第04講直線與圓圓與圓的位置關(guān)系（原卷版）

第04講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1．直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置關(guān)系的判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,x－a2＋y－b2＝r2))消元得到一元二次方程根的判別式ΔΔ>0Δ＝0Δ<02．圓與圓位置關(guān)系的判定(1)幾何法若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|(r1≠r2)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)(2)代數(shù)法通過兩圓方程組成方程組的公共解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圓C1方程,圓C2方程))eq\o(→,\s\up7(消元))一元二次方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0?相交,Δ＝0?內(nèi)切或外切,Δ<0?內(nèi)含或外離.))一．直線與圓的位置關(guān)系例1．（1）直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交且過圓心 B．相切C．相離 D．相交但不過圓心（2）直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0的位置關(guān)系為（

）A．相交、相切或相離B．相交或相切C．相交D．相切（3）已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是()A．相切B．相交C．相離D．不確定【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．（4）已知圓上僅存在一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．-2 B． C．-1 D．0（5）已知圓與直線相切，則（

）A． B．C．，或 D．，或二．圓的切線、弦長(zhǎng)問題命題點(diǎn)1圓的切線問題例2．（1）過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（

）A． B． C． D．或（2）與3x＋4y＝0垂直，且與圓(x－1)2＋y2＝4相切的一條直線是()A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6（3）從圓外一點(diǎn)向圓引切線，則此切線的長(zhǎng)是（

）A． B．2 C． D．（4）過點(diǎn)作圓的切線交坐標(biāo)軸于點(diǎn)、，則_________.（5）若斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，則____________．（6）已知過點(diǎn)的直線與圓C：相切，且與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為___________.（7）已知圓．求滿足下列條件的切線方程．(=1\*romani)過點(diǎn)；(=2\*romanii)過點(diǎn)．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：求過某一點(diǎn)的圓的切線方程(1)點(diǎn)(x0，y0)在圓上．①先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點(diǎn)斜式可得切線方程．②如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0.(2)點(diǎn)(x0，y0)在圓外．①設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程．②當(dāng)用此法只求出一個(gè)方程時(shí)，另一個(gè)方程應(yīng)為x＝x0，因?yàn)樵谏厦娼夥ㄖ胁话ㄐ甭什淮嬖诘那闆r．③過圓外一點(diǎn)的切線有兩條．一般不用聯(lián)立方程組的方法求解．命題點(diǎn)2弦長(zhǎng)問題例3．（1）已知圓C的圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)，則圓C被直線截得的弦長(zhǎng)為（

）A．B．C．D．（2）已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．5（3）（多選）已知圓M的一般方程為x2＋y2－8x＋6y＝0，則下列說法中正確的是()A．圓M的圓心為(4，－3)B．圓M被x軸截得的弦長(zhǎng)為8C．過原點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為8D．圓M被y軸截得的弦長(zhǎng)為6（4）設(shè)直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為，則_____（5）已知直線，直線過點(diǎn)且與直線相互垂直，圓，若直線與圓C交于M，N兩點(diǎn)，則_________．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)求法幾何法利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，弦長(zhǎng)l之間的關(guān)系r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2解題代數(shù)法若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)公式法設(shè)直線l：y＝kx＋b與圓的兩交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得弦長(zhǎng)l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])（6）已知圓心在軸正半軸上的圓過原點(diǎn)，且與直線相交所得的弦長(zhǎng)為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________________.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系常用幾何法．(2)處理直線與圓的弦長(zhǎng)問題時(shí)多用幾何法，即弦長(zhǎng)的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形．(3)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問題．三．圓與圓的位置關(guān)系命題點(diǎn)1圓與圓的位置關(guān)系例4．（1）圓與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．和 B．和C．和 D．和（2）已知圓與圓外切，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B．4 C．6 D．8（3）已知圓的圓心在直線上，點(diǎn)與都在圓上，圓，則與的位置關(guān)系是___________.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：判斷兩圓的位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對(duì)值，半徑之和進(jìn)行比較，進(jìn)而判斷出兩圓的位置關(guān)系，這是在解析幾何中主要使用的方法．(2)代數(shù)法：將兩圓的方程組成方程組，通過解方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)進(jìn)而判斷兩圓位置關(guān)系．一般不采用代數(shù)法．（4）寫出一個(gè)半徑為1，且與圓和圓均外切的圓的方程__________．（5）已知曲線，圓，當(dāng)曲線C與圓M有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)______命題點(diǎn)2圓的公共弦例5．（1）已知圓與圓的公共弦長(zhǎng)為2，則m的值為（

）A． B． C． D．3（2）圓：與圓：的公共弦長(zhǎng)為________.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：公共弦長(zhǎng)的求法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng)．②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．（3）圓與圓的公共弦所在直線方程為___________.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：兩圓的公共弦問題：若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.即若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到．（4）已知圓與圓的公共弦經(jīng)過點(diǎn)M，則__________．命題點(diǎn)2圓的公切線例6．（1）圓與圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4（2）（多選）已知，，則下列說法正確的是（

）A．若，兩圓的公切線過點(diǎn)B．若，兩圓的相交弦長(zhǎng)為C．若兩圓的一個(gè)交點(diǎn)為，分別過點(diǎn)的兩圓的切線相互垂直，則D．若時(shí)，兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)含（3）已知圓與圓恰有兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍________．（4）寫出與圓和都相切的一條直線方程____________．1．圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2x+y+1＝0的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相切 C．相交 D．以上都有可能2．當(dāng)圓截直線所得的弦最長(zhǎng)時(shí)，則m的值為（

）A． B．-1 C．1 D．3．若直線與圓相離，則過點(diǎn)的直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定4．直線和圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切或相交 C．相離 D．相切5．若過點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．6．已知直線與圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則當(dāng)弦最短時(shí)，圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．相離 C．外切 D．相交7．已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與圓相切，則的方程為（

）A． B． C． D．9．過直線上的點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．10．已知直線及圓，過直線l上任意一點(diǎn)P作圓C的一條切線PA，A為切點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．11．若直線與圓相切，則的值是（

）A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或1212．一條光線從點(diǎn)（－2，－3）射出，經(jīng)y軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（

）A．或 B．或 C．或 D．或13．若曲線y＝與直線y＝k(x－2)＋4有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A．B．C．(1，＋∞)D．(1，3]14．若直線與圓相切，則（）A． B． C． D．15．過圓上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．16．已知為圓內(nèi)一定點(diǎn)，過點(diǎn)P且被圓所截得的弦最短的直線方程為（

）A． B．C． D．17．已知圓與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則（

）A．1 B．4 C．9 D．1或918．已知圓，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)在圓內(nèi)B．若圓與圓恰有三條公切線，則C．直線與圓相離D．圓關(guān)于對(duì)稱19．已知圓和圓，其中，則使得兩圓相交的一個(gè)充分不必要條件可以是（

）A． B． C． D．20．已知圓與圓交于A，B兩點(diǎn)，則四邊形的面積為（

）A．12 B．6 C．24 D．21．圓與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則（）A．4 B．5 C．6 D．4或622．在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為．則直線的方程為（

）A． B．C． D．23．若圓與圓的公共弦AB的長(zhǎng)為1，則直線AB的方程為（

）A． B．C． D．24．圓與圓的公共弦長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．4 D．825．（多選）已知直線與圓，則（

）A．直線與圓一定相交 B．直線過定點(diǎn)C．圓心到直線距離的最大值是 D．使得圓心到直線的距離為2的直線有2條26．（多選）已知，則下述正確的是（

）A．圓C的半徑 B．點(diǎn)在圓C的內(nèi)部C．直線與圓C相切 D．圓與圓C相交27．（多選）已知圓與直線，則（

）A．直線與圓必相交 B．直線與圓不一定相交C．直線與圓相交所截的最短弦長(zhǎng)為 D．直線與圓可以相切28．（多選）已知圓，直線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，直線分別于圓切于點(diǎn).則下列說法正確的是（

）A．四邊形的面積最小值為B．最短時(shí)，弦長(zhǎng)為C．最短時(shí)，弦直線方程為D．直線過定點(diǎn)29．過直線上動(dòng)點(diǎn)P作圓的一條切線，切點(diǎn)為A，若使得的點(diǎn)P有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為___________．30．直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)_______．31．已知直線：與圓：相交于兩點(diǎn)，若，則的值為________．32．過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程是______．33．從圓外一點(diǎn)向圓引切線，則此切線的長(zhǎng)為______．34．已知直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是________．35．已知圓與直線相切，則___________.36．已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則______.37．已知拋物線，圓，直線與交于A，B兩點(diǎn)，與交于M，N兩點(diǎn)，若，則______．38．直線經(jīng)過點(diǎn)，與圓相交截得的弦長(zhǎng)為，則直線的方程為________．39．已知直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)．若為直角三角形，則的值為________．40．已知圓與圓外切，此時(shí)直線被圓所截的弦長(zhǎng)為__________．41．圓：和圓：交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的垂直平分線的方程是______.42．已知圓和圓外切，則實(shí)數(shù)的值為______．43．已知圓，圓.(1)試判斷圓C與圓M的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若過點(diǎn)的直線l與圓C相切，求直線l的方程.44．已知過點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)．(1)求k的取值范圍；(2)若＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.45．已知圓經(jīng)過和兩點(diǎn)，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)從點(diǎn)向圓C作切線，求切線方程．46．已知圓C：．(1)若點(diǎn)，求過點(diǎn)的圓的切線方程；(2)若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，求直線的方程．47．已知圓C：，直線l：.(1)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l與圓C相切；(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|