江蘇省南通市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期初調(diào)研數(shù)學(xué)試題（含解析）

第第頁江蘇省南通市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期初調(diào)研數(shù)學(xué)試題（含解析）2023-2024學(xué)年度如皋市高三年級第一學(xué)期期初調(diào)研

數(shù)學(xué)試題

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）

1.集合，，則下列說法正確的是（）

AB.C.D.M，N關(guān)系不確定

2.已知命題，，則的一個必要不充分條件是（）

A.B.

C.D.

3.設(shè)，，是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，有下列命題中，真命題為（）

A.若，，則B.若，，則

C.若，，則D.若，，則

4.在中，，且，是的中點，是線段的中點，則的值為（）

A.0B.C.D.2

5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，則的值為（）

A.B.

C.D.

6.點是曲線上任意一點，則點到直線的最短距離為（）

A.B.C.D.

7.已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列滿足，，則的最小值為（）．

A.B.5C.D.

8.已知，若，，則（）

A.B.C.D.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．

9.已知平面向量，，，則下列說法正確是（）

A.若，則向量在上投影為

B.若，則，

C若，，則

D.若，則向量與的夾角為銳角

10.已知函數(shù)的最小正周期為，則下列各選項正確的是（）

A.

B.直線是圖像的一條對稱軸

C.在上單調(diào)遞增

D.將圖像上所有的點向右平移個單位長度，可得到的圖像

11.如圖，矩形ABCD中，，E是邊AB的中點，將沿直線DE翻折成（點不落在底面BCDE內(nèi)），連接、.若M為線段的中點，則在的翻折過程中，以下結(jié)論正確的是（）

A.平面恒成立B.存在某個位置，使

C.線段BM的長為定值D.

12.已知函數(shù)，的定義域均為是奇函數(shù)，且，，則（）

A.為奇函數(shù)B.

C.D.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13.中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，.若，，的面積，則___________.

14.已知是公比為)的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則__________．

15.已知在直三棱柱中，，，，則點到平面的距離為______；若三棱錐的頂點都在同一個球面上，則該球體積為______．

16.設(shè)函數(shù)，若，恒成立，則的取值范圍是___________．

四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17.已知向量，，其中，且.

（1）求的值；

（2）若，且，求角.

18.已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的值域；

（2）若在上最小值為，求實數(shù)的值.

19.在中，．

（1）若，求；

（2）設(shè)是邊上一點，若，，求．

20.如圖，在圓臺中，分別為上、下底面直徑，且，，為異于一條母線．

（1）若為的中點，證明：平面；

（2）若，求二面角的正弦值．

21.已知數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且滿足．將數(shù)列與的公共項按照由小到大的順序排列，構(gòu)成新數(shù)列．

（1）證明：

（2）求數(shù)列的前n項和．

22.已知函數(shù).

（1）若，求的值；

（2）證明：當時，成立

1.集合，，則下列說法正確的是（）

A.B.C.D.M，N關(guān)系不確定

【答案】B

【解析】

【分析】先化簡集合，進而求得集合之間的關(guān)系.

【詳解】，

，則

故選：B

2.已知命題，，則的一個必要不充分條件是（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】分離參數(shù)，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求解的最值問題，從而求出充要條件，根據(jù)必要不充分條件的定義求解即可.

【詳解】因為，，所以在上恒成立，

只需在上最大值小于，

因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

其中，故在上的最大值為，所以，

所以是的充要條件，因為，但，

所以是的一個必要不充分條件，B正確；

其他兩個選項也既不是充分也不必要條件.

故選：B

3.設(shè)，，是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，有下列命題中，真命題為（）

A.若，，則B.若，，則

C.若，，則D.若，，則

【答案】C

【解析】

【分析】由線線垂直、線面平行、線面垂直、面面垂直的理論逐一判斷即可求解.

【詳解】對于A選項：不妨設(shè)平面，，平面，平面，則有，，但與不垂直，故A選項錯誤.

對于B選項：若，，則或與相交，即與不一定垂直，故B選項錯誤.

對于C選項：設(shè)平面且，若，則有，

又，所以，結(jié)合、平面，所以有，故C選項正確.

對于D選項：若，，則或，故D選項錯誤.

故選：C.

4.在中，，且，是的中點，是線段的中點，則的值為（）

A.0B.C.D.2

【答案】C

【解析】

【分析】建系求出點的坐標，應(yīng)用數(shù)量積的坐標運算即可.

【詳解】如圖，以為原點，，所在直線分別為軸，軸建立直角坐標系，則，，，

∵是的中點，∴，∵是線段的中點，∴，

∴，，，∴，

∴.

故選：C.

5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，則的值為（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】由可得，求出周期，再利用周期公式可求出，再由可求出的值.

【詳解】由題意可得，得，所以，得，

所以，

因為的圖象過點，

所以，得，

所以，

所以，或，

所以，或，

因為，所以，

故選：C

6.點是曲線上任意一點，則點到直線的最短距離為（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】過點做切線和直線平行時距離最短，求導(dǎo)數(shù)令其等于1，找到點的坐標，再由點到直線的距離公式可得解.

【詳解】當過點做切線和直線平行時距離最短.

，令，解得，所以

最短距離為：.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

7.已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列滿足，，則的最小值為（）．

A.B.5C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列通項公式可求得公差和，采用累加法可求得，再判斷單調(diào)性即可計算作答.

【詳解】由數(shù)列滿足，，

根據(jù)等差數(shù)列的定義知，數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列，

所以，，

當時，，

又滿足，，

所以.

設(shè)，

根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.

又，，

所以，當時，有最小值為.

故選：D.

8.已知，若，，則（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】先判斷的奇偶性和單調(diào)性，通過奇偶性把，，轉(zhuǎn)化在同一單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性比較即可.

【詳解】由題意，

故為偶函數(shù)，

當時，，故，

所以，，

所以，

故當時，單調(diào)遞增，

，

因，所以，即，

設(shè)函數(shù)，

，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，

所以，即，

所以，

所以，即，

故選：B

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．

9.已知平面向量，，，則下列說法正確的是（）

A.若，則向量在上的投影為

B.若，則，

C.若，，則

D.若，則向量與的夾角為銳角

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的投影坐標公式求解判斷A，根據(jù)數(shù)量積坐標公式計算判斷B，根據(jù)向量共線坐標表示判斷C，根據(jù)數(shù)量積的坐標公式計算判斷D.

【詳解】對于A，因為，所以，又，

所以向量在上的投影為，正確；

對于B，因為，且，，，

所以，即，該方程有無數(shù)組解，錯誤；

對于C，因為，，且，，，

則，，即，，所以，

當時，，當時，，錯誤；

對于D，，，若時，，所以，

此時與為相反向量，當時，，

則向量與的夾角為銳角，正確；

故選：AD

10.已知函數(shù)的最小正周期為，則下列各選項正確的是（）

A.

B.直線是圖像的一條對稱軸

C.在上單調(diào)遞增

D.將圖像上所有的點向右平移個單位長度，可得到的圖像

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)輔助角公式和函數(shù)的最小正周期可得，然后利用的性質(zhì)可得.

【詳解】，

因最小正周期為，，故，得，

故，故A正確；

選項B：,

直線不是圖像的一條對稱軸，故B錯誤；

選項C：

令，，

得，，

故的單調(diào)遞減區(qū)間為，，

當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故C錯誤；

選項D：

將的圖像上所有的點向右平移個單位長度，可得到，

故D錯誤

故選：A

11.如圖，矩形ABCD中，，E是邊AB的中點，將沿直線DE翻折成（點不落在底面BCDE內(nèi)），連接、.若M為線段的中點，則在的翻折過程中，以下結(jié)論正確的是（）

A.平面恒成立B.存在某個位置，使

C.線段BM的長為定值D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)面面平行的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、棱錐體積公式、余弦定理逐一判斷即可.

【詳解】設(shè)的中點為，連接、，

因為M為線段的中點，所以，

而平面，平面，

所以平面，

因為在矩形ABCD中，，的中點為，所以，

同理可證平面，因為，平面，

所以平面平面，而平面，

所以有平面恒成立，因此選項A正確；

設(shè)點在底面的射影為，連接，

因為在矩形ABCD中，，E是邊AB的中點，

所以有，因此有，而，

顯然與不垂直，

假設(shè)存在某個位置，使，

因平面，平面，

所以，因為，平面，

所以平面，而平面，

所以，這與與不垂直，因此選項B不正確；

在矩形ABCD中，，E是邊AB的中點，

所以，顯然有，

由余弦定理可知：，

因為，，

所以線段BM的長為定值，因此選項C正確；

，因此選項D不正確，

故選：AC

12.已知函數(shù)，的定義域均為是奇函數(shù)，且，，則（）

A.為奇函數(shù)B.

C.D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)已知等式關(guān)系結(jié)合函數(shù)的奇偶性與對稱性即可求得函數(shù)均是周期為4的周期函數(shù)，利用周期性與對稱性計算，逐項判斷即可得答案.

【詳解】因為，所以，又，則有；

因為是奇函數(shù)，所以，

可得，即有，

所以，

所以是周期為4的周期函數(shù)，

故也是周期為4的周期函數(shù)，

因，所以，所以為偶函數(shù)，故A錯誤；

由是奇函數(shù)，則，所以，

又，

所以，所以C選項正確；

由，得，所以B選項正確；

因為，

，

所以，

所以，所以D選項正確．

故選：BCD．

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13.中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，.若，，的面積，則___________.

【答案】

【解析】

分析】根據(jù)三角形面積公式求出，再利用余弦定理即可得到答案.

【詳解】根據(jù)三角形面積公式得，解得，

根據(jù)余弦定理得，解得.

故答案為：.

14.已知是公比為)的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則__________．

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列列方程，再解方程作答.

【詳解】在等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則，

即，而，整理得，因為，故解得

故答案為：1

15.已知在直三棱柱中，，，，則點到平面的距離為______；若三棱錐的頂點都在同一個球面上，則該球體積為______．

【答案】①.②.

【解析】

【分析】利用等體積法，結(jié)合題干數(shù)據(jù)可求解點到平面的距離，將直三棱柱補全為以為三相鄰棱的長方體，可知長方體的外接球即為直三棱柱的外接球，即為三棱錐的外接球，求解即可.

【詳解】

由題意，點到平面的距離可以看作三棱錐的高，不妨記為，

由于直三棱柱，故平面，

故，

，即，，

故，解得，

將直三棱柱補全為以為三相鄰棱的長方體，可知長方體的外接球即為直三棱柱的外接球，即為三棱錐的外接球，

故外接球的半徑，體積

故答案為：，.

16.設(shè)函數(shù)，若，恒成立，則的取值范圍是___________．

【答案】

【解析】

【分析】當時，符合題意；當，構(gòu)造函數(shù)，可得，再構(gòu)造，利用，可得答案.

【詳解】當時，若，則，恒成立，符合題意；

當，，所以，

構(gòu)造函數(shù)，，時，，

所以在上單調(diào)遞增，

因為，所以，則時，，

所以，

，令，

所以在上遞增，上遞減，

所以，

所以，又，所以，

綜上可得，

故答案為：.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵有兩點：（1）分類討論思想的應(yīng)用；（2）兩次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，并加以應(yīng)用.

四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17.已知向量，，其中，且.

（1）求的值；

（2）若，且，求角.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）利用平面向量垂直的坐標表示得到，再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，最后利用二倍角公式求解即可；

（2）先求出，進而得到，得到，再利用兩角差的正弦公式求解即可.

小問1詳解】

由，得，即.

代入，得，

又，則，.

則.

【小問2詳解】

由，，則.

又，所以.

則=

=.

由，得.

18.已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的值域；

（2）若在上最小值為，求實數(shù)的值.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出的解析式，令，設(shè)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求值域；

（2）先求出的解析式，令，設(shè)，對稱軸為，討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，可得最小值，即可求解.

【小問1詳解】

因為，所以，

令，則，當且僅當即時，等號成立，

所以，記，

易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，

即的值域為，所以函數(shù)的值域為.

【小問2詳解】

，

令，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)知，函數(shù)在單調(diào)遞增，

則，記，對稱軸為，

當時，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，

解得，不合題意舍去；

當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以的最小值為，解得或舍去；

綜上可得，.

19.在中，．

（1）若，求；

（2）設(shè)是邊上一點，若，，求．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知條件及三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和降冪公式即可求解；

（2）利用二倍角公式及正弦定理，結(jié)合余弦定理及同角函數(shù)的基本關(guān)系，再利用兩角差的正弦公式及三角形的面積公式即可求解.

【小問1詳解】

∵在中，，

∴，

∵，

∴，即，∴，∴或，

∵，

∴．

【小問2詳解】

∵，

∴，

由正弦定理得，

又由余弦定理得，

∴，即，

∴，

∵為內(nèi)角，

∴．

∵，

∴，，

又，

∴，

∴，

∴，

∴．

20.如圖，在圓臺中，分別為上、下底面直徑，且，，為異于的一條母線．

（1）若為的中點，證明：平面；

（2）若，求二面角的正弦值．

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

【分析】（1）如圖根據(jù)題意和圓臺的結(jié)構(gòu)可知平面平面，有面面平行的性質(zhì)可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得為中點，則，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；

（2）建立如圖空間直角坐標系，利用空間向量法求出平面、平面的法向量，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義和同角的三角函數(shù)關(guān)系計算即可求解.

【小問1詳解】

如圖，連接．

因為在圓臺中，上、下底面直徑分別為，且，

所以為圓臺母線且交于一點P，所以四點共面.

在圓臺中，平面平面，

由平面平面，平面平面，得.

又，所以，

所以，即為中點．

在中，又M為的中點，所以．

因為平面，平面，

所以平面；

【小問2詳解】

以為坐標原點，分別為軸，過O且垂直于平面的直線為軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系．

因為，所以．

則．

因為，所以．

所以，所以．

設(shè)平面的法向量為，

所以，所以，

令，則，所以，又，

設(shè)平面的法向量為，

所以，所以，

令，則，所以，

所以．

設(shè)二面角的大小為，則，

所以．

所以