,

由此畫(huà)出/(x)在區(qū)間(0,10)上的圖象如圖所示，

所以函數(shù)/(力與y=log“％的圖象在(0,10)有5個(gè)交點(diǎn).

log,,6<1

由圖象知<s,，解得6<qM10

loga10>l

當(dāng)0<a<l時(shí)，如圖所示:

由圖象知log“8>-3,解得Ocacg,

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,g)u(6,10].故選D.

6.己知函數(shù)/(X)"?一刈,且關(guān)于x的函數(shù)g(x)=/(x)-m有4個(gè)不同的零

尤-2x+3,x..O

點(diǎn)番,々,七,/，則玉?Z?馬,尤4的取值范圍為

A.[0,1)B.[0,1]

C.(0,1)D.(0,1]

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=/(x)-m有4個(gè)不同的零點(diǎn)辦,工2，芻，*4，

不妨記王〈工2〈七<%4結(jié)合y=/(幻的圖象分析可知

lg(-X])=-lg(-x2)=>1g(-％)+lg(-x2)=0=lg(X|%2)=o=>中2=1

x3+x4=2,0?x3<1,所以百仁?玉?乂=w=曰(2-七)=2x,-%2e[O,l),故選A

7.己知0<“<1,方程/一|儂澗=0的解的個(gè)數(shù)為

A.2B.3

C.4D.2或3或4

【答案】A

【解析】0<。<1時(shí)，方程"一|胸“卅=0的解的個(gè)數(shù)，等于0<。<1時(shí)，函數(shù)y="和

函數(shù)>=|bg“x|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖所示：

數(shù)形結(jié)合可得，函數(shù)>和函數(shù)y=|/og.x|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,

故0<。<1時(shí)，方程"一|/"?|=0的解的個(gè)數(shù)為2,故選A.

8.己知函數(shù)/(x)=|2，X~Q，若方程/(x)+x+a=0恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)

log4x,x>0,

數(shù)。的取值范圍為

A.[—1,0)B.[0,+<x>)

C.D.[-l,+oo)

【答案】D

【解析】方程/(x)+x+a=0恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

則函數(shù)g(x)=/(x)+x+a有兩個(gè)零點(diǎn),

2X+x,x<0,

令令X)=f(x)+x=<

log2x+x,x>0

所以函數(shù)力(x)與函數(shù)y=-a有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

當(dāng)XW0時(shí)，函數(shù)力(X)單調(diào)遞增，故函數(shù)有最大值加0)=1,

當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)力(彳)單調(diào)遞增，函數(shù)沒(méi)有最小值，函數(shù)圖象如下圖所示:

4X

因此有一aWina之一1，故選D

【名師點(diǎn)睛】已知方程的根的個(gè)數(shù)求參數(shù)，一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函

數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.

log,(%+l),0<x<3

2

9.已知函數(shù)/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x?0時(shí)，/(幻=<2八…、，則

X2-10X+23,X>3

關(guān)于％的函數(shù)g(x)=/(x)+a(0<。<2)的所有零點(diǎn)之和為

A.10B.21-2°

C.0D.i-2a

【答案】D

【解析】因?yàn)?'(x)為定義在R上的奇函數(shù)，先畫(huà)當(dāng)xNO時(shí)/(x)的圖象如圖,

再圍繞原點(diǎn)將x2()的圖象旋轉(zhuǎn)180°得到x<0時(shí)/(X)的圖象，

g(x)=/(x)+a的零點(diǎn)可以看做y=f(x)與丫=-?(0<。<2)的圖象的交點(diǎn)，

由圖象可知交點(diǎn)一共有5個(gè)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次為為、々、七、/，

則王+工2=-10,X4+X5=10,且￡滿足log2(一芻+1)=。，解得芻=1一2",

所以X]+Xj+*3+*4+X5=1—2".故選D.

2A—1,x<2,....、

10.函數(shù)/(x)=<,若函數(shù)g(x)=/(x)T(eR)有3個(gè)不同的零點(diǎn)a,b,

-x+5,x>2

c,則2"+2h+2C的取值范圍是

A.[16,32)B.[16,34)

C.(18,32]D.(18,34)

【答案】D

【解析】作出函數(shù)y=/(x)的圖象和直線y=f,它們的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為g(x)的零點(diǎn),

如圖,則1—2。=2-，4<c<5,

2"+2”=2,

【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，解題關(guān)鍵是把函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)，從而可通過(guò)作出函數(shù)圖象與直線，得出零點(diǎn)的性質(zhì)與范圍.

lnx,x>l.、/、

11.已知函數(shù)〃x)=<—ln(2—x)x<］則方程(％-1)/(可=1的所有實(shí)根之和為

A.2B.3

C.4D.1

【答案】A

【解析】當(dāng)x>l時(shí)，所以/(2—x)=—ln[2—(2—x)]=—lnx=—/(x),

當(dāng)x<l時(shí)，2-x>l.所以〃2—x)=ln(2-元)=一〃可，當(dāng)x=l時(shí)，〃1)=0,

所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱.顯然x=l不是方程的根,

1

當(dāng)時(shí)，原方程可變?yōu)椤╔)=

X-1

畫(huà)出函數(shù)y=/(x)和y=」一的圖象(如圖所示),

X—1

由圖知，二者僅有兩個(gè)公共點(diǎn)設(shè)為A(x，y),B(w，%),

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)和y=」一的圖象都關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，所以A5關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,

所以出產(chǎn)=1,即再+々=2故選A

12.定義在R的奇函數(shù)/(x)滿足/(x+4)=/(x),且當(dāng)xe(O,2)時(shí)，/(x)=(x—爐,

則函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,4］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

A.3B.5

C.2D.4

【答案】B

【解析】??"(X)為R匕的奇函數(shù)，.??/(())=0,且/(X)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

由/(x+4)=/(x)知/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

且"2)=/(-2+4)=/(-2)=-〃2),;.”2)=0：

???/(X)部分圖象如下圖所示：

y

由圖象可知［o,4］，l仃5八零點(diǎn)，分別為x=0，X=l.x=2,X=3.x=4.故

選B.

13.設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且火x+2)于2-x)時(shí)，當(dāng)xW[-2,0]時(shí)，/(可=[5-)-1,

若在區(qū)間(-2,6)內(nèi)，關(guān)于x的方程f(x)-logfl(x+2)=0(a>0且存1)有且只有4

個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)。的范圍是

B.(1,

C.(1,8)D.(8,

【答案】D

【解析】因?yàn)閷?duì)于任意的XGR,都有/(%—2)=/(2+力,

/(x+4)=/[2+(x+2)]=/[(x+2)-2]=/(x),

所以函數(shù)/(x)是一個(gè)周期函數(shù)，且7=4.

因?yàn)楫?dāng)xw[—2,0]時(shí),-1.口函數(shù)/(力是定義在R上的偶函數(shù),

若住區(qū)間(一2,6)內(nèi)廠]-.r的叮程/(、)一log“(x+2)=()恰仃4個(gè)不同的次數(shù)解.

易知當(dāng)Owl時(shí)，方程最多有1個(gè)解，故舍去；

則函數(shù)>=/(X)與>=log”(X+2)(a>1)在區(qū)間(-2,6)匕有四個(gè)不同的交點(diǎn)，

如下圖所示；

12345671

又/(一2)=〃2)=〃6)=1,則對(duì)于函數(shù)y=log”(x+2),由題意可得，當(dāng)x=6時(shí)的函

數(shù)值小于1,即log〃8<l,由此解得。>8,所以a的范圍是(8,+8).故選D.

【名師點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題非常形象直觀，易于解決這類問(wèn)題.

14.已知函數(shù)y(x)=ln(>/i17-x),若不相等的正實(shí)數(shù)a,。滿足/(a)+/S-|)=0,且

a,人恰為函數(shù)g(x)=|lnx|-k的兩個(gè)零點(diǎn)，則依

5

A.—B.In3

2

C.1D.In2

【答案】D

【解析】由/(x)=ln(\/l+x2-x),

可得/(x)+/(-x)=imJl+x?-x)+ln(Jl+(-x)~+x)=lnl=0,所以/(x)為奇函數(shù).

又/(x)=lnb/I77-x)為R上的減函數(shù)，正實(shí)數(shù)滿足f(a)+fS-|)=0,

所以a+b-|=0.因?yàn)?/恰為函數(shù)g(x)=|1nx|一出的兩個(gè)零點(diǎn)，

所以g(a)klna|一k=0,g(6)=|lnb|-&=0,

plij|lna|=|lnZ?|,即Ina=In》(舍去)，或lna=-ln〃，

故。力=1,可得a=2,b=，或b=2,a=,，故k=In2.故選D.

22

【名師點(diǎn)睛】(1)靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)解抽象函數(shù)型方程(不等式)；

(2)求函數(shù)零點(diǎn)(方程)類問(wèn)題分為兩大類：①零點(diǎn)直接解出來(lái)：方程可解；②方程不可

解：二分法估計(jì)近似值.

3Q

15.設(shè)函數(shù)/。)=｛一"若/(幻恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

2x,x..a

A.[—5/395/3]B.(―>/3,4-OO)

C.C-V3,V3]D.(-oo,V3)

【答案】C

【解析】在同一坐標(biāo)系中，畫(huà)出y=—V+3x和y=2x的函數(shù)圖象，

可知y=-丁+3%由三個(gè)零點(diǎn)-百,0,、回，y=2x只有一個(gè)零點(diǎn)0

當(dāng)a4-6時(shí)，只有y=2x一個(gè)零點(diǎn)0；

當(dāng)-6<a40時(shí)，有y=-V+3x一個(gè)零點(diǎn)一6和y=2x一個(gè)零點(diǎn)o

當(dāng)0<awG時(shí)，有y=-/+3x兩個(gè)零點(diǎn)一百和0

當(dāng)時(shí)，有y=—x3+3x三個(gè)零點(diǎn)一石,(),百

所以有兩個(gè)零點(diǎn)，〃的取值為若故選C

【名師點(diǎn)睛】在同一坐標(biāo)系中，畫(huà)出y=—/+3x和y=2x的函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象，

依次討。的取值是解題的關(guān)鍵.本題考查了作圖能力，數(shù)形結(jié)合思想和邏輯推理能力，屬于

一般題目.

16.已知函數(shù)/(%)滿足：①定義域?yàn)镽；②對(duì)任意xeR,有/(x+3)=/(x)；③當(dāng)xe［0,3］

x2,0<x<l

時(shí)，/(x)=<J3.若函數(shù)g(x)=2ln|A|,則函數(shù)y=/(x)-g(x)在［-5,5］上

——x+—,1<x<32

I22

零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

A.3B.4

C.5D.6

【答案】C

【解析】當(dāng)xe［0,3］時(shí)，根據(jù)函數(shù)/(X)的解析式，作出函數(shù)/(x)的圖象，

因?yàn)?(x+3)=/(x),所以函數(shù)的周期為3,作出函數(shù)“X),xw［—5,5］的大致圖象如圖

所示,

易知函數(shù)g(x)=gln|M為偶函數(shù)，作出g(x)的大致圖象，可知兩個(gè)函數(shù)圖象在［-5,5］上有5

個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)丁=/。)一8。)在［-5,5］上有5個(gè)零點(diǎn).故選C.

17.己知函數(shù)/(x)滿足：①定義域?yàn)镽；②對(duì)任意的xeR,有/(x+3)=/(x)；③當(dāng)

x2,0<x<l

xe［0,3］時(shí)，/(x)=<i3.若函數(shù)g(x)=-lnx,則函數(shù)

——x+—,1<x<32

22

>=/(x)-g(x)在［0,5］上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【解析】)="X)-g(x)在［0,5］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于/(X)與g(X)在［0,5］上的交點(diǎn)個(gè)

數(shù)；由〃x+3)=/(x)知/(x)是周期為3的周期函數(shù);

x2,0<x<l

又當(dāng)xw[0,3]時(shí)，/(%)=■13，

—xH—,l<x43

I22

可得/(X)與g(X)住［0,5］上的圖象如下圖所示:

由圖象可知/1(力與g(%)在［0,5］上有3個(gè)不同交點(diǎn),

即y=/(%)—g(x)在［。，5］上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè).故選C.

18.已知函數(shù)“X)是定義在R上的偶函數(shù)，滿足=—/(%),當(dāng)XG［0,1］時(shí),

/(x)=cos^x,則函數(shù)y=/(x)—|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

A.2B.3

C.4D.5

【答案】A

【解析】因?yàn)?(%+1)=—所以/(x+2)=-/(x+l)=-［一/(x)］=/(x),

所以/(x+2)=/(x),即函數(shù)/(x)是周期T=2的周期函數(shù).

因?yàn)楹瘮?shù)/(力是定義在R上的偶函數(shù)，且xe［O,l］時(shí)，/(x)=cos^x,

7T7T

所以當(dāng)xe［-l,O)時(shí),f(x)=f(-x)-cos(--x)=cos—x,

令/"(x)-國(guó)=0,則函數(shù)y=/(%)-忖的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)了=f(x)稹展。=M的圖

象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分別作出函數(shù)y=/(x)和8(司=兇的圖象，如下圖，

顯然/(H與g(x)在［T,。)上有1個(gè)交點(diǎn)，在［0』］上有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)國(guó)>1時(shí),g(x)>l,而

所以X>1或X<-1時(shí)，/(X)與g(x)無(wú)交點(diǎn).

綜上，函數(shù)y=/(x)和g(x)=W的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,

即函數(shù))=/(力一忖的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,一般的，求函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，常用

的方法：(1)直接解方程/(x)=o,求出方程的解的個(gè)數(shù)，也就是函數(shù)y=F(x)的零點(diǎn)個(gè)

數(shù)；(2)作出函數(shù)y=/(x)的圖象，其圖象與X軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)的

個(gè)數(shù)；(3)化函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題為方程g(x)=〃(x)的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，在同一平面直角坐標(biāo)

系中畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)y=/(%)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

x.

19.已知函數(shù)/(x)={,"一，g(x)=/(x)+2x+a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則4的

Inx,x>0,

取值范圍是

A.[-1,0）B.[0,+<?）

C.[-l,+oo）D.[l,+oo）

【答案】C

【解析】g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于/(x)與y=-2%-a有兩個(gè)交點(diǎn)；

在平面直角坐標(biāo)系中作出/(%)圖象如下圖：

由y=-2x平移可知當(dāng)y=-2x-a過(guò)圖中A點(diǎn)時(shí)，一。取得最大值，

又A((),l),叱取=1,.?“NT,即a的取值范圍為［―1,+8).故選C.

20.已知函數(shù)〃%)={_毒%；蕊1，設(shè)了㈤寸⑸寸㈤寸⑷,

且再<々<尤3<%4，則對(duì)于下列結(jié)論：①再々=1,②七+玉=1,③0cxi々鼻毛<1,④

%,+x2+x3+x4<0.其中正確的個(gè)數(shù)是

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【解析】函數(shù)/(x)的圖象如圖所示：

若/(百)=/(%)=/(玉)=/(乂)>且F<%2<巧<14，

則M<-1<x2<0<x3<1<x4<2.

由/（玉）=/（%）可得lOg2（一%）=T0g2（一W），

即1082（—%）+1082（—々）=1082（萬(wàn)々）=。,所以％入2=1，故①正確;

由/（演）=）（5）可得-log?。-W）=-lOg2（%-1）,

即1一%3=匕一1,所以七+%4=2,故②錯(cuò)誤;

又xlx2x3x4=x^x4=x,（2-&）e（0,1），故③正確；

1c

因?yàn)橥?lt;—1<工2<0，冗]工2=1，X3+X4=2,?:X]+尤2+工3+*4=-----FX2+2,

X2

八

-x11

vx2￡（-1，。），?-2---->2,所以???x24---<-2,

-x2x2

.??玉+々+退+.<-2+2=0,故④正確.所以正確的個(gè)數(shù)為3.故選C

【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是畫(huà)出函數(shù)圖象，通過(guò)圖象得出

%<-1<x2<0<x3<1<x4<2.

Ax+l,x<0

21.已知函數(shù)〃x)=<下列是關(guān)于函數(shù)y=/[/(%)+1]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷,

log2x,x>0

其中正確的是

A.當(dāng)攵>0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)人<0時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)女>0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)左<0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)

【答案】C

kx+1,x<0

【解析】由題意可知,/(%)=>

log2x,x>0

當(dāng)%>0時(shí)：若無(wú)<0,則/(元)+1=京+2,

Q；Ax+2>0時(shí)，有l(wèi)og2(依+2)=0,解？Jx=—；

k

12

②kx+2?0時(shí)，有k(kx+2)+1=0,解得x---7-~)

若x>0,則/(x)+1=。2*+1,

①log2X+l?0時(shí)，有左(log2x+l)+l=0,解得彳=2一8

②log2x+l>0時(shí)，有Iog2(log2x+1)=0,解得尤=1,

故當(dāng)%>0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)，C正確，

當(dāng)A<()時(shí)：若xKO,則/(x)+1=京+2?2,有l(wèi)og2("+2)=0,解得彳=一1,

因?yàn)閤=-J>0,所以不滿足x<0,舍去；

k

若尤>0,則/(x)+I=log2%+1,

①log2X+l?0時(shí)，有q1Og2X+l)+1?1,無(wú)解;

②log2X+l>0時(shí)，有Iog2(log2x+1)=0,解得x=l,

故當(dāng)攵<0時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)，。錯(cuò)誤故選c

【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的求解，考查學(xué)生對(duì)分段函數(shù)的理解，能否明確每一個(gè)區(qū)間

所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，考查分類討論思想，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

—2.x-x?,x40

22.已知函數(shù)/(x)=<，若a<b<c<d，且.〃a)=/R)=/(c)=/(d)，

|lgx|,x>0

則a+Z?+c+2d的取值范圍是

【答案】B

【解析】由/(%)解析式可得/(x)圖象如下圖所示:

設(shè)/(a)=/(/?)=/((?)=/(△)=%,由圖象可知0<女<2,

，一2<a<-1<b<0<c<1<d<10,

又a,/?關(guān)于x=-1對(duì)稱，:.a+b=—2i

由|lgd=|lgd|得一lgc=lgd,即4=1,a+/7+c+2d=-2H----F2d>

d

?.?y=2x+4在(1,10)上單調(diào)遞增，.?.2d+[e

xd

+1,國(guó)

I10故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的相關(guān)知識(shí)，解題關(guān)鍵是能夠利用數(shù)形結(jié)合的方式確定

a,Ac,d所處的范圍及對(duì)稱關(guān)系，由此化簡(jiǎn)所求式，得到一個(gè)關(guān)于某一變量的函數(shù)的形式，

利用函數(shù)值域的求解方法求得結(jié)果.

23.已知函數(shù)/(%)=卜2+〃詠%>0).當(dāng)ae(l,4)時(shí).關(guān)于x的方程-a|x-1]=0恰

有兩個(gè)不同的實(shí)根，則〃?的取值范圍是

A.(0,2]B.(1,3]

C.(0,3]D.(1,4]

【答案】C

【解析】當(dāng)x=l時(shí)，〃X)=W+1]>1,所以x=l不是方程〃x)-a|x-l|=0的實(shí)根；

當(dāng)xwl時(shí)，由=0,得a=(x-l)+——-+m+2.

方程/(x)-a|x-l|=0恰有兩個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于直線y=a與函數(shù)

y=(%-1)+如：+m+2的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

X—1

因?yàn)闄C(jī)>0，所以加+2=(5加+1)2+1>2/加+1,

1YI+1

則函數(shù)y=(》-1)+-+m+2的大致圖象如圖所示:

X—1

【名師點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

（I）直接求零點(diǎn)：令./u）=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間/，力上是連續(xù)不斷的曲線，且,曲）貝b）

<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

24.已知函數(shù)/。）=%2+6*-3]<0）與8（X）=/+1110+4）的圖象上存在關(guān)于丁軸對(duì)稱

的點(diǎn)，則。的取值范圍

【答案】B

【解析】fix)與g(x)的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn),

等價(jià)為3=g(x)在,>。時(shí)，有解即可，則心+0,

即e-x--=ln(x+a),在(0,+oo)上有解即可,

2

當(dāng)x=0時(shí)，y=ex--=1--=—,

222

當(dāng)。<0,將府的圖象向右平移，此時(shí)歷(x+〃)一定與丁="'-3有交點(diǎn)，滿足條件,

當(dāng)。>0時(shí)，則人(0)=癡<；，得0<〃」=及，

綜上a<&，

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是(—00,故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，結(jié)合條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化為/(-X)=g(x)在％>0時(shí),

有解即可，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，考查了數(shù)形結(jié)合的

思想以及分類討論的思想.

25.已知函數(shù)/(x)=min|x|x-2a|,x2-6ar+8a2+41(?>1),其中

/.\p,p<q,.5

min(p,g)=<,若方程/(月=不恰好有3個(gè)不同解罰，x2,&(內(nèi)<z<工3)，

q,P>q2

則王+馬與七的大小關(guān)系為

A.不能確定B.xt+x2=x3

C.xt+x2<x3D.%!+x2>x3

【答案】A

*2

I-]x—2ax.x>2a

【解析】x\x-2a\=<,a>l.

[一廠+lax,x<2a

當(dāng)時(shí)，一x?+2（ix—（龍？-6ux+8Q“+4）——2（尤一2cl）—4<0,

即-x2+2ax<x2-6奴+8。2+4，

當(dāng)x>2a時(shí)，x?-2cvc-（%?—（）cix+8/+4）—4aY-8。~-4,

若4辦一8。2-4>0，則1>2。+‘，f-2aY>f一66+8/+4；

a

若4以一8。2-4?0，則XW2Q+'，x2-2ax<x2-6ax+Sa2+4?

a

-x2+2ax,x<2a

乂2Q+L〉2Q,所以/（犬）=<x2-lax,2a<x<2a+—

aa

x2-6cix+8Q~+4,尤>2。H—

a

又/（“）="（極大值），/（2a）=0（極小值），/（2a+g[=2+*（極大值）,

f（3a）-4-a2（極小值）.

要使/（x）=2恰好有3個(gè)不同解，結(jié)合圖象得

①當(dāng)5不存在這樣的示數(shù)

”3。）>]

“)<|

?2<-

2

〃3。)<|

②當(dāng)《,QpM-a2</時(shí)，解得<a<V2，

f[la^55

>—2>—

Ia，2V2

此時(shí)2a<x<2a+-<x<3a<x,因?yàn)椤┡c七關(guān)于x=3〃對(duì)稱,

]a23

所以西+%2=2。，而七＞3。，所以玉+々＜%3.故選A.

【名師點(diǎn)睛】研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）圖

象法（直接畫(huà)出函數(shù)/（幻的圖象分析得解）；（3）方程+圖象法（令函數(shù)f（x）=O得到

g（x）=/z（x）分析函數(shù)g（x）,/z（x）的圖象即得解）.數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)的一種重要數(shù)學(xué)思

想，要注意靈活運(yùn)用，提高解題效率.

二、多選題

x2+2x,x＜0八/、

26.己知函數(shù)/(x)=<履+2；〉0,若J（x）的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)左

的可能取值有

A.2-2V2B.3-273

C.-5D.-1

【答案】ACD

【解析】易知J=/（%）左邊的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象的解析式為

y=-x2+2x(x>0).由題意，曲線y=-/+2Mx>0)與直線y=Ax+2(x>0)存在交

點(diǎn)，設(shè)過(guò)定點(diǎn)（0,2）的直線y=k1x+2與曲線y=/（x）=—x2+2Mx>0）切于點(diǎn)

//、\+2

A("㈤)，則仆+2ix+2?解得西=0或玉=-V^，所以￡=一2&+2.

由圖可知，貝廉《2-20.故選ACD.

27.已知函數(shù)〃耳=[M￥">°,若存在a</j<c,使得〃a)=〃b)=/(c)成立,

-%+l,x<0

則

A.hc=\B.b+c=\

C.a+b+c>lD.abc<-\

【答案】AC

【解析】如圖:

可知一IvaKO,—1,l<cWe,則/?+c>c>l,

且一lnb=lnc,所以ln5+lnc=lntc=0,即。c=l.

因?yàn)閎c=l,所以。Z?c=ae(-LO],a+b+c=a+-+c>a+2>l.故選AC.

c

28.若函數(shù))討x)是偶函數(shù)，定義域?yàn)镽,且該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)有3個(gè)，則下列說(shuō)法

正確的是

A.3個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為0

B.3個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和不是定值，與函數(shù)解析式有關(guān)

c.,AO)=O

D..K0)的值與函數(shù)解析式有關(guān)

【答案】AC

【解析】由于偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，若(沖，0)是函數(shù)與無(wú)軸的交點(diǎn)，

則(-xo,0)一定也是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，當(dāng)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)一定是原點(diǎn)，

從而AC正確.故選AC.

29.高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一.高

斯被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱.有這樣一個(gè)函數(shù)就是以他

名字命名的：設(shè)xeR,用[x]表示不超過(guò)》的最大整數(shù)，則f(x)=[x]稱為高斯函數(shù)，又

稱為取整函數(shù).如：/(2.3)=2,/(-3.3)=-4.則下列正確的是

A.函數(shù)/(幻是火上單調(diào)遞增函數(shù)

B.對(duì)于任意實(shí)數(shù)。，6,都有/(a)+/(0)</(a+。)

<341「43、

C.函數(shù)g(x)=/(x)-44X(XH0)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

D.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,?則/(x)=/(y)是卜一引<1成立的充分不必要條件

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，〃1)=〃1.2)=1,故4錯(cuò)誤：

對(duì)于8選項(xiàng)，令a=[a]+r,/?=回+式「,夕分別為a,6的小數(shù)部分)，

可知0,,r=a-[a]<l,0?q-b-[b]<\,[r+^]>0,

則/(a+b)=[[a]+回+r+q[=[a]+[b]+r+q]..[a]+[A]="a)+f(6)，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C選項(xiàng)，可知當(dāng)々4x<Z+l,AwZ時(shí)，則/(x)=[x]=攵，

二函數(shù)“X)的圖象和直線y="有3個(gè)交點(diǎn)，且(0,0)為/(X)和直線丁=口必過(guò)的點(diǎn)，

由圖可知,實(shí)數(shù)”的取值范圍是償故c正確；

(45J32)

對(duì)于。選項(xiàng)，當(dāng)f(x)=/(y)時(shí)，即r,q分別為的小數(shù)部分，可得04r<l,0<q<l,

|x-y|=3+T)]-q|=|一同<|1-。|=1；

當(dāng)k一乂<1時(shí)，取X=-0.9,y=0.09,可得[x]=-1，[H=0,此時(shí)不滿足=/()，),

故/(%)=/(>)是[%-乂<1成立的充分不必要條件,故。正確；故選BCD

【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)新定義問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是理解題意，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)問(wèn)題，利

用數(shù)形結(jié)合思想；

112Tx<l,,

30.已知/(x)=F1,則關(guān)于x的方程"(x)F—/(x)+201=0,下列正

Inx,x>1,

確的是

A.存在實(shí)數(shù)使得方程恰有1個(gè)不同的實(shí)數(shù)解

B.存在實(shí)數(shù)Z,使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解

C.存在實(shí)數(shù)Z,使得方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解

D.存在實(shí)數(shù)女，使得方程恰有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解

【答案】ACD

【解析】令〃x)=/NO,則關(guān)于龍的方程"(x)]2—/(x)+2左一1=0,

可得產(chǎn)一1+2左一1=0,

當(dāng)女=*時(shí)，△=1一4(2左一1)=0,此時(shí)方程僅有一個(gè)根f=!；

82

當(dāng)&<*時(shí)，A=l—4(2%-1)>0,此時(shí)方程有兩個(gè)根小馬，

且4+，2=1，此時(shí)至少有一個(gè)正根；

當(dāng)我>|時(shí)，A=l—4(2攵-1)<0,此時(shí)方程無(wú)根；

當(dāng)人<：時(shí)，此時(shí)方程有兩個(gè)根艮4+?2=1，此時(shí)至少有一個(gè)正根，

O

當(dāng)彳?0,1)、f2G(0,1)，且/產(chǎn)G時(shí)，/(x)=r，有6個(gè)不同的交點(diǎn),D正確;

當(dāng)方程有兩個(gè)根小/2,一個(gè)大于1，另一個(gè)小于0，

此時(shí)/(x)=r，僅有1個(gè)交點(diǎn)，故A正確：

當(dāng)方程有兩個(gè)根工,三，一個(gè)等于1，另一個(gè)等于0，/(力=上有3個(gè)不同的交點(diǎn),

當(dāng)女>■!時(shí)，八=1一4(2左一1)<0,此時(shí)方程無(wú)根.故選ACD

O

【名師點(diǎn)睛】本題考查了根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵是利用換元法將方程化為

『一/+24_1=0,根據(jù)方程根的分布求解，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想.

31.已知二次函數(shù)/(x)=—/+法+c("ceR),若關(guān)于x的方程f(x)=0有兩個(gè)不同實(shí)

數(shù)解，且關(guān)于x的方程/(/(*))=0恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則

>0

2>B.々助>。

C./0)>0D./(/(。))=0

【答案】AB

【解析】關(guān)于x的方程/(x)=0有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則A=〃+4C>0,也即>0,

A正確;

設(shè)f(x)=0的兩個(gè)解是％目且％于是共有兩個(gè)不同的解,

則a，而I岡幀S,所以?，B正確;

而岡無(wú)法進(jìn)一步判斷向|和|的正負(fù),CD錯(cuò)誤.故選AB.

【名師點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.利用二次

函數(shù)圖象可得函數(shù)的對(duì)稱軸，單調(diào)區(qū)間，頂點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)，不等式閾.|的

解.

32.若方程囚有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)加的值不可

能為

A.2B.-2

C.4D.-4

【答案】BCD

因?yàn)榉匠蘾岡|有且僅有］個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以|岡|，即|㈤解得耳I或耳二

當(dāng)耳二I時(shí)，函數(shù)|岡|，易知函數(shù)“X）是連續(xù)函數(shù)，

又|南―I，gI,所以函數(shù)f（x）在百~|上也必有零點(diǎn),

此時(shí)/（X）不止有一個(gè)零點(diǎn)，故耳二|不符合題意；

當(dāng)耳二I時(shí)，I岡~|，此時(shí)/（X）只有X=—l這一個(gè)零點(diǎn)，

故國(guó)二I符合題意?

因此實(shí)數(shù)〃?的值不可能為臼I故選BCD

【名師點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)/（x）,求出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，利用對(duì)稱的

性質(zhì)得出區(qū)］.

33.已知關(guān)于x的方程|岡則下列說(shuō)法正確的是

A.當(dāng)［岡］時(shí),方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和為0

B.方程無(wú)實(shí)數(shù)根的一個(gè)必要條件是耳|

C.方程有兩個(gè)正根的充要條件是|岡|

D.方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件是五二

【答案】BCD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,方程為|同方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,如果方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則|岡一

所以|W可I是|岡的必要條件,所以選項(xiàng)B正確；

可

對(duì)于選項(xiàng)C,如果方程有兩個(gè)正根，則

所以|司I，所以方程有兩個(gè)正根的充要條件是I岡I，所以選項(xiàng)C正確；

區(qū)----

對(duì)于選項(xiàng)D,如果方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則1所以I岡I，

所以方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件是「反|，所以選項(xiàng)D正確.故選BCD

【名師點(diǎn)睛】判斷充分條件必要條件，常用的方法有：(1)定義法；(2)集合法；(3)轉(zhuǎn)化

法.要根據(jù)已知條件，靈活選擇方法判斷得解.

34.己知函數(shù)y=/(x)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí)，|臼則下列

說(shuō)法正確的是

A.函數(shù)y=/(x)有2個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)x<0時(shí)，國(guó)

C.不等式I的解集是(0,1)

D.|岡都有同

【