數(shù)量關(guān)系式是解決分?jǐn)?shù)實(shí)際問題的一把“鑰匙”

江蘇南京市象山小學(xué)（210000）管景強(qiáng)［摘要］運(yùn)用數(shù)量關(guān)系式，可以讓我們找到解決分?jǐn)?shù)實(shí)際問題的“鑰匙”。那么，怎樣才能準(zhǔn)確找到解決分?jǐn)?shù)實(shí)際問題的這把“鑰匙”呢？通過案例分析，發(fā)現(xiàn)對(duì)分率的理解與分析是關(guān)鍵。因此，課堂教學(xué)中，教師要教會(huì)學(xué)生準(zhǔn)確找出數(shù)量關(guān)系式的方法，提高學(xué)生解決分?jǐn)?shù)實(shí)際問題的能力。［關(guān)鍵詞］數(shù)量關(guān)系式分?jǐn)?shù)實(shí)際問題解題能力［中圖分類號(hào)］g623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］a ［文章編號(hào)］1007-9068（2015）05-032典型的分?jǐn)?shù)實(shí)際問題都隱含著基本的數(shù)量關(guān)系式，即“單位'1'的量X分率=分率所對(duì)應(yīng)的數(shù)量”，用好這個(gè)數(shù)量關(guān)系式，能夠讓我們找到解決分?jǐn)?shù)實(shí)際問題的“鑰匙”。那么，怎樣才能準(zhǔn)確找到解決分?jǐn)?shù)實(shí)際問題的這把“鑰匙”呢？其中，對(duì)分率的理解與分析是關(guān)鍵。一、理解關(guān)系句中分?jǐn)?shù)的意義，準(zhǔn)確找出數(shù)量關(guān)系式現(xiàn)行教材已淡化分率這一概念，可在分?jǐn)?shù)實(shí)際問題中，一般都含有用分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)數(shù)量間倍比關(guān)系的句子（可稱為關(guān)系句），而句中的分?jǐn)?shù)也是分率。它表示的就是“單位'1'的量”“分率所對(duì)應(yīng)的數(shù)量”這兩個(gè)數(shù)量之間的倍比關(guān)系，即“分率所對(duì)應(yīng)的數(shù)量”是“單位'1'的量”的幾分之幾。我們從關(guān)系句中的分率入手，明確誰是誰的幾分之幾，就能輕松找出分?jǐn)?shù)實(shí)際問題中的基本數(shù)量關(guān)系式。1.標(biāo)準(zhǔn)句式關(guān)系句中可以明顯看出誰是誰的幾分之幾。如“黑兔只數(shù)是白兔的2/3”，從中可以看出這里的2/3是把白兔的只數(shù)看作單位“1”，指的是黑兔只數(shù)是白兔只數(shù)的2/3；反過來說，白兔只數(shù)的2/3就是黑兔的只數(shù)。因此，此題的數(shù)量關(guān)系式就可以列為“白兔X2/3=黑兔”。2.省略句式關(guān)系句中隱含或省略了一些關(guān)鍵詞語，這時(shí)就需要先補(bǔ)充完善關(guān)系句后再進(jìn)行分析。如“同學(xué)們?nèi)ブ矘?，第一天植?/5”，這里可以讓學(xué)生先想想第一天植的是誰的2/5,待學(xué)生弄清“第一天植樹的棵數(shù)是植樹總棵數(shù)的2/5”后，自然就可以列出題中的數(shù)量關(guān)系式為“總棵數(shù)X2/5=第一天植的”。再如“用去一些后，還剩3/7”，這里可以讓學(xué)生先想想誰是誰的3/7，因?yàn)橛小坝萌ヒ恍┖蟆边@幾個(gè)字的干擾，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)兩種觀點(diǎn)：一是還剩的是原有的3/7；二是用去的是原有的3/7。接著，教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比分析，得出正確的數(shù)量關(guān)系式為“原有的X3/7=還剩的”。另外，“一個(gè)數(shù)量比另一個(gè)數(shù)量多幾分之幾或少幾分之幾”的問題，也是學(xué)生最容易混淆和出錯(cuò)的。如“紅花的朵數(shù)比黃花多3/5”，實(shí)際上這句話補(bǔ)充完整應(yīng)該是“紅花比黃花多的朵數(shù)是黃花朵數(shù)的3/5”，要讓學(xué)生理解這里的3/5是把黃花的朵數(shù)看作單位“1”，平均分成了5份，紅花比黃花多的朵數(shù)是這樣的3份（可以借助線段圖理解），數(shù)量關(guān)系式也就可以列為“黃花X3/5=紅花比黃花多的”。不過，需要注意的是，分?jǐn)?shù)實(shí)際問題中有的分?jǐn)?shù)并不表示數(shù)量間的倍比關(guān)系，而是用分?jǐn)?shù)表示具體數(shù)量。3.區(qū)別分?jǐn)?shù)表示的是分率還是具體數(shù)量如有這樣一道題:“有兩根彩帶，第一根3米，第二根比第一根長1/4米，第二根長多少米？”有學(xué)生算出的結(jié)果是3?米或3.75米，怎么得來的呢？實(shí)際上，學(xué)生是把這里的“長1/4米”當(dāng)作“長1/4”來計(jì)算了，這里的“1/4米”是指具體數(shù)量而不是分率。區(qū)別分?jǐn)?shù)表示的是分率還是具體數(shù)量有一個(gè)簡單的辦法，就是看分?jǐn)?shù)后面有沒有單位名稱，沒有單位名稱的話就是分率，表示的是數(shù)量間的關(guān)系；有單位名稱的話，就表示具體數(shù)量。如果教學(xué)僅到此就止步，會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生遇到這樣的問題時(shí)還會(huì)犯類似的錯(cuò)誤，因此我們應(yīng)該讓學(xué)生弄清“1/4”與“1/4米”之間的本質(zhì)不同。在教學(xué)中，我們可以經(jīng)常進(jìn)行這樣的練習(xí)：“兩根同樣長的鋼管，第一根用去2/5米，第二根用去2/5。哪一根用去的長一些？”（蘇教國標(biāo)版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第51頁的思考題）像這樣的問題，答案不是唯一的。通過討論，教師要讓學(xué)生清楚“用去2/5米”中的“2/5米”是把“1米”看作單位“1”平均分成5份，表示其中的2份，化成小數(shù)可以是0.4米，用分米作單位是4分米，用厘米作單位就是40厘米，這是一個(gè)具體的、確定的、實(shí)實(shí)在在的長度，所以是個(gè)具體的數(shù)量。而“用去2/5”中的“2/5”是把一根鋼管看作單位“1”，“2/5”是針對(duì)這根鋼管而言的，表示的是用去的長度與這根鋼管長度這兩個(gè)數(shù)量間的倍比關(guān)系，因?yàn)殇摴艿拈L度是未知的，所以這根鋼管的2/5也是未知的，從而得到三種不同的結(jié)果：當(dāng)這根鋼管的長度大于1米時(shí)，用去的長度就大于1米的2/5,即大于2/5米；當(dāng)這根鋼管的長度等于1米時(shí)，用去的長度就等于1米的2/5,即等于2/5米；當(dāng)這根鋼管的長度小于1米時(shí)，用去的長度就小于1米的2/5,即小于2/5米。學(xué)生產(chǎn)生這種不確定性的原因是不理解“2/5米”與“2/5”之間的差異，當(dāng)學(xué)生有了深刻的認(rèn)識(shí)后自然會(huì)認(rèn)識(shí)到單位名稱的重要性，進(jìn)而從本質(zhì)上理解了分?jǐn)?shù)后面帶不帶單位名稱的區(qū)別，正確分析出問題中數(shù)量間的關(guān)系。4.找出隱含的數(shù)量關(guān)系式從關(guān)系句中的分率入手，明確誰是誰的幾分之幾，可以找出分?jǐn)?shù)實(shí)際問題的基本數(shù)量關(guān)系式。實(shí)際上，結(jié)合關(guān)系句中的已知信息，通過數(shù)學(xué)聯(lián)想，還可以找出題中隱含的信息，從而找出隱含的數(shù)量關(guān)系式。如看到“一根繩子，用去1/3”時(shí)，可以想到“這根繩子還剩1—1/3”，就能得到數(shù)量關(guān)系式“一根繩子XC1—1/3）=還剩的”；看到“公雞的只數(shù)占雞總數(shù)的2/5”時(shí)，可以想到“母雞只數(shù)占雞總數(shù)的1—2/5”，從而得到數(shù)量關(guān)系式“雞總數(shù)X（1—2/5）=母雞只數(shù)”;看到“現(xiàn)價(jià)比原價(jià)便宜1/3”，可以想到“現(xiàn)價(jià)應(yīng)該是原價(jià)的1—1/3”，得到數(shù)量關(guān)系式“原價(jià)X（1—1/3）=現(xiàn)價(jià)”；看到“一堆煤，第一天用去1/7,第二天用去2/5”，可以想到“還剩的”是這堆煤的1—1/7—2/5,可以得到數(shù)量關(guān)系式“一堆煤X（1—1/7—2/5）=還剩的”……學(xué)生分析關(guān)系句時(shí)往往通過關(guān)鍵詞，如“用去”“便宜”“還剩”等，進(jìn)行數(shù)學(xué)聯(lián)想找出題中隱含的數(shù)量關(guān)系式。這里，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生，如果感到解決問題有困難，可以通過畫線段圖的方法，尋找數(shù)量與分率間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來確定題中的數(shù)量關(guān)系式。如上面例中看到“一根繩子，用去1/3”“現(xiàn)價(jià)比原價(jià)便宜1/3”等，就可以通過畫線段圖來找出分率與數(shù)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系。如下圖：從圖中可以明顯看出，“用去的長度”對(duì)應(yīng)的分率是1/3,“還剩的長度”對(duì)應(yīng)的分率是1—1/3,從而得到隱含的數(shù)量關(guān)系式為“一根繩子X（1—1/3）=還剩的”；“現(xiàn)價(jià)比原價(jià)便宜的”對(duì)應(yīng)的分率是1/3，“現(xiàn)價(jià)”對(duì)應(yīng)的分率是1—1/3，從而得到隱含的數(shù)量關(guān)系式為“原價(jià)X（1—1/3）=現(xiàn)價(jià)”。二、運(yùn)用數(shù)量關(guān)系式，解決分?jǐn)?shù)實(shí)際問題例1.世界上最小的洲是大洋洲，面積大約900萬平方千米。（1）歐洲的面積是大洋洲的10/9,是北美洲的5/12。（2）北美洲的面積是亞洲的6/11,是南極洲的12/7。（3）南美洲的面積是北美洲的3/4,是非洲的3/5。分別算出各個(gè)洲的面積。（蘇教國標(biāo)版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第65頁第12題）本題是“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”與“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”這兩種分?jǐn)?shù)實(shí)際問題的混合運(yùn)用，題目中條件多，數(shù)量間的關(guān)系復(fù)雜，到底是用分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算，還是用分?jǐn)?shù)除法或方程計(jì)算，學(xué)生往往分辨不清。這時(shí)，理清各數(shù)量間的關(guān)系，通過列出數(shù)量關(guān)系式來分析問題就能取得很好的效果。為了節(jié)省時(shí)間，提高教學(xué)效率，列數(shù)量關(guān)系式時(shí)，教師可以要求學(xué)生簡寫數(shù)量關(guān)系式，已知量可以標(biāo)出在關(guān)系式下方，未知量可以用“？”表示。如下：（1）歐洲的面積是大洋洲的10/9,是北美洲的5/12。大洋洲X10/9=歐洲北美洲X5/12=歐洲900??1000（歐洲：900X10/9=1000）（北美洲：1000^5/12=2400,或列方程解）（2）北美洲的面積是亞洲的6/11,是南極洲的12/7。亞洲X6/11=北美洲南極洲X12/7=北美洲？2400?2400（亞洲：2400^6/11=4400,或列方程解）（南極洲：2400-12/7=1400,或列方程解）（3）南美洲的面積是北美洲的3/是非洲的3/5。北美洲X3/4=南美洲非洲X3/5=南美洲2400??1800（南美洲：2400X3/4=1800）（非洲：1800-3/5=3000,或列方程解）對(duì)列出的數(shù)量關(guān)系式進(jìn)行分析后，可使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系明朗化，解決問題的思路和方法也就明確了。例2.光明畜牧場養(yǎng)了900頭肉牛。（1）肉牛比奶牛少1/奶牛有多少頭？（2）奶牛比肉牛多1/4,奶牛有多少頭？本題是稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)實(shí)際問題，通過關(guān)系句，我們可以列出基本數(shù)量關(guān)系式來分析。如下：（1）奶牛XI/5=肉牛比奶牛少的（2）肉牛XI/4=奶牛比肉牛多的？？900?對(duì)于第（2）題，很明顯可以先求出奶牛比肉牛多的頭數(shù)，再加上900就可以求出奶牛的頭數(shù)。而對(duì)于第（1）題，列出的數(shù)量關(guān)系式中奶牛頭數(shù)與肉牛比奶牛少的頭數(shù)都是未知的，這樣就沒法算出奶牛的頭數(shù)。這時(shí)，通過關(guān)系句“肉牛比奶牛少1/5”還能想到：把奶牛的頭數(shù)看作單位“1”，肉牛比奶牛少的頭數(shù)是奶牛頭數(shù)的1/5,那么肉牛頭數(shù)就應(yīng)該是奶牛頭數(shù)的1—1/5,可以找出隱含的數(shù)量關(guān)系式“奶牛X（1—1/5）=肉?！薄Ｍ?，第（2）題也能找出類似形式的隱含數(shù)量關(guān)系式（如下）。（1）奶牛X（1—1/5）=肉牛（2）肉牛X（1+1/4）=奶牛？900900?從中可以發(fā)現(xiàn)，通過上面的數(shù)量關(guān)系式可以很容易算出所求的問題。例3.商店運(yùn)來一批水果，第一天賣出9/20，第二天賣出105千克，還剩全部水果的3/8,這批水果共有多少千克？通過關(guān)系句，可以列出如下的基本數(shù)量關(guān)系式。一批水果X9/20=第一天賣的一批水果X3/8=還剩的？？？？本題運(yùn)用上面的基本數(shù)量關(guān)系式解決不了所求問題，那么可以找隱含的數(shù)量關(guān)系式來分析解決問題。先畫出線段圖，如下。從圖中可以看出，“第二天賣出的105千克蘋果”對(duì)應(yīng)的分率應(yīng)該是這批水果的（1—9/20—3/8），可以通過數(shù)量關(guān)系式來解決本問題，列式為105：（1—9/20—