高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性第一冊(cè)課件2-5-1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

2.5.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程第二章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)核心素養(yǎng)思維脈絡(luò)1.掌握橢圓的定義.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式及其推導(dǎo)過(guò)程.(邏輯推理)3.能根據(jù)條件確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,掌握待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思在2000多年以前,古希臘數(shù)學(xué)家最先開始研究圓錐曲線,并獲得了大量的成果.其中數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面截割圓錐的方法來(lái)研究這種曲線,他的著作《圓錐曲線論》是古代光輝的科學(xué)成果.那么通過(guò)平面截割圓錐的方法你能得到幾種曲線?從集合或軌跡的角度,類比圓的定義,如何定義橢圓?知識(shí)點(diǎn)撥1.橢圓的定義

微思考橢圓的定義中去掉限制條件后,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡還是橢圓嗎?提示

不是.當(dāng)2a<|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不存在.當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段F1F2.微練習(xí)到兩個(gè)定點(diǎn)F1(-7,0)和F2(7,0)的距離之和為14的點(diǎn)P的軌跡是(

)A.橢圓

B.線段C.圓

D.以上都不對(duì)答案

B解析

∵點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之和為14等于|F1F2|,∴軌跡是一條線段.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程+=1(a>b>0)+=1(a>b>0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系b2=a2-c2名師點(diǎn)析(1)在已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí),應(yīng)特別注意a>b>0這個(gè)條件.(2)焦點(diǎn)三角形中常用的關(guān)系式①|(zhì)PF1|+|PF2|=2a.②

|PF1||PF2|·sin∠F1PF2.③|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2.④|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|.微練習(xí)(1)a=6,c=1的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)答案

D(2)橢圓

+y2=1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2,則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為(

)

答案

D解析

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,若|PF1|=2,結(jié)合橢圓定義|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8.(3)橢圓4x2+9y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(

)答案

C微思考能否根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,判定焦點(diǎn)位置?提示

能.根據(jù)x2與y2的分母的大小來(lái)判定,哪個(gè)的分母大,焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.反思感悟1.利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,有下面幾種情況:如果中心在原點(diǎn),但焦點(diǎn)的位置不能明確是在x軸上,還是在y軸上,那么方程可以設(shè)為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),進(jìn)而求解.2.待定系數(shù)法求圓錐曲線方程能有力地明晰數(shù)學(xué)運(yùn)算的目標(biāo)性和方向性,能較好地體現(xiàn)運(yùn)用解析法進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).變式訓(xùn)練1根據(jù)條件,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:焦點(diǎn)在y軸上,且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0).探究二定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,-2),(0,2),要點(diǎn)筆記用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,先根據(jù)橢圓定義,確定a2,b2的值,再結(jié)合焦點(diǎn)位置寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.變式訓(xùn)練2已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,5),(0,-5),橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和為26,求滿足條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解

因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上,因?yàn)?a=26,2c=10,所以a=13,c=5.所以b2=a2-c2=144.探究三橢圓定義的應(yīng)用例3如圖所示,已知?jiǎng)訄AP過(guò)定點(diǎn)A(-3,0),并且在定圓B:(x-3)2+y2=64的內(nèi)部與其內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.解

設(shè)動(dòng)圓P和定圓B內(nèi)切于點(diǎn)M,動(dòng)圓圓心P到兩定點(diǎn)A(-3,0)和B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,所以動(dòng)圓圓心P的軌跡是以A,B為左、右焦點(diǎn)的橢圓,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,反思感悟利用橢圓定義求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的三個(gè)步驟

反思感悟(1)橢圓上一點(diǎn)P(不與焦點(diǎn)共線)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F2構(gòu)成的△PF1F2稱為焦點(diǎn)三角形.解關(guān)于橢圓的焦點(diǎn)三角形的問題,通常要利用橢圓的定義,再結(jié)合正弦定理、余弦定理等知識(shí)求解.(2)焦點(diǎn)三角形的常用公式①焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)L=2a+2c.②在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.延伸探究若將例4中“∠F1PF2=60°”變?yōu)椤啊螾F1F2=90°”,求△F1PF2的面積.°°°°答案

(1)C

(2)A

(3)8∵∠F1PF2∈(0°,180°),∴∠F1PF2=60°.(3)由直線AB過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1,知|AB|=|F1A|+|F1B|,所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20,又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.素養(yǎng)形成易錯(cuò)點(diǎn)——因?qū)E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程認(rèn)識(shí)不清而致錯(cuò)

錯(cuò)因分析錯(cuò)解中沒有注意到橢圓方程中a>b>0這一條件,當(dāng)a=b時(shí),方程并不表示橢圓.【規(guī)范答題】

所以k的取值范圍是(3,4)∪(4,5).當(dāng)堂檢測(cè)1.已知橢圓的焦點(diǎn)為(-1,0)和(1,0),點(diǎn)P(2,0)在橢圓上,則橢圓的方程為(

)答案

A解析

c=1,由點(diǎn)P(2,0)在橢圓上,可得a=2,2.若方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)A.(0,+∞) B.(0,2)C.(1,+∞) D.(0,1)答案

D4.設(shè)F1,F2是橢圓

=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上的點(diǎn),且|PF1|∶|PF2|=2∶1,求△F1PF2的面積為

.

答案

4∵|PF1|+|PF2|=2a=6且|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2.∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.∴△PF1F2是直角三角形,且∠F1PF2=90°,5.如圖所示,在圓C:(x+1)2+y2=25內(nèi)有一點(diǎn)A(1,0).Q為圓C上任意一點(diǎn),線段AQ的垂直平分線與C,Q的連線交于點(diǎn)M,當(dāng)點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡方程