2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練36銳角三角函數(shù)和解直角三角形

考點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練36銳角三角函數(shù)和解直角三角形一、選擇題1．(2022·黃岡)cos30°＝()\f(1,2)\f(\r(2),2)\f(\r(3),2)\r(3)答案C2．(2022·溫州)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，則sinA的值是()\f(5,13)\f(12,13)\f(5,12)\f(13,5)答案A解析在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(5,13).3．(2022·達(dá)州)如圖所示，在數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)x的范圍是()\f(3,2)sin30°<x<sin60°B．cos30°<x<eq\f(3,2)cos45°\f(3,2)tan30°<x<tan45°\f(3,2)tan45°<x<tan60°答案D解析因?yàn)閠an45°＝1，tan60°＝eq\r(3)，所eq\f(3,2)tan45°＝eq\f(3,2)×1＝eq\f(3,2)，而<x<2，故選D.4．(2022·蕪湖)如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點(diǎn)C(0,5)和點(diǎn)O(0,0)，B是y軸右側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點(diǎn)，則∠OBC的余弦值為()A.eq\f(1,2)\f(3,4)\f(\r(3),2)\f(4,5)答案C解析設(shè)⊙A交x軸于點(diǎn)D.連接CD，因?yàn)椤螩OD＝90°，所以CD是直徑，且∠OBC＝∠ODC.在Rt△OCD中，OC＝5，CD＝10，則OD＝5eq\r(3)，所以cos∠OBC＝cos∠ODC＝eq\f(OD,CD)＝eq\f(5\r(3),10)＝eq\f(\r(3),2).5．(2022·福州)Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，那么c等于()A．a(chǎn)cosA＋bsinBB．a(chǎn)sinA＋bsinB\f(a,sinA)＋eq\f(b,sinB)\f(a,cosA)＋eq\f(b,sinB)答案B解析如圖，畫CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，sinB＝sin∠ACD＝eq\f(AD,AC)，所以AD＝bsinB，同理，BD＝a·sinA，故C＝AB＝AD＋BD＝asinA＋bsinB.二、填空題6．(2022·武漢)sin30°的值為________．答案eq\f(1,2)7．(2022·義烏)右圖是市民廣場(chǎng)到解百地下通道的手扶電梯示意圖．其中AB、CD分別表示地下通道、市民廣場(chǎng)電梯口處地面的水平線，∠ABC＝135°，BC的長(zhǎng)約是5eq\r(2)m，則乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度h是________m.答案5解析過C畫CE⊥AB于E，在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，BC＝5eq\r(2)，則BE＝CE＝5，即h＝5.8．(2022·茂名)如圖，在高出海平面100米的懸崖頂A處，觀測(cè)海平面上一艘小船B，并測(cè)得它的俯角為45°，則船與觀測(cè)者之間的水平距離BC＝________米．答案100解析如圖，AD∥BC，則∠ABC＝∠BAD＝45°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，BC＝AC＝100.9．(2022·衢州)在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明同學(xué)從營(yíng)地A出發(fā)，要到A地的北偏東60°方向的C處，他先沿正東方向走了200m到達(dá)B地，再沿北偏東30°方向走，恰能到達(dá)目的地C(如圖)，那么，由此可知，B、C兩地相距___________m.答案200解析如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°＋30°＝120°，∠BAC＝90°－60°＝30°，所以∠C＝30°＝∠BAC，BC＝AB＝200.10．(2022·潼南)如圖，某小島受到了污染，污染范圍可以大致看成是以點(diǎn)O為圓心，AD長(zhǎng)為直徑的圓形區(qū)域，為了測(cè)量受污染的圓形區(qū)域的直徑，在對(duì)應(yīng)⊙O的切線BD(點(diǎn)D為切點(diǎn))上選擇相距300米的B、C兩點(diǎn)，分別測(cè)得∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，則直徑AD＝________米．(結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈，eq\r(3)≈答案260解析設(shè)AD＝x，在Rt△ABD中，∠B＝30°，則BD＝eq\r(3)AD＝eq\r(3)x.在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，則CD＝eq\f(AD,\r(3))＝eq\f(x,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)x.又∵BD－CD＝BC，∴eq\r(3)x－eq\f(\r(3),3)x＝300，得eq\f(2\r(3),3)x＝300，x＝150eq\r(3)≈260(米)．三、解答題11．(2022·金華)生活經(jīng)驗(yàn)表明，靠墻擺放的梯子，當(dāng)50°≤α≤70°(α為梯子與地面所成的角)，能夠使人安全攀爬，現(xiàn)在有一長(zhǎng)為6m的梯子AB，試求能夠使人安全攀爬時(shí)，梯子的頂端能達(dá)到的最大高度AC.(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字，sin70°≈，sin50°≈，cos70°≈，cos50°≈解由題意知，當(dāng)α越大，梯子的頂端達(dá)到的最大高度越大．因?yàn)楫?dāng)50°≤α≤70°時(shí)，能夠使人安全攀爬，所以當(dāng)α＝70°時(shí)AC最大．在Rt△ABC中，AB＝6米，α＝70°，sin70°＝eq\f(AC,AB)，即≈eq\f(AC,6)，解得AC≈.答：梯子的頂端能達(dá)到的最大高度AC約.12．(2022·銅仁)如圖，在A島周圍25海里水域有暗礁，一輪船由西向東航行到O處時(shí)，發(fā)現(xiàn)A島在北偏東60°方向，輪船繼續(xù)前行20海里到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)A島在北偏東45°方向，該船若不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，有無觸礁的危險(xiǎn)？(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈，eq\r(3)≈解根據(jù)題意，有∠AOC＝30°，∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，∴BC＝AC，在Rt△AOC中，由tan30°＝eq\f(AC,OC)，得eq\f(\r(3),3)＝eq\f(AC,20＋AC)，解得AC＝eq\f(20,\r(3)－1)≈(海里)．∵(海里)>25(海里)，∴輪船不會(huì)觸礁．13．(2022·威海)一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，試求CD的長(zhǎng)．解過點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M.在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝AC·tan60°＝10eq\r(3)，∵AB∥CF，∴∠BCM＝30°.∴BM＝BC·sin30°＝10eq\r(3)×eq\f(1,2)＝5eq\r(3)，CM＝BC·cos30°＝10eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝15.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5eq\r(3).∴CD＝CM－MD＝15－5eq\r(3).即CD的長(zhǎng)為15－5eq\r(3).14．(2022·常德)青青草原上，灰太狼每天都想著如何抓羊，而且是屢敗屢試，永不言棄．如圖所示，一天，灰太狼在自家城堡頂部A處測(cè)得懶羊羊所在地B處的俯角為60°，然后下到城堡的C處，測(cè)得B處的俯角為30°.已知AC＝40米，若灰太狼以5m/s的速度從城堡底部D處出發(fā)，幾秒鐘后能抓到懶羊羊？(結(jié)果精確到個(gè)位)解在Rt△BCD中，∵∠BCD＝90°－30°＝60°，∴eq\f(BD,CD)＝tan60°，則BD＝eq\r(3)CD.在Rt△ABD中，∵∠ABD＝60°，∴eq\f(AD,BD)＝tan60°，即eq\f(40＋CD,\r(3)CD)＝eq\r(3)，∴CD＝20.∴t＝eq\f(\r(3)CD,5)≈eq\f(35,5)＝7.故約7秒鐘后灰太狼能抓到懶羊羊．15．(2022·揚(yáng)州)如圖是某品牌太陽能熱水器的實(shí)物圖和橫斷面示意圖，已知真空集熱管AB與支架CD所在直線相交于水箱橫斷面⊙O的圓心，支架CD與水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝30°，另一根輔助支架DE＝76厘米，∠CED＝60°.(1)求垂直支架CD的長(zhǎng)度；(結(jié)果保留根號(hào))(2)求水箱半徑OD的長(zhǎng)度．(結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈，eq\r(3)≈解(1)在Rt△DCE中，∠CED＝60°，DE＝76，∵sin∠CED＝eq\f(DC,DE)，∴CD＝DE·sin∠CED＝38eq\r(3)(厘米)．答：垂直支架CD的長(zhǎng)度為38eq\r(3)厘米．(2)設(shè)水箱半徑OD＝x厘米，則OC＝(38eq\r(3)＋x)厘米，AO＝(150＋x)厘米，∵Rt△OAC中，∠BAC＝30°，∴AO＝2×OC，即：150＋x＝2(38eq\r(3)＋x)．解得，x＝150－76eq\r(3)≈≈(厘米)．答：水箱半徑OD的長(zhǎng)度為厘米．四、選做題16．(2022·南充)如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，△BCE沿BE折疊為△BFE，點(diǎn)F落在AD上．(1)求證：△ABF∽△DFE；(2)若sin∠DFE＝eq\f(1,3)，求tan∠EBC的值．解(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°.∵△BCE沿BE折疊為△BFE，∴∠BFE＝∠C＝90°.∴∠AFB＋∠DFE＝180°－∠BFE＝90°.又∵∠AFB＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE.(2)解：在Rt△DEF中，sin∠DFE＝eq\f(DE,EF)＝eq\f(1,3)，∴設(shè)DE＝a，EF＝3a，則DF＝eq\r(EF2－DE2)＝2