函數(shù)的極值及最大小值課件

6.5函數(shù)的極值與最大(小)值由單調(diào)性的判定法則，結(jié)合函數(shù)的圖形可知，曲線在升、降轉(zhuǎn)折點(diǎn)處形成“峰”、“谷”，函數(shù)在這些點(diǎn)處的函數(shù)值大于或小于兩側(cè)附近各點(diǎn)處的函數(shù)值。函數(shù)的這種性態(tài)以及這種點(diǎn)，無論在理論上還是在實(shí)際應(yīng)用上都具有重要的意義，值得我們作一般性的討論.6.5函數(shù)的極值與最大(小)值由單調(diào)性的判1一、函數(shù)極值的定義一、函數(shù)極值的定義2定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極3二、函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,二、函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,4注①這個(gè)結(jié)論又稱為Fermat定理②如果一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在所論區(qū)間上沒有駐點(diǎn)則此函數(shù)沒有極值，此時(shí)導(dǎo)數(shù)不改變符號③不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)可疑極值點(diǎn)：駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)可疑極值點(diǎn)是否是真正的極值點(diǎn)，還須進(jìn)一步判明。由單調(diào)性判定法則知，若可疑極值點(diǎn)的左、右兩側(cè)鄰近，導(dǎo)數(shù)分別保持一定的符號，則問題即可得到解決。注①這個(gè)結(jié)論又稱為Fermat定理②如果一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在所論區(qū)5定理2(第一充分條件)(是極值點(diǎn)情形)定理2(第一充分條件)(是極值點(diǎn)情形)6函數(shù)的極值及最大小值課件7求極值的步驟:(不是極值點(diǎn)情形)求極值的步驟:(不是極值點(diǎn)情形)8例1解列表討論極大值極小值例1解列表討論極大值極小值9圖形如下圖形如下10列表討論如下：列表討論如下：11定理3(第二充分條件)證定理3(第二充分條件)證12例2解圖形如下例2解圖形如下13注意:注意:14例3解注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).例3解注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).15例4證（不易判明符號）而且是一個(gè)最大值點(diǎn)，例4證（不易判明符號）而且是一個(gè)最大值點(diǎn)，16例5設(shè)f(x)連續(xù)，且f(a)是f(x)的極值，問f

2(a)是否是f

2(x)的極值證分兩種情況討論①所以f

2(a)是f

2(x)的極小值例5設(shè)f(x)連續(xù)，且f(a)是f(x17②設(shè)f(a)是f(x)的極小值，且又f(x)在x=a處連續(xù)，且f

2(a)是f

2(x)的極大值同理可討論f(a)是f(x)的極大值的情況②設(shè)f(a)是f(x)的極小值，且又f(x18例6假定f(x)在x=x0處具有直到n階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且證明當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f(x0)是f(x)的極值當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f(x0)不是f(x)的極值證由Taylor公式，得例6假定f(x)在x=x0處具有直到n階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且證明當(dāng)19因此存在x0的一個(gè)小鄰域，使在該鄰域內(nèi)下面來考察兩種情形①n為奇數(shù)，當(dāng)x漸增地經(jīng)過x0時(shí)變號不變號變號不是極值因此存在x0的一個(gè)小鄰域，使在該鄰域內(nèi)下面來考察兩種情形①n20②n為偶數(shù)，當(dāng)x漸增地經(jīng)過x0時(shí)不變號不變號不變號是極值且當(dāng)時(shí)是極小值當(dāng)時(shí)是極大值②n為偶數(shù)，當(dāng)x漸增地經(jīng)過x0時(shí)不變號不變號不變號是極值且21例4

解例4解22例5

解例523函數(shù)最大值和最小值的一般求法：(一)y=f(x)x∈[a,b](1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)；令f'(x)=0，求出駐點(diǎn)；(2)求出駐點(diǎn)處的函數(shù)值以及端點(diǎn)處的函數(shù)值；(3)比較這些值的大小，其中最大的就是函數(shù)的最大值，最小的就是最小值.三.函數(shù)的最值函數(shù)最大值和最小值的一般求法：(一)y=f(x)x∈24解：(1).f(x)的定義域?yàn)?-∞，1]

，[-8，1](-∞，+1](2).(3).令f‘(x)=0，解之得駐點(diǎn)為

(5).比較大小得，在[-8，1]上的最大值為，最小值為-5.(4).解：(1).f(x)的定義域?yàn)?-∞，1]，[-8，1]25函數(shù)的極值及最大小值課件26例8.求函數(shù)f(x)=x2-2x+6的最值.(1).f(x)的定義域?yàn)?-∞，+∞).解：(2).f’(x)=2x-2=2(x-1)(3).令f’(x)=0，解之得駐點(diǎn)為x=1.當(dāng)x∈(-∞，1)時(shí)，f’(x)<0,單調(diào)遞減.當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f’(x)>0,單調(diào)遞增.(二)若函數(shù)在一個(gè)開區(qū)間或無窮區(qū)間(-∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的極值點(diǎn).例8.求函數(shù)f(x)=x2-2x+6的最值.(1).f(x27

例9.在半徑為R的半圓內(nèi)作內(nèi)接梯形，使其底為直徑其他三邊為圓的弦，問應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)，才能使梯形的面積最大？解：(三)：解決實(shí)際問題中的最大值問題的步驟：(1).根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式.(2).確定函數(shù)的定義域..(3).求函數(shù)f(x)在給定區(qū)域上的最大值或最小值.例9.在半徑為R的半圓內(nèi)作內(nèi)接梯形，使其底為直徑其他三28函數(shù)的極值及最大小值課件29函數(shù)的極值及最大小值課件30函數(shù)的極值及最大小值課件311）求出函數(shù)的定義域；2）求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)；3）令f’(x)=0,解出方程f'(x)=0的全部解，得到f(x)的全部駐點(diǎn)。4）列表考察f’(x)的符號，以確定該駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，并由極值點(diǎn)求出函數(shù)的極值。求函數(shù)極值的步驟：1）求出函數(shù)的定義域；2）求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)；32極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn).函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于33小結(jié)最值問題的兩種類型：(1)求出給定解析式的導(dǎo)數(shù)f'(x)；令f'(x)=0，求出駐點(diǎn)；(2)求出駐點(diǎn)處的函數(shù)值以及端點(diǎn)處的函數(shù)值；(3)比較這些值的大小，其中最大的就是函數(shù)的最大值，最小的就是最大值.1.已知函數(shù)解析式及閉區(qū)間求最值.2.實(shí)際問題求最值.(1)根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)；(2)根據(jù)實(shí)際問題確定函數(shù)的定義域；

(3)求出函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)，令f‘(x)=0，求出駐點(diǎn)；若定義域?yàn)殚_區(qū)間且駐點(diǎn)只存一個(gè)，則由題意判定函