第三章隨機向量

第三章隨機向量第1頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月1、二維隨機向量及其分布函數定義1：設E是一個隨機試驗，它的樣本空間是={e}.設X(e)與Y(e)是定義在同一樣本空間上的兩個隨機變量,則稱(X(e),Y(e))為上的二維隨機向量或二維隨機變量。簡記為(X,Y).定義2：設(X,Y)是二維隨機向量,對于任意實數x,y，稱二元函數F(x,y)=P{X

x，Y

y}為二維隨機向量(X,Y)的分布函數或聯合分布函數。第一節(jié)二維隨機向量及其分布上一頁下一頁返回第2頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月(X,Y)的分布函數滿足如下基本性質：

(2)

0F(x,y)1(1)F(x,y)是變量x,y的不減函數.

上一頁下一頁返回第3頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月2、二維離散型隨機變量定義3：若二維隨機向量(X,Y)的所有可能取值是有限對或無限可列多對,則稱(X,Y)為二維離散型隨機向量。設(X,Y)的一切可能值為(xi,yj)，i,j=1,2,…，且(X,Y)取各對可能值的概率為P{X=xi，Y=yj}=pij，i,j=1,2,…(1)

非負性:

pij≥0，i，j=1，2…；上一頁下一頁返回第4頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月的聯合分布律。和或隨機變量的概率分布或分布律，離散型隨機變量為二維稱YXYXjipYYxXPij),(,...)2,1,(},{==￡￡上一頁下一頁返回第5頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月(X,Y)的分布律也可用表格形式表示YXy1y2…yj…x1x2..xip11p12…p1j…p21p22…p2j…......pi1pi2pij…上一頁下一頁返回第6頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月例1:從一個裝有2個紅球,3個白球和4個黑球的袋中隨機地取3個球,設X和Y分別表示取出的紅球數和白球數,求(X,Y)的分布律,并求P{X≤1,Y<2},P{X+Y=2},及P{X=1}.解:X的可能值為0,1,2,Y的可能為0,1,2,3.(X,Y)的所有可能值為(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1).由古典概率計算可得上一頁下一頁返回第7頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月于是(X,Y)的分布可用表示YX01230124/8418/8412/841/8412/8424/846/8404/843/8400由(X,Y)的分布律,所求概率為上一頁下一頁返回第8頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月上一頁下一頁返回第9頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月3、二維連續(xù)型隨機變量定義5：設(X,Y)為二維隨機向量,(X,Y)的分布函數為F(x,y).若存在非負二元函數f(x,y),對于任意實數x,y，有上一頁下一頁返回第10頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月上一頁下一頁返回第11頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月上一頁下一頁返回第12頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月上一頁下一頁返回第13頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月11y=xoxy1Oyx1Oyx1Oyx上一頁下一頁返回第14頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

設G是平面上的有界區(qū)域,其面積為S,若二維隨機變量(X.,Y)的概率密度為設(X,Y)在區(qū)域G上服從均勻分布,D為G內的一區(qū)域,即D

G,且D的面積為S(D),那么二維均勻分布則稱(X,Y)在區(qū)域G上服從均勻分布.上一頁下一頁返回第15頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月若(X.,Y)的概率密度為二維正態(tài)分布上一頁下一頁返回第16頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月4、n維隨機變量設E是一個隨機試驗,它的樣本空間是=(e).設隨機變量是定義在同一樣本空間上的n個隨機變量，則稱向量為n維隨機向量或n維隨機變量。簡記為設是n維隨機變量，對于任意實數,稱n元函數為n維隨機變量

的聯合分布函數。上一頁下一頁返回第17頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月X和Y自身的分布函數分別稱為二維隨機向量(X,Y)關于X和Y的邊緣分布函數，分別記為FX(x),FY(y)。當已知(X,Y)的聯合分布函數F(x,y)時，可通過求得兩個邊緣分布函數第二節(jié)邊緣分布上一頁下一頁返回第18頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：設二維隨機向量(X,Y)的聯合分布函數為上一頁下一頁返回第19頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月上一頁下一頁返回第20頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月1、二維離散型隨機變量的邊緣分布上一頁下一頁返回第21頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月≠上一頁下一頁返回第22頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月上一頁下一頁返回第23頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月上一頁下一頁返回第24頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月2、二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布設(X,Y)為二維連續(xù)型隨機向量，具有概率密度f(x,y)，則從而知，X為連續(xù)型隨機變量且概率密度為同理，Y也是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為上一頁下一頁返回第25頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月yOx上一頁下一頁返回第26頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)條件分布1、二維離散型隨機變量的條件分布律定義6:上一頁下一頁返回第27頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：一射手進行射擊,每次射擊擊中目標的概率均為p(0<p<1)且假設各次擊中目標與否相互獨立,射擊進行到擊中目標兩次為止.設以X表示到第一次擊中目標所需要的射擊次數,以Y表示總共進行的射擊次數.試求(X,Y)的聯合分布律和條件分布律.解:由題意,{X=i}表示第i次首次擊中目標,{Y=j}表示第j次擊中目標,因而i<j,{X=i,Y=j}表示第i次和第j次擊中目標而其余j-2次均未擊中目標.于是(X,Y)的聯合分布律為：上一頁下一頁返回第28頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月上一頁下一頁返回第29頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月LL,2,1}|{,,2,11122++=======----iijpqpqqpiXjYPYiXiijij的條件分布律為下在條件對于固定的上一頁下一頁返回第30頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月2、二維連續(xù)型隨機變量的條件分布定義7：

對固定的實數y，設對于任意給定的正數ε，P{y-ε<Y≤y+ε}>0,且若對于任意實數x，極限存在，則稱此極限為在Y=y的條件下X的條件分布函數，記作P或記為.同樣,在X=x條件下隨機變量Y的條件分布函數上一頁下一頁返回第31頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月設(X,Y)的分布函數為F(x,y)，概率密度為f(x,y)。若在點(x,y)處f(x,y)連續(xù)，邊緣概率密度fY(y)連續(xù)，且fY(y)>0，則有：亦即上一頁下一頁返回第32頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月類似地在相應條件下可得在X=x條件下Y的條件概率密度為若記為條件Y=y下X的條件概率函數，則由上式知：上一頁下一頁返回第33頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月且有邊緣概率密度當－1<y<1時有：解：(X,Y)的概率密度為例2：設隨機變量(X,Y)在區(qū)域D={(x,y)∣x2+y2≤1}上服從均勻分布，求條件概率密度。上一頁下一頁返回第34頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月特別y=0和y=時條件概率密度分別為類似于條件概率的乘法公式，也有上一頁下一頁返回第35頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月設F(x,y)為二維隨機變量(X,Y)的分布函數，(X,Y)關于X和關于Y的邊緣分布函數分別為FX(x)，FY(y)，則上式等價于第四節(jié)隨機變量的獨立性定義8：

設X和Y是兩個隨機變量，如果對于任意實數x和y，事件{X≤x}與{Y≤y}相互獨立，即有P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}，則稱隨機變量X與Y相互獨立。由獨立性定義可證“若X與Y相互獨立，則對于任意實數x1<x2,y1<y2,事件{x1<X≤x2}與事件{y1<Y≤y2}相互獨立”。上一頁下一頁返回第36頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月結論推廣：“若X與Y獨立，則對于任意一維區(qū)間I1和I2，事件{X∈I1}與{Y∈I2}相互獨立”。P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)=FX(x2)FY(y2)-FX(x2)FY(y1)-FX(x1)FY(y2)+FX(x1)FY(y1)=[FX(x2)-FX(x1)][FY(y2)-FY(y1)]=P{x1<X≤x2}P{y1<Y≤y2}所以事件{x1<X≤x2}與{y1<Y≤y2}是相互獨立的。當（X,Y）為離散型或連續(xù)型隨機向量時，可用它的分布律或概率密度來判別X與Y的獨立性。上一頁下一頁返回第37頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月例1:設二維隨機變量(X,Y)的分布律如表所示。XY-102-1/22/201/202/2012/201/202/201/24/202/204/20問X與Y相互獨立嗎？解:X與Y的邊緣分布律分別為X-1/211/2pi.1/41/41/2Y-102p.j2/51/52/5逐一驗證可知，pij=pi.·p.j（i=1,2,3,j=1,2,3）。從而X與Y相互獨立。上一頁下一頁返回第38頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月例2:設X和Y都服從參數為1的指數分布，且相互獨立，試求P{X+Y<1}。由于X與Y相互獨立，所以(X,Y)的概率密度為于是解:設fX(x),fY(y)分別為X和Y的概率密度，則上一頁下一頁返回第39頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第五節(jié)兩個隨機變量的函數的分布1、二維離散型隨機變量的函數分布

Y12101/321/31/3例設（X,Y）分布律為求

X+Y,X-Y,XY及X/Y的分布.解：先列出下表X上一頁下一頁返回第40頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月P01/31/31/3(X,Y)(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)X

Y2334X

Y0

110XY1224X/Y11/221于是X+Y的分布律為X+Y234P02/31/3上一頁下一頁返回第41頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月同理X-Y的分布律為X-Y-101P1/31/31/3X/Y124P02/31/3XY及X/Y的分布律分別為XY124P02/31/3上一頁下一頁返回第42頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月設(X,Y)為連續(xù)型隨機向量，具有概率密度f(x,y)，又Z=g(X,Y)(g(x,y)為一已知的連續(xù)函數)。大部分情況下，Z是一連續(xù)型隨機變量。為求Z的概率密度，可先求出Z的分布函數2、二維連續(xù)型隨機變量的函數分布上一頁下一頁返回第43頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月即首先找出上式右端的積分區(qū)域Dz。如果求得了FZ(z),那么可通過求出Z的概率密度。求解過程中，關鍵在于將事件{Z≤z}等價地轉化為用(X,Y)表示的事件{g(X,Y)≤z}={(X,Y)},其中。上一頁下一頁返回第44頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：設且X與Y相互獨立，求的概率密度。由于X與Y相互獨立，于是(X,Y)的概率密度為先求Z的分布函數FZ(z)解：X和Y的概率密度分別為當z<0時FZ(z)=0當z≥0時上一頁下一頁返回第45頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月所以于是可得的概率密度上一頁下一頁返回第46頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月如果一隨機變量的概率密度為上式，稱該隨機變量服從參數為

的瑞利分布。由題可知，若X,Y獨立服從同一分布則服從參數為

的瑞利分布。設(X,Y)的聯合概率密度為f(x,y)，現求Z=X+Y的概率密度。令，則Z的分布函數為(1)和的分布上一頁下一頁返回第47頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月固定z和y對積分作換元法，令x+y=u得于是：上一頁下一頁返回第48頁，課件共61頁，創(chuàng)作于20