第三章 組合邏輯電路的分析與設(shè)計(jì)

第三章組合邏輯電路的分析與設(shè)計(jì)第1頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月一、邏輯代數(shù)的基本公式

3.1邏輯代數(shù)吸收律反演律分配律結(jié)合律交換律重疊律互補(bǔ)律公式10—1律對(duì)合律名稱公式2基本公式第2頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月公式的證明方法：（2）用真值表證明，即檢驗(yàn)等式兩邊函數(shù)的真值表是否一致。（1）用簡單的公式證明略為復(fù)雜的公式。例3.1.1證明吸收律證：

AB00011011例3.1.2用真值表證明反演律11101110第3頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月二、邏輯代數(shù)的基本規(guī)則對(duì)偶規(guī)則的基本內(nèi)容是：如果兩個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式相等，那么它們的對(duì)偶式也一定相等?；竟街械墓絣和公式2就互為對(duì)偶式。1.代入規(guī)則

對(duì)于任何一個(gè)邏輯等式，以某個(gè)邏輯變量或邏輯函數(shù)同時(shí)取代等式兩端任何一個(gè)邏輯變量后，等式依然成立。

例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，則新的等式仍成立：2.對(duì)偶規(guī)則

將一個(gè)邏輯函數(shù)L進(jìn)行下列變換：

·→＋，＋→·

0→1，1→0所得新函數(shù)表達(dá)式叫做L的對(duì)偶式，用表示。吸收律反演律分配律結(jié)合律交換律重疊律互補(bǔ)律公式10—1律對(duì)合律名稱公式2第4頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.反演規(guī)則

在應(yīng)用反演規(guī)則求反函數(shù)時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：（1）保持運(yùn)算的優(yōu)先順序不變，必要時(shí)加括號(hào)表明，如例3.1.3。（2）變換中，幾個(gè)變量（一個(gè)以上）的公共非號(hào)保持不變。如例3.1.4。利用反演規(guī)則，可以非常方便地求得一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)

解：解：將一個(gè)邏輯函數(shù)L進(jìn)行下列變換：

·→＋，＋→·；

0→1，1→0；

原變量→反變量，反變量→原變量。所得新函數(shù)表達(dá)式叫做L的反函數(shù)，用表示。例3.1.3求函數(shù)的反函數(shù)：例3.1.4求函數(shù)的反函數(shù)：第5頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月三、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法1．邏輯函數(shù)式的常見形式

一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式不是唯一的，可以有多種形式，并且能互相轉(zhuǎn)換。例如：與——或表達(dá)式或——與表達(dá)式與非——與非表達(dá)式或非——或非表達(dá)式與——或——非表達(dá)式其中，與—或表達(dá)式是邏輯函數(shù)的最基本表達(dá)形式。第6頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2．邏輯函數(shù)的最簡“與—或表達(dá)式”的標(biāo)準(zhǔn)

3．用代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)（1）并項(xiàng)法：運(yùn)用公式將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，消去一個(gè)變量。例：（1）與項(xiàng)最少，即表達(dá)式中“+”號(hào)最少。（2）每個(gè)與項(xiàng)中的變量數(shù)最少，即表達(dá)式中“·

”號(hào)最少。第7頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）配項(xiàng)法：

（2）吸收法：（3）消去法：運(yùn)用吸收律A+AB=A，消去多余的與項(xiàng)。例：例：運(yùn)用吸收律消去多余因子。先通過乘以或加上，增加必要的乘積項(xiàng)，再用以上方法化簡。例：第8頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

在化簡邏輯函數(shù)時(shí)，要靈活運(yùn)用上述方法，才能將邏輯函數(shù)化為最簡。例3.1.6化簡邏輯函數(shù)：

解：（利用）（利用A+AB=A）（利用

）第9頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.1.7化簡邏輯函數(shù)：

解：（利用反演律）

（利用）

（利用A+AB=A）（配項(xiàng)法）

（利用A+AB=A）（利用）第10頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月由上例可知，有些邏輯函數(shù)的化簡結(jié)果不是唯一的。解法1：例3.1.8

化簡邏輯函數(shù)：

（增加多余項(xiàng)）（消去一個(gè)多余項(xiàng)）（再消去一個(gè)多余項(xiàng)）解法2：（增加多余項(xiàng)）（消去一個(gè)多余項(xiàng)）（再消去一個(gè)多余項(xiàng)）代數(shù)化簡法的優(yōu)點(diǎn)：不受變量數(shù)目的限制。

缺點(diǎn)：沒有固定的步驟可循；需要熟練運(yùn)用各種公式和定理；需要一定的技巧和經(jīng)驗(yàn)；不易判定化簡結(jié)果是否最簡。第11頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.2

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

一、

最小項(xiàng)的定義與性質(zhì)

最小項(xiàng)——n個(gè)變量的邏輯函數(shù)中，包含全部變量的乘積項(xiàng)稱為最小項(xiàng)。n變量邏輯函數(shù)的全部最小項(xiàng)共有2n個(gè)。

ABC000001010011100101110111變量取值最小項(xiàng)m0m1m2m3m4m5m6m7編號(hào)

三變量函數(shù)的最小項(xiàng)第12頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月二、邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式

解：

=m7+m6+m3+m1解：

=m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7）任何一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式都可以轉(zhuǎn)換為一組最小項(xiàng)之和，稱為最小項(xiàng)表達(dá)式。

例1：將函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)表達(dá)式。

例2：

將函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)表達(dá)式。第13頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月三、卡諾圖

2.卡諾圖

一個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)，然后將這些最小項(xiàng)按照相鄰性排列起來。即用小方格幾何位置上的相鄰性來表示最小項(xiàng)邏輯上的相鄰性。1．相鄰最小項(xiàng)

如果兩個(gè)最小項(xiàng)中只有一個(gè)變量互為反變量，其余變量均相同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)為邏輯相鄰，簡稱相鄰項(xiàng)。如果兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)出現(xiàn)在同一個(gè)邏輯函數(shù)中，可以合并為一項(xiàng)，同時(shí)消去互為反變量的那個(gè)量。如最小項(xiàng)ABC和就是相鄰最小項(xiàng)。如：第14頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3．卡諾圖的結(jié)構(gòu)（2）三變量卡諾圖

（1）二變量卡諾圖

A

Bm0m1m3m2

AB

00

01

11

10m0m1m3m2m4m5m7m6

A

B

Cm0m1m3m2m4m5m7m6

BC

00

01

11

10

A

01第15頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）四變量卡諾圖卡諾圖具有很強(qiáng)的相鄰性：（1）直觀相鄰性，只要小方格在幾何位置上相鄰（不管上下左右），它代表的最小項(xiàng)在邏輯上一定是相鄰的。（2）對(duì)邊相鄰性，即與中心軸對(duì)稱的左右兩邊和上下兩邊的小方格也具有相鄰性。m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m10

C

DAB

CD

00

01

11

10

AB

00

01

11

10第16頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

四、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

1．從真值表到卡諾圖例3.2.3

已知某邏輯函數(shù)的真值表，用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。解：

該函數(shù)為三變量，先畫出三變量卡諾圖，然后根據(jù)真值表將8個(gè)最小項(xiàng)L的取值0或者1填入卡諾圖中對(duì)應(yīng)的8個(gè)小方格中即可。000001010011100101110111ABC00010111L真值表ABC0000111110

A

B

C11110000第17頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2．從邏輯表達(dá)式到卡諾圖（2）如不是最小項(xiàng)表達(dá)式，應(yīng)先將其先化成最小項(xiàng)表達(dá)式，再填入卡諾圖。也可由“與——或”表達(dá)式直接填入。（1）如果表達(dá)式為最小項(xiàng)表達(dá)式，則可直接填入卡諾圖。解：寫成簡化形式：解：直接填入：例3.2.4

用卡諾圖表示邏輯函數(shù):然后填入卡諾圖：例3.2.5

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：

C

D

A

B

GF

BC

00

01

11

10

A

01111100001111110000000000第18頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

五、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

1．卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的原理:（1）2個(gè)相鄰的最小項(xiàng)可以合并，消去1個(gè)取值不同的變量。（2）4個(gè)相鄰的最小項(xiàng)可以合并，消去2個(gè)取值不同的變量。

C

A

B

D1111111

C

A

B

D11111111第19頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）8個(gè)相鄰的最小項(xiàng)可以合并，消去3個(gè)取值不同的變量?？傊?n個(gè)相鄰的最小項(xiàng)可以合并，消去n個(gè)取值不同的變量。

C

A

B

D111111111111第20頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2．用卡諾圖合并最小項(xiàng)的原則（畫圈的原則）

（1）盡量畫大圈，但每個(gè)圈內(nèi)只能含有2n（n=0,1,2,3……）個(gè)相鄰項(xiàng)。要特別注意對(duì)邊相鄰性和四角相鄰性。（2）圈的個(gè)數(shù)盡量少。（3）卡諾圖中所有取值為1的方格均要被圈過，即不能漏下取值為1的最小項(xiàng)。（4）在新畫的包圍圈中至少要含有1個(gè)末被圈過的1方格，否則該包圍圈是多余的。

3．用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟：（1）畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。（2）合并相鄰的最小項(xiàng)，即根據(jù)前述原則畫圈。（3）寫出化簡后的表達(dá)式。每一個(gè)圈寫一個(gè)最簡與項(xiàng)，規(guī)則是，取值為l的變量用原變量表示，取值為0的變量用反變量表示，將這些變量相與。然后將所有與項(xiàng)進(jìn)行邏輯加，即得最簡與—或表達(dá)式。第21頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.2.6化簡邏輯函數(shù)：

L（A,B,C,D）=∑m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）解：（1）由表達(dá)式畫出卡諾圖。（2）畫包圍圈，

合并最小項(xiàng)，

得簡化的

與—或表達(dá)式:

C

A

B

D1111111111100000第22頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月解：（1）由表達(dá)式畫出卡諾圖。注意：圖中的綠色圈

是多余的，應(yīng)去掉。例3.2.7

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)：（2）畫包圍圈合并最小項(xiàng)，得簡化的與—或表達(dá)式:

C

A

B

D1111111100000000第23頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.2.8已知某邏輯函數(shù)的真值表，用卡諾圖化簡該函數(shù)。（2）畫包圍圈合并最小項(xiàng)。有兩種畫圈的方法：解：（1）由真值表畫出卡諾圖。

由此可見，一個(gè)邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，卡諾圖也是唯一的，但化簡結(jié)果有時(shí)不是唯一的。

（a）：寫出表達(dá)式：

（b）：寫出表達(dá)式：000001010011100101110111ABC01111110L真值表10110111

A

B

C

L10110111

A

B

C

L第24頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月4．卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的另一種方法——圈0法例3.2.9

已知邏輯函數(shù)的卡諾圖如圖示，分別用“圈1法”和“圈0法”寫出其最簡與—或式。（2）用圈0法，得：

解：（1）用圈1法，得：對(duì)L取非得：

C

A

B

D1101111011111111

C

A

B

D1101111011111111第25頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月六、具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡

1．無關(guān)項(xiàng)——在有些邏輯函數(shù)中，輸入變量的某些取值組合不會(huì)出現(xiàn)，或者一旦出現(xiàn)，邏輯值可以是任意的。這樣的取值組合所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為無關(guān)項(xiàng)、任意項(xiàng)或約束項(xiàng)。

例3.2.10：在十字路口有紅綠黃三色交通信號(hào)燈，規(guī)定紅燈亮停，綠燈亮行，黃燈亮等一等，試分析車行與三色信號(hào)燈之間邏輯關(guān)系。解：設(shè)紅、綠、黃燈分別用A、B、C表示，且燈亮為1，燈滅為0。車用L表示，車行L=1，車停L=0。列出該函數(shù)的真值。顯而易見，在這個(gè)函數(shù)中，有5個(gè)最小項(xiàng)為無關(guān)項(xiàng)。帶有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式為：L=∑m（）+∑d（）如本例函數(shù)可寫成L=∑m（2）+∑d（0,3,5,6,7）000001010011100101110111紅燈A綠燈B黃燈C×01×0×××

車L

真值表第26頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2．具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡

化簡具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)時(shí)，要充分利用無關(guān)項(xiàng)可以當(dāng)0也可以當(dāng)1的特點(diǎn)，盡量擴(kuò)大卡諾圈，使邏輯函數(shù)更簡。注意:在考慮無關(guān)項(xiàng)時(shí)，哪些無關(guān)項(xiàng)當(dāng)作1，哪些當(dāng)作0，要以盡量擴(kuò)大卡諾圈、減少圈的個(gè)數(shù)，使邏輯函數(shù)更簡為原則?？紤]無關(guān)項(xiàng)時(shí)，表達(dá)式為:

例3.2.10：×××××010ABC0000111110

A

B

C×××××010ABC0000111110

A

B

C不考慮無關(guān)項(xiàng)時(shí)，表達(dá)式為：第27頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.2.11：某邏輯函數(shù)輸入是8421BCD碼，其邏輯表達(dá)式為：

L（A,B,C,D）=∑m（1,4,5,6,7,9）+∑d（10,11,12,13,14,15）

用卡諾圖法化簡該邏輯函數(shù)。解：（1）畫出4變量卡諾圖。將1、4、5、6、7、9號(hào)小方格填入1；將10、11、12、13、14、15號(hào)小方格填入×。如果不考慮無關(guān)項(xiàng)，寫出表達(dá)式為：

C

A

B

D××××××1111110000

C

A

B

D××××××1111110000（3）寫出邏輯函數(shù)的最簡與—或表達(dá)式:（2）合并最小項(xiàng)。注意，1方格不能漏?！练礁窀鶕?jù)需要，可以圈入，也可以放棄。第28頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3 組合邏輯電路的分析方法一.組合邏輯電路的特點(diǎn)電路任一時(shí)刻的輸出狀態(tài)只決定于該時(shí)刻各輸入狀態(tài)的組合，而與電路的原狀態(tài)無關(guān)。

組合電路就是由門電路組合而成，電路中沒有記憶單元，沒有反饋通路。每一個(gè)輸出變量是全部或部分輸入變量的函數(shù)：L1=f1（A1、A2、…、Ai）L2=f2（A1、A2、…、Ai）

……Lj=fj（A1、A2、…、Ai）

第29頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月二、組合邏輯電路的分析方法分析過程一般包含以下幾個(gè)步驟：例3.3.1：組合電路如圖所示，分析該電路的邏輯功能。第30頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月解：（1）由邏輯圖逐級(jí)寫出表達(dá)式（借助中間變量P）。（2）化簡與變換：（3）由表達(dá)式列出真值表。（4）分析邏輯功能：當(dāng)A、B、C三個(gè)變量不一致時(shí)，輸出為“1”，所以這個(gè)電路稱為“不一致電路”。000001010011100101110111ABC01111110L真值表第31頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4組合邏輯電路的設(shè)計(jì)方法

設(shè)計(jì)過程的基本步驟：例3.4.1：設(shè)計(jì)一個(gè)三人表決電路，結(jié)果按“少數(shù)服從多數(shù)”的原則決定。解：（1）列真值表：（3）用卡諾圖化簡。000001010011100101110111ABC00010111

L三人表決電路真值表ABC0000111110

A

B

C11110000第32頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月得最簡與—或表達(dá)式：（4）畫出邏輯圖:（5）如果，要求用與非門實(shí)現(xiàn)該邏輯電路，就應(yīng)將表達(dá)式轉(zhuǎn)換成與非—與非表達(dá)式：

畫出邏輯圖。

第33頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.4.2：設(shè)計(jì)一個(gè)電話機(jī)信號(hào)控制電路。電路有I0（火警）、I1（盜警）和I2（日常業(yè)務(wù)）三種輸入信號(hào)，通過排隊(duì)電路分別從L0、L1、L2輸出，在同一時(shí)間只能有一個(gè)信號(hào)通過。如果同時(shí)有兩個(gè)以上信號(hào)出現(xiàn)時(shí)，應(yīng)首先接通火警信號(hào)，其次為盜警信號(hào)，最后是日常業(yè)務(wù)信號(hào)。試按照上述輕重緩急設(shè)計(jì)該信號(hào)控制電路。要求用集成門電路7400（每片含4個(gè)2輸入端與非門）實(shí)現(xiàn)解：（1）列真值表：（2）由真值表寫出各輸出的邏輯表達(dá)式：輸出輸入0001000100010001××01×001L0L1L2I0I1I2真值表第34頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）根據(jù)要求，將上式轉(zhuǎn)換為與非表達(dá)式：

（4）畫出邏輯圖：第35頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.4.3：設(shè)計(jì)一個(gè)將余3碼變換成8421碼的組合邏輯電路。解：（1）根據(jù)題目要求，列出真值表：真值表輸出（8421碼）輸出（余3碼）00000001001000110100010101100111100010010011010001010110011110001001101010111100L3L2L1L0A3A2A1A0第36頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）用卡諾圖進(jìn)行化簡。（注意利用無關(guān)項(xiàng)）A1A3A2A0×0100×0000××01××A1A3A2A0×0001×0011××10××第37頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月A1A3A2A0×1010×0001××10××A1A3A2A0×0110×0110××10××第38頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月邏輯表達(dá)式：

（3）由邏輯表達(dá)式畫出邏輯圖。第39頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.5組合邏輯電路中的競(jìng)爭冒險(xiǎn)

競(jìng)爭冒險(xiǎn)——由于延遲時(shí)間的存在，當(dāng)一個(gè)輸入信號(hào)經(jīng)過多條路徑傳送后又重新會(huì)合到某個(gè)門上，由于不同路徑上門的級(jí)數(shù)不同，導(dǎo)致到達(dá)會(huì)合點(diǎn)的時(shí)間有先有后，從而產(chǎn)生瞬間的錯(cuò)誤輸出。由于G1門的延遲時(shí)間tpd2輸出端出現(xiàn)了一個(gè)正向窄脈沖。一、產(chǎn)生競(jìng)爭冒險(xiǎn)的原因1.產(chǎn)生“1冒險(xiǎn)”例：電路如圖，已知輸入波形，畫輸出波形。解：第40頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2.產(chǎn)生“0冒險(xiǎn)”

二、冒險(xiǎn)現(xiàn)象的識(shí)別

可采用代數(shù)法來判斷一個(gè)組合電路是否存在冒險(xiǎn)：

寫出組合邏輯電路的邏輯表達(dá)式，當(dāng)某些邏輯變量取特定值（0或1）時(shí)，如果表達(dá)式能轉(zhuǎn)換為：

則存在1冒險(xiǎn)；則存在0冒險(xiǎn)。

第41頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.5.1:判斷圖示電路是否存在冒險(xiǎn)，如有，指出冒險(xiǎn)類型，畫出輸出波形。解：寫出邏輯表達(dá)式：若輸入變量A＝B＝l，則有：因此，該電路存在0冒險(xiǎn)。畫出A＝B＝l時(shí)L的波形。第42頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月（