第三章剛體的定軸轉動

第三章剛體的定軸轉動第1頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月剛體（rigidbody）：物體中任意兩個質點間的距離始終不變。特殊的質點系，形狀和體積不變化，理想化的模型。第2頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月平動（translation）時，剛體上所有點運動都相同，故剛體可簡化為質點?！?.1剛體的運動及分類此時剛體=質點。第3頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月

剛體的一般運動=平動+轉動平動和轉動可以描述所有質點的運動。如果剛體的各個質點在運動中都繞同一直線作圓周運動，稱轉動（rotation）；這一直線稱轉軸。第4頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月剛體的轉動第5頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月3.角加速度矢量速度加快時，角加速度和角速度同向，否則反向。2.角速度矢量方向由右手螺旋定則確定3.1.3剛體的定軸轉動（rotationaboutaffixedaxis）

viOωri定軸剛體

zmiΔ1.角位移

線量和角量的關系：第6頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月例題1一飛輪在時間t內轉過角度

＝at+bt3-ct4,式中a、b、c都是常量。求它的角加速度。解：飛輪上某點角位置可用表示為＝at+bt3-ct4將此式對t求導數，即得飛輪角速度的表達式為角加速度是角速度對t的導數，因此得由此可見飛輪作的是變加速轉動。角速度第7頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月例題2一飛輪轉速n=1500r/min，受到制動后均勻地減速，經t=50s后靜止。（1）求角加速度β

和飛輪從制動開始到靜止所轉過的轉數N；（2）求制動開始后t=25s時飛輪的角速度

；（3）設飛輪的半徑r=1m，求在

t=25s時邊緣上一點的速度和加速度。

0atrO第8頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月量值為

0=21500/60=50

rad/s，對于勻變速轉動，可以應用以角量表示的運動方程，在t=50S時刻

=0，代入方程

=

0+βt得從開始制動到靜止，飛輪的角位移

及轉數N分別為解（1）設初角度為

0方向如圖所示，

0rO第9頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月角速度（2）t=25s時飛輪的角速度為

的方向與

0相同；

0rO第10頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）t=25s時飛輪邊緣上一點P的速度。的方向垂直于和構成的平面，如圖所示相應的切向加速度和向心加速度分別為由

0vanatarO第11頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月邊緣上該點的加速度其中

的方向與的方向相反，的方向指向軸心，的大小為

的方向幾乎和

相同。角速度

0vanatarO第12頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月一、轉動動能和轉動慣量viOωri定軸剛體

zmiΔ3.2轉動定律第13頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月為剛體對z軸的轉動慣量第14頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月轉動慣量的計算

J為標量dmrm與剛體的質量有關與質量的分布有關，即與剛體的形狀、大小、各部分的密度有關；與轉軸的位置有關SI：㎏·㎡第15頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月均勻桿：CAml2l2對C軸：對A軸：二.常用的幾個J第16頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月均勻圓盤：RmCCRmC均勻圓環(huán)：第17頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月dmxyzRxyzO薄球殼對任意直徑的轉動慣量？第18頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月三.計算J的規(guī)律1.對同一軸J具有可疊加性J=Ji?

ri定軸

zmiΔ第19頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.對薄平板剛體的正交軸定理Jmrmxmyziiiiii==+^???DDD222

例1：知圓盤JmRz=122求對圓盤的一條直徑的Jx

（或J

y）。由JJJJJJJmRzyxxyxy=+=ìí?\==142即

JzJJxy=+yrixzyiximi

Δyxz

圓盤RCm第20頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月3.平行軸定理JJmdc=+2\=JJcminCdmICI平行質點系的質量中心，簡稱質心。具有長度的量綱，描述與質點系有關的某一空間點的位置。COXY第21頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：質心的位矢與參考系的選取有關。剛體的質心相對自身位置確定不變。質量均勻的規(guī)則物體的質心在幾何中心。質心與重心不一樣，物體尺寸不十分大時，質心與重心位置重合。第22頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月OFd單位：牛頓·米，N·m方向：從r沿小于

角右旋到F，大拇指指向。rP轉動定律及應用舉例

一、對定軸的力矩對定點的力矩：

對定軸的力矩：不起作用，只考慮轉動平面內的第23頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月rFMM的方向垂直于

r與F構成的平面。上頁下頁退出返回同一點合力的力矩等于各分力力矩之和：第24頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月例2：一勻質細桿，長為l質量為m，在摩擦系數為

的水平桌面上轉動，求摩擦力的力矩M阻。第25頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月解：桿上各質元均受摩擦力作用，但各質元受的摩擦阻力矩不同，靠近軸的質元受阻力矩小，遠離軸的質元受阻力矩大，細桿的質量密度質元質量質元受阻力矩上頁下頁退出返回第26頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月細桿受的阻力矩由細桿質量有上頁下頁退出返回第27頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月二、剛體對定軸的角動量質點對定軸的角動量：大小為：剛體對定軸的角動量：剛體各質點對軸的角動量的矢量和。第28頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月1.第一定律：一個可繞固定軸轉動的剛體，當它所受的合外力矩等于零時，它將保持原有的角速度不變。三、轉動定律上頁下頁退出返回從實驗可知，剛體轉動的角加速度與合外力矩成正比，與剛體的轉動慣量成反比。2.第二定律剛體定軸轉動定律第29頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月與牛II比較：MFJma~~~

ìí???\

J反映剛體轉動的慣性

剛體作定軸轉動時，合外力矩等于剛體的轉動慣量與角加速度的乘積。注意幾點1.是矢量式2.具有瞬時性。第30頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月1.確定研究對象。2.受力分析（只考慮對轉動有影響的力矩）。3.列方程求解(平動物體列牛頓定律方程，轉動剛體列轉動定律方程和角量與線量關系)。四.解題方法及應用舉例第一類問題：已知運動情況和J，確定運動學和動力學的聯(lián)系----

，從而求出M或F。第二類問題：已知J和力矩M：求出運動情況a和

及F。第三類問題：已知運動情況和力矩M，求未知剛體轉動慣量J。第31頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月例3：長為l、質量為m的細桿，初始時的角速度為

0，由于細桿與桌面的摩擦，經過時間t后桿靜止，求摩擦力矩M阻。解：以細桿為研究對象，只有摩擦阻力產生力矩，由勻變速轉動公式：第一類問題第32頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月細桿繞一端的轉動慣量則摩擦阻力矩為：上頁下頁退出返回第33頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二類問題：已知J和力矩M：求出運動情況a和

及F。例3-6一細桿質量為m，長度為l，一端固定在軸上，靜止從水平位置自由擺下，求細桿下擺θ時角加速度。第34頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月例4：質量為m1和m2兩個物體，跨在定滑輪上，m2放在光滑的桌面上，滑輪半徑為R，質量為M，若輪軸摩擦可以忽略，輪子和繩子之間無相對滑動，求：m1下落的加速度，和繩子的張力T1、T2。T1T2第35頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月解：受力分析以為研究對象（1）以為研究對象

（2）以為研究對象（3）T1T2上頁下頁退出返回補充方程：（4）第36頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月聯(lián)立方程（1）---（4）求解得討論：當M=0時上頁下頁退出返回第37頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月ωoxωrdθdrdsox例3-8：如圖所示，有一勻質圓盤半徑為R,質量為m，在水平面上繞過圓心的垂直軸O轉動。若圓盤的初角速度為ω0，桌面的摩擦系數為μ并且與相對速度無關。求圓盤停下來需要的時間和停轉過程的角位移。第38頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第三類問題：已知運動情況和力矩M，求未知剛體轉動慣量J。例5：測輪子的轉動慣量用一根輕繩纏繞在半徑為R、質量為M的輪子上若干圈后，一端掛一質量為m的物體，從靜止下落h用了時間t,求輪子的轉動慣量J。h上頁下頁退出返回第39頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月h以m為研究對象以M為研究對象物體從靜止下落時滿足補充方程：聯(lián)立方程（1）----（4）求解得：上頁下頁退出返回第40頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3守恒定律一.力矩的功將F分解為切向力和法向力。剛體轉過d

,作用點的位移為ds,法向力Fn不作功，只有切向力作功，其中由功的定義第41頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月對于恒力矩作功恒力矩的功為力矩與角位移的乘積。由功率的定義：二、力矩的功率則第42頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月剛體在力矩的作用下轉過一定角度，力矩對剛體做了功，作功的效果是改變剛體的轉動狀態(tài)，改變了剛體的什么狀態(tài)？由力矩的功定義：三、剛體繞定軸轉動的動能定理其中力矩則功第43頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月剛體定軸轉動的動能定理剛體轉動動能定理：合外力矩對剛體作功等于剛體轉動動能的增量。第44頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月1.確定研究對象。2.受力分析，確定作功的力矩。3.確定始末兩態(tài)的動能，Ek0、Ek。4.列方程求解。四、應用轉動動能定理解題方法上頁下頁退出返回第45頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月例：例3-6題中求細桿擺到鉛直位置時的角速度。第46頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月解：以桿為研究對象，只有重力產生力矩，且重力矩隨擺角變化而變化。重力矩作功：上頁下頁退出返回第47頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月始末兩態(tài)動能：由動能定理：第48頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月五、物體系的機械能守恒定律

當系統(tǒng)中既有平動的物體又有轉動的剛體，且系統(tǒng)中只有保守力作功，其它力與力矩不作功時，物體系的機械能守恒。其中第49頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-10：如圖，輕繩繞在定滑輪A，B（質量分別為m1和m2）上，一端掛有重物C（質量為m3），A、B滑輪均可當做勻質圓盤，半徑分別為R1和R2，求物體C由靜止下落h處的速度。hAB第50頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月1、沖量矩

在質點運動中介紹了沖量的概念----力對時間的累積效應。

在剛體轉動中引入沖量矩的概念----力矩對時間的累積效應。沖量：沖量矩：單位：牛頓·米·秒（N·m·s）上頁下頁退出返回六角動量守恒定律第51頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月質點的動量定理由沖量矩定義：其中上頁下頁退出返回其中第52頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月角動量定理：剛體受到的沖量矩等于剛體角動量的增量。上頁下頁退出返回2、角動量定理第53頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第54頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月3、角動量守恒定律第55頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月質點系的動量守恒定律：當合外力為0時，動量守恒。時,當對于剛體所受的合外力矩為0時,又如何呢？由角動量定理：上頁下頁退出返回第56頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月角動量守恒定律:當剛體受到的合外力矩為0時，剛體的角動量守恒。上頁下頁退出返回條件：當剛體受到的合外力矩為0時，第57頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第58頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月②.對于非剛體，轉動慣量J發(fā)生變化的物體，由于J=C，上頁下頁退出返回①.對于剛體定軸轉動，轉動慣量J為常數，角速度

也為常數，

=

0即剛體在受合外力矩為0時，原來靜止則永遠保持靜止，原來轉動的將永遠轉動下去。明確幾點第59頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月上頁下頁退出返回第60頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第61頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月

1

2例8：人與轉盤的轉動慣量J0=60kg·m2,伸臂時臂長為l1=1m，收臂時臂長為l2=0.2m。人站在摩擦可不計的自由轉動的圓盤中心上，每只手抓有質量m=5kg的啞鈴。伸臂時轉動角速度

1=3rad·s-1,求收臂時的角速度

2。（人本身手臂收縮引起的轉動慣量變化不計）上頁下頁退出返回第62頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月

1

2解：合外力矩為0，角動量守恒，J0=60kg·m2，l1=1m，l2=0.2mm=5kg，

1

=3rad·s-1上頁下頁退出返回第63頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月由轉動慣量的減小，角速度增加。在此過程中機械能不守恒，因為人收臂時做功。上頁下頁退出返回

1=3rad·s-1第64頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月解：兩飛輪通過摩擦達到共同速度,合外力矩為0，系統(tǒng)角動量守恒。共同角速度例9：兩個共軸飛輪轉動慣量分別為J1、J2，角速度分別為

1、

2，求兩飛輪嚙合后共同的角速度

。嚙合過程機械能損失。上頁下頁退出返回第65頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月其中共同角速度嚙合過程機械能損失上頁下頁退出返回第66頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月例10:長為l，質量為m0的細棒，可繞垂直于一端的水平軸自由轉動。棒原來處于平衡狀