數學人教A版（2023）選擇性必修第一冊1.1.1空間向量及其線性運算（共32張ppt）

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1.1.1空間向量及其線性運算

第一章空間向量與立體幾何

人教A版2023選修第一冊

學習目標

1.經歷向量及其運算由平面空間推廣的過程，了解空間向量

的概念；

2.掌握空間向量的加法、減法、數乘運算及其表示；

3.掌握空間向量加法、減法、數乘的運算律；

4.借助向量的線性運算的學習，提升數學運算素養(yǎng).

01復習回顧

PARTONE

起點

終點

定義

空間中既有大小又有方向的量叫做向量。

模長

記作

表示方法

（2）幾何表示法：有向線段

（1）代數表示法：

空間向量的大小叫做空間向量的長度或模

復習回顧

（1）空間向量的加減法

a

b

a

b

O

A

B

C

復習回顧

(2)實數與向量的積

與平面向量一樣，實數λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數乘運算，記作λa，其長度和方向規(guī)定如下：

①|λa|＝____.

②當λ>0時，λa與向量a方向相同；當λ<0時，λa與向量a方向；當λ＝0時，λa＝0.

(3)空間向量數乘運算滿足以下運算律

①λ(μa)＝______；②λ(a＋b)＝________；

③(λ1＋λ2)a＝_________.

相反

|λ||a|

(λμ)a

λa＋λb

λ1a＋λ2a

復習回顧

02共線向量

PARTONE

共線向量

探究：對任意兩個空間向量a,b,如果a＝λb（λ∈R），a與b有什么位置關系？反過來，a與b有什么位置關系時，a＝λb

類似于平面向量共線的充要條件，對任意兩個空間向量a，b（b≠0），a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb

（1）共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量(或平行向量),

記作

共線向量

（2）共線向量定理

共線向量

如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，可知＝λa，把與向量a平行的非零向量稱為直線l的，直線l上任意一點都可以由直線l上的一點和它的方向向量表示.

（3）方向向量

方向向量

O

P

共線向量

由知存在唯一的t,滿足

如圖，l為經過已知點A且平行已知非零向量的直線，

對空間任意一點O,

所以

即

若在l上取則有

①和②都稱為空間直線的向量表示式，空間任意直線由空間一點及直線的方向向量唯一決定.

l

A

B

P

O

若點P是直線l上任意一點，則

①

②

共線向量定理的推論

共線向量

特別的，當t=時，則

A

B

P

O

t

1-t

P點為A,B的中點

共線向量

A、B、P三點共線

總結

共線向量

－8

共線向量

2.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且，F在對角線A1C上，且，求證：E，F，B三點共線.

解：設a，=b，=c，

∵，，∴，，而==b

∴=b，==.

∴,又,

∴=，即E，F，B三點共線.

共線向量

反思感悟向量共線的判定及應用

(1)判斷或證明兩向量a，b(b≠0)共線，就是尋找實數λ，

使a＝λb成立，為此常結合題目圖形，運用空間向量的

線性運算法則將目標向量化簡或用同一組向量表達.

(2)判斷或證明空間中的三點(如P，A，B)共線的方法：是否

存在實數λ，

03共面向量

PARTONE

共面向量

1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.

共面向量

思考：空間任意兩個向量是共面向量，則空間任意三個向量是否共面？

不一定，如圖所示，空間中的三個向量不共面.

共面向量

探究1：如果空間向量p與兩個不共線向量a，b共面，那么可將三個向量平移到一個平面內，則有p＝xa＋yb

共面向量

探究2：對空間兩個不共線向量a，b共面，有p＝xa＋yb，那么向量p與向量a，b有什么位置關系？

C

∵xa，yb分別與a，b共線

∴xa，yb都在a，b確定的平面內，且平行四邊形也在a，b確定的平面內

∴p=xa+yb在a，b確定的平面內。

共面向量

三個向量共面的充要條件：向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在_____的有序實數對(x，y)__________

共面向量定理

唯一

p＝xa＋yb

推論：若已知點P在平面ABC內，則有＝＋y或

＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)

共面向量

P與A、B、C共面

總結

共面向量

1.(多選)對空間任一點O和不共線的三點A，B，C，能得到

P，A，B，C四點共面的是（）

BC

共面向量

共面向量

3.(多選)下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（）

解析A選項中，3－1－1＝1，四點共面，

∴點M，A，B，C共面.

AC

共面向量

且M，A，B，C四點共面，

√

共面向量

5.如圖,已知平行四邊形ABCD,從平面AC外一點O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點E，F，G，H，使

證明：四點E，F，G，H共面

四點共面→有公共起點的三個向量共面

嘗試用空間向量解決立體幾何問題

共面向量

證明:

·

方法總結

選擇恰當的向