全國名校大聯(lián)考2018屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題+Word版含答案

全國名校大聯(lián)考2018屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題+Word版含答案全國名校大聯(lián)考2017-2018年度高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知全集U={-2,-1,3,4}，集合B={-1,3}，則C∩B=（）A.{-1,3}B.{-2,3}C.{-2,4}D.?2.命題“對于任意x∈(1,+∞)，log2x=x-1”的否定是（）A.對于任意x∈(1,+∞)，log2x≠x-1B.存在x∈(1,+∞)，使得log2x≠x-1C.存在x∈(1,+∞)，使得log2x=x-1D.對于任意x?(1,+∞)，log2x≠x-13.若sin(π/2+θ)<0，cos(π/2-θ)>0，則θ是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角4.已知平面向量a,b的夾角為60°，a=1i+3j，b=i，則a+b=（）A.2iB.2√3iC.7iD.4i5.若將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移π/12個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為（）A.x=3π/4+kπB.x=5π/6+kπC.x=π/6+kπD.x=π/4+kπ6.設(shè)函數(shù)f(x)={log2x+4,x>1;a,x≤1}且f(1)=6，則f(2)=（）A.1B.2C.3D.67.已知α∈(0,π)，且sinα=4/5，則tan(-α)=（）A.±1B.±7C.-7或7D.無解8.已知AB=(cos17°,cos73°)，BC=(2cos77°,2cos13°)，則△ABC的面積為（）A.3B.1C.3/2D.29.函數(shù)f(x)有4個零點，其圖象如下圖，和圖象吻合的函數(shù)解析式是（）A.f(x)=sinx-lgxB.f(x)=sinx-log2xC.f(x)=sinx-lnxD.f(x)=sinx-log10x10.已知a,b,c分別是△ABC的三個內(nèi)角所對的邊，滿足abc=（a+b+c）/2，則△ABC的形狀是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形11.某新建的信號發(fā)射塔的高度為AB，且設(shè)計要求為29米＜AB＜29.5米。為了測量塔高是否符合要求，先在與發(fā)射塔底部B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點C、D處測得∠BDC＝60°、∠BCD＝75°、CD＝40米，并在點C處的正上方E處觀測發(fā)射塔頂部A的仰角為30°，且CE＝1米，則發(fā)射塔高AB＝406＋1米。12.設(shè)向量a、b、c滿足a＝b＝2，a·b＝－2，∠(a－c,b－c)＝60°，則c的最大值等于2。13.已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定義域和值域都是[-1,0]，則ab＝1。14.若動直線x＝a與函數(shù)f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的圖象分別交于M、N兩點，則MN的最大值為2。15.已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f(x)＝－x＋2。則不等式f(x)＋1＜0的解集是(-∞，1)。16.已知ΔABC的三邊垂直平分線交于點O，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，且c2＝2b(2－b)，則AO·BC的取值范圍是[0，2]。17.已知函數(shù)f(x)＝(mx2)/(a+x2)(a＞0，a≠1)的圖象過點m，a(0＜m＜a)。(1)求實數(shù)m、a的值；(2)若函數(shù)g(x)＝(f(x)－1)/(f(x)＋1)，試判斷函數(shù)g(x)的奇偶性，并說明理由。解：(1)因為函數(shù)f(x)的圖象過點m，a(0＜m＜a)，所以有m＝(ma2)/(a＋a2)即1＝a/(a＋a2)解得a＝1/m－1所以m＜a＝1/m－1，即m2＜1－m，所以m＜(√5－1)/2或m＞(√5＋1)/2。由于函數(shù)f(x)的定義域和值域都是[-1,0]，所以有f(x)＝(mx2)/(a＋x2)＜0即mx2＜0，所以m＝0。所以a＝1/m－1不存在，與題意矛盾。所以函數(shù)f(x)的圖象不可能過點m，a(0＜m＜a)。綜上所述，原命題不成立。(2)因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以有f(-x)＝f(x)即(-mx2)/(a＋x2)＝(mx2)/(a＋x2)所以函數(shù)g(x)的分母為0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝±√a。當(dāng)x＝√a時，有g(shù)(x)＝(f(x)－1)/(f(x)＋1)＝(m√a－1)/(m√a＋1)當(dāng)x＝－√a時，有g(shù)(x)＝(f(x)－1)/(f(x)＋1)＝(－m√a－1)/(－m√a＋1)所以函數(shù)g(x)是奇函數(shù)。18.在銳角ΔABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且cos(B＋C)＋sinA＝1。(1)求A；(2)若a＝6－3，ΔABC的面積為3，求b－c的值。解：(1)因為cos(B＋C)＋sinA＝1，所以有cos(B＋C)＝1－sinA由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc·cosA所以有cos(B＋C)＝cos(180°－A)即1－sinA＝－cosA解得sinA＝(√5－1)/4或sinA＝(1－√5)/4。因為ΔABC為銳角三角形，所以A＜90°，所以sinA＝(√5－1)/4。所以A＝30°。(2)因為ΔABC的面積為3，所以有bc·sinA＝3所以bc＝6。因為a＝6－3，所以b＋c＝a＋3＝6，所以b－c＝(b2－c2)/(b＋c)＝(a2－2bc)/(b＋c)＝3/2。19.如圖，在ΔABC中，B＝π/3，BC＝2，點D在邊AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E為垂足。(1)若ΔBCD的面積為3，求AB的長；(2)若ΔADE的面積為6，求角A的大小。解：(1)連接CE，因為∠BCE＝60°，所以有BC/CE＝tan60°＝√3所以CE＝2/√3。因為AD＝DC，所以BD＝2AD。因為∠BDE＝90°，所以有BD2＝BE2＋DE2即4AD2＝(AB－2)2＋(2/√3)2即4AD2＝AB2－4AB＋4＋4/3即12AD2＝3AB2－12AB＋16因為∠B＝π/3，所以有AB/BC＝sinπ/3＝√3/2所以AB＝√3。(2)因為∠A＋∠B＋∠C＝π，所以∠A＝π－∠B－∠C＝π/3。因為∠ADE＝90°，所以有AD·DE＝6因為∠A＝π/3，所以有AD/DE＝tanπ/3＝√3所以AD＝2√3，DE＝2/√3。因為∠B＝π/3，所以有BC/AB＝sinπ/3＝√3/2所以BC＝3。因為∠CDE＝90°，所以有DE2＝CD·CE即4/3＝CD·2/√3即CD＝2/√3。因為BD＝2AD，所以有AB＋2AD＝2BD即√3＋4√3＝2BD即BD＝5√3/2。因為∠BDE＝90°，所以有BD2＝BE2＋DE2即(5√3/2)2＝BE2＋(2/√3)2即75/4＝BE2＋4/3即BE2＝(75/4)－(4/3)＝(269/12)所以BE＝√(269/12)。因為∠A＝π/3，所以有SΔABC/SΔADE＝BC/DE＝3/2所以SΔABC/SΔADE＝3/2＝(AB·BC·sin∠A)/(AD·DE)即3/2＝(√3·3/2·sinπ/3)/(2/√3)·6所以sinπ/3＝1/2，所以∠A＝π/3。20.已知向量m＝(2，sinα)，n＝(cosα，－1)(0＜α＜π/2)，且m⊥n。(1)求sin2α和cos2α的值；(2)若ED＝(3，1)，DE⊥AC，點E在向量m所在直線上，求點D的坐標(biāo)。解：(1)因為m⊥n，所以有m·n＝0即2cosα－sinα＝0所以sinα/cosα＝2，所以tanα＝2，所以sinα＝2/√5，cosα＝1/√5。所以sin2α＝2sinα·cosα＝4/5，cos2α＝cos2α－sin2α＝3/5。(2)因為點E在向量m所在直線上，所以有ED＝k·m即(3，1)＝k(2，sinα)所以k＝(3/2，1/2sinα)。因為DE⊥AC，所以有DE·AC＝0即(3，1)·(x，y)＝0即3x＋y＝0所以x＝－y/3。因為點D在邊AB上，所以有AD/AB＝DE/BC＝1/2所以AB＝2AD，BC＝2DE。因為點D在向量n所在直線上，所以有D＝(x，y)＝(x0，y0)＋t·n即(x，y)＝(cosα，－1)＋t(2，sinα)所以y＝－1＋2t·sinα，x＝cosα＋2t。因為點D在邊AB上，所以有y/x＝(1/3)/(2/3)＝1/2所以y＝x/2，所以cosα＋2t＝x＝2y＝x，所以t＝－sinα/2。所以y＝－1＋sinα，x＝cosα－sinα。剔除下面文章的格式錯誤，刪除明顯有問題的段落，然后再小幅度的改寫每段話。2.若$\sin(\alpha-\beta)=\frac{10\pi}{2}$，且$\beta\in(0,\frac{\pi}{10})$，求角$\beta$。21.設(shè)函數(shù)$f(x)=\sinx+3\cosx+1$。(1)求函數(shù)$f(x)$的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)$\frac{2\alpha+\pi}{3563}<\alpha<\pi$時，求$\sin(2\alpha+13\pi)$的值。22.已知向量$\vec{a}=(k\sinx,\cosx)$，$\vec=(\cosx,-k)$，實數(shù)$k$為大于零的常數(shù)，函數(shù)$f(x)=\vec{a}\cdot\vec$，$x\in\mathbb{R}$，且函數(shù)$f(x)$的最大值為$2-1$。(1)求$k$的值；(2)在$\triangleABC$中，$a,b,c$分別為內(nèi)角$A,B,C$所對的邊，若$\angleA=\frac{\pi}{2}$，且$a=2\sqrt{10}$，求$AB\cdotAC$的最小值。答案：一、選擇題1-5:CBBCB6-10:CCADC11、12：AA二、填空題13.414.215.$\{x|x>2\}$16.$(-\frac{1}{2},2]$三、解答題17.解：(1)把$A(2,4)$，$B(-1,\frac{1}{2})$的坐標(biāo)代入$f(x)=\frac{2x-1}{x}+1$，得$m=1$，$a=2$。(2)$g(x)$是奇函數(shù)。因為$f(x)=2$，所以$g(x)=\frac{2x-1}{2x+1}$，所以函數(shù)$g(x)$的定義域為$\mathbb{R}$。又$g(-x)=\frac{-2x-1}{2x-1}=-g(x)$，所以函數(shù)$g(x)$為奇函數(shù)。18.解：(1)因為$\cos(B+C)+\sin^2A=1$，所以$-\cosA+2\sinA\cosA=\sinA=\frac{1}{2}$，所以$A=30^\circ$。又因為$\triangleABC$為銳角三角形，所以$\sinA=\frac{1}{2}$。所以$A=30^\circ$。(2)因為$S_{\triangleBCD}=bc\sinA=3$，所以$bc=\frac{6}{\sinA}=12$。又因為$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$，所以$39-12^2=b^2+c^2-2bc=15$，所以$b-c=\sqrt{b^2+c^2-2bc}=3\sqrt{5}$。因為$BD$是中線，所以$BD=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}=\sqrt{15}$。又因為$\triangleABD\sim\triangleBCD$，所以$\frac{BD}{AD}=\frac{CD}{BD}$，所以$AD=\frac{BD^2}{CD}=\frac{15}{2}$。19.解：(1)$\triangleBCD$的面積為$\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\sin\frac{2\pi}{3}=\sqrt{3}$。又因為$\triangleABD\sim\triangleBCD$，所以$\frac{BD}{AD}=\frac{CD}{BD}$，所以$BD=\sqrt[3]{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$，$AD=\sqrt[3]{\frac{4\sqrt{3}}{9}}$。所以$\triangleABD$的面積為$\frac{1}{2}\cdot\sqrt[3]{\frac{2\sqrt{3}}{3}}\cdot\sqrt[3]{\frac{4\sqrt{3}}{9}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。(2)因為$\angleBAC=\frac{\pi}{2}$，所以$BC^2=AB^2+AC^2$，即$(x+2)^2+(x+1)^2=x^2$，解得$x=-\frac{3}{5}$。所以$AB\cdotAC=\left|\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{16}{5}\right|=\frac{16}{25}$。CD=√(BC^2+BD^2-2BC·BD·cosB)=√(4+2127-2·2·√(42127))≈9.323∴AB=AD+BD=CD+BD=9.323(2)∵DE=√(27227+2cosA)=√(333)6DE=6√(333)≈57.74∴CD=AD=2sinA·DE=2sinA·6√(333)/6=√(333)sinAInΔBCD,accordingtothesinetheorem,sinA/sinB=CD/BD∵∠BDC=2∠A∴A=∠BCCD/2=sin?(∠BDC)/sinB=√(262)/sinB≈4.004∴cosA=2sinA·sin(60°)/sin(2A)≈0.173(20)(1)Sincem⊥n,wehave2cosα-sinα=0,whichmeanssinα=2cosα.Substitutingsinαintocos^2α+sin^2α=1,weget5cos^2α=1,andα∈[0,π/2].Thus,cosα=√(5/25)=1/√5,sinα=2cosα/5=√(5/25)=1/√5.Thensin2α=2sinαcosα=2/5,cos2α=2cos^2α-1=-3/5.(2)Sinceα∈[0,π/2],β∈[0,π/2],wehaveα-β∈[-π/2,π/2].Also,sin(α-β)=10/√(310^2+102^2)≈0.986,cos(α-β