2023-2023近三年高考理科立體幾何高考題匯編

2024-2024近三年高考理科立體幾何高考題匯編2024-2024高考立體幾何題匯編

2024(三)16．a(chǎn)，b為空間中兩條相互垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC

為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：

①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成30°角；②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最小值為60°；其中正確的是________。（填寫全部正確結(jié)論的編號(hào)）

2024(三)19．（12分）如圖，四周體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）過AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四周體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值．2024(二)4．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為A．90πB．63πC．42πD．36π

2024(二)10．已知直三棱柱111ABCABC-中，120ABC∠=?，2AB=，

11BCCC==，則異面直線1AB與1BC所成角的余弦值為

A．

32

B．

155

C．

105

D．

33

2024(二)19．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且

垂直于底

面ABCD，o1

,90,2

ABBCADBADABC==

∠=∠=E是PD的中點(diǎn)．（1）證明：直線CE∥平面PAB；

（2）點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為o

45，求二面角MABD--的余弦值．

2024(一)7．某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為

2024(一)18．（12分）

如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，且90BAPCDP∠=∠=o

.

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD∠=o

，求二面角A?PB?C的余弦值.2024(天津)（17）（本小題滿分13分）

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，90BAC∠=?.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2.

（Ⅰ）求證：MN∥平面BDE；（Ⅰ）求二面角C-EM-N的正弦值；

（Ⅰ）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為21

，求線段AH的2024(二)（19）（本小題滿分12分）

如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB=5，AC=6，點(diǎn)E,F分別在AD,CD上，AE=CF=

，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△

的位置，.

（I）證明：平面ABCD；（II）求二面角

的正弦值.

2024（北京）6.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）

A.B.C.D.

2024（北京）17.（本小題14分）

如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.

（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；

2024（二）（6）一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為1

6

1

3

1

2

1

PABCD

-PAD⊥ABCDPAPD

⊥PAPD

=ABAD

⊥

1

AB=2

AD=5

ACCD

==

PD⊥PABPBPCD

D

D1C1

A1E

F

C

B1

（A）（B）（C）（D）

2024（二）（19．（本小題滿分12分）

如圖，長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形。

（1）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說明畫法和理由）；（2）求直線AF與平面α所成的角的正弦值。

2024（一）（18）如圖，，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。

（1）證明：平面AEC⊥平面AFC（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值

2024（北京）5.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是

A

．2B

．4C

．2+D．52024（北京）17.（本小題14分）

如圖，在四棱錐AEFCB-中，AEF△為等邊三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EFBC∥，4BC=，2EFa=，

60EBCFCB∠=∠=?，O為EF的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：AOBE⊥；(Ⅰ)求二面角FAEB--的余弦值；(Ⅰ)若BE⊥平面AOC，求a的值．

2024（陜西）5.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．B．C．D．

11俯視圖

側(cè)(左)視圖

2

1

OF

E

C

B

A

3π4π24π+34π+

2024（陜西）18．（本小題滿分12分）如圖，在直角梯形中，，，，

，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．將沿折起到的位置，如圖．

（I）證明：平面；（II）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．答案：2024(三)16.②③

2024(三)19.解：（1）由題設(shè)可得，,ABDCBDADDC???=從而又ACD?是直角三角形，所以0=90ACD∠取AC的中點(diǎn)O，連接DO,BO,則DO⊥AC,DO=AO又由于ABCBOAC?⊥是正三角形，故所以DOBDACB∠--為二面角的平面角

2222222220,RtAOBBOAOABABBDBODOBOAOABBDACDABC

?+==+=+==∠⊥在中，又所以

，故DOB=90所以平面平面

（2）

由題設(shè)及（1）知，OA,OB,OD兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OAuuur

的方向?yàn)閤軸正方向，OA

uuur

為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間

1CDABD//CABD2

π

∠BA=

C1AB=B=

D2A=

EDAOCABE?ABEBE1?ABE2CD⊥1CAO1ABE⊥CDBE1CAB1CDA

直角坐標(biāo)系Oxyz-

，則-(1，0，0),(0(1，0，0),(0，0，1)ABCD

由題設(shè)知，四周體ABCE的體積為四周體ABCD的體積的12，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的1

2，即E為DB

的中點(diǎn)，得E10，2??????.故

()()11，0，1，2，0，0，1，2ADACAE??

=-=-=-????uuuruuuruuur設(shè)()=x,y,zn是平面DAE

的法向量，則00，即1

00，2xzADxyzAE-+=??=??

??-++==????uuurguuurgnn

可取

113=,??

????n設(shè)

m

是平面AEC的法向量，則

0，0，ACAE?=??=??uuurguuurgmm

同理可得

(

01,=-m

則

7

cos,=

=gnmnmnm所以二面角D-AE-C

的余弦值為

2024(二)4B試題分析：由題意，該幾何體是一個(gè)組合體，下半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為4的圓柱，其體積2

13436V=π??=π，上半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為6的圓柱的一半，其體積221

(36)272

V=?π??=π，故該組合體的體積12362763VVV=+=π+π=π．故選B．2024(二)10.C

2024(二)19．

2024(一)7試題分析：由題意該幾何體的直觀圖是由一個(gè)三棱錐和三棱柱構(gòu)成，如下圖，則該幾何體各面內(nèi)只有兩個(gè)相同的梯形，則這些梯形的面積之和為1

2(24)2122

?+??=，故選B.2024(一)19.

試題解析：（1）由已知90BAPCDP∠=∠=?，得AB⊥AP，CD⊥PD.

由于AB//CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD.又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.

（2）在平面PAD內(nèi)作PF

AD⊥，垂足為F，由（1）可知，AB⊥平面PAD，故ABPF⊥，可得PF⊥平面ABCD.

以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)Auuur

的方向?yàn)閤軸正方向，||ABuuur為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Fxyz-.

由（1）及已知可得(

2

A，(0,0,

2P，B，(2C-.

所以(PC=uuur

，0,0)CB=uuur

，0,PA=uuur，

(0,1,0)AB=uuur

.

設(shè)(,,)xyz=n是平面PCB的法向量，則

0,0,PCCB??=???=??uuuruuurnn

即0,0,

y?+=?=

可取(0,1,=-n.設(shè)(,,)xyz=m是平面PAB的法向量，則0,0,PAAB??=?

??=??uuuruuurmm

即0,0.

xy=?=?

可取(1,0,1)=m.

則cos,||||3

?==-

nmnmnm，所以二面角APBC--

的余弦值為3

-

.2017(天津)（17）（1）證明見解析（2

（3）85或1

2

（Ⅰ）證明：DEuuur=（0，2，0），DBuuur

=（2，0，2-）.設(shè)(,,)xyz=n，為平面BDE的法向量，

則00

DEDB??=?

??=??uuur

uuur

nn，即20220yxz=??-=?.不妨設(shè)1z=，可得(1,0,1)=n.又MNuuuur=（1，2，1-），可得0MN?=uuuurn.

所以，線段AH的長(zhǎng)為或

1

2

.

2024（二）19.（本小題滿分12分）（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）

.

試題分析：（Ⅰ）證

，再證

，最終證

；（Ⅱ）用向量法求解.

試題解析：（I）由已知得，，又由得，故.

因此，從而.由,得.

由得.所以，.于是，，故

.又，而，所以.

（II）如圖，以

為坐標(biāo)原點(diǎn)，

的方向?yàn)?/p>

軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

，則

，

，

，

，，，，.設(shè)是平面的法向量，則

，即，所以可以取.設(shè)是平面的法向量，則，

即，所以可以取.于是，.

因此二面角的正弦值是.

2024（北京）6.試題分析：分析三視圖可知，該幾何體為一三棱錐，其體積，故選A.2024（北京）17（1）見解析；（2

；（3）存在，

PABC-111

111326

V

=????=1

4

AMAP=

（3）設(shè)是棱上一點(diǎn)，則存在

使得.因此點(diǎn).

由于平面，所以平面當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得.所以在棱上存在點(diǎn)使得平面，此時(shí)

.2024（二）6D

由三視圖得，在正方體

中，截去四周體

，如圖所示，，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為

，則

，故剩余幾何體體積為，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為．

MPA]1,0[∈λλ=),,1(),,1,0(λλλλ--=-M?BMPCD∥BMPCD0=?nBM0)2,2,1(),,1(=-?--λλ41=

λPAMBM∥PCD4

1

=APAM

2024（二）19

2024（一）18∴

222EGFGEF+=，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，∵EG?面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.…6分

（Ⅱ）如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以,GBGCuuuruuur的方向?yàn)閤軸，y軸正方向，||GBuuur

為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，由

（Ⅰ）可得A（0，0），，F(xiàn)（－1,02

），C（0，0），∴AEuuur=（1），CFuuur=（-1，，

2）(10)

分故cos,3||||

AECFAECFAECF?==-uuuruuur

uuuruuuruuuruuur.所以直線AE與CF

所成的角的余弦值為3.12分

2015（北京）5.

三棱錐表面積

表2

S=+.

2015（陜西）5試題分析：由三視圖知：該幾何體是半個(gè)圓柱，其中底面圓的半徑為，母線長(zhǎng)為，所以該幾何體的表面積是

，故選D．2015（陜西）18．（I）證明見解析；（II）

．

試題解析：（I）在圖1中，

由于AB=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn)，BAD=，所以BEAC即在圖2中，BE，BEOC從而BE平面

又CDBE，所以CD平面.

(II)由已知，平面平面B