方差計算公式的證明

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方差計算公式的證明（1）用新數據法求平均數（1）當所給的數據都在某一常數a的上下波動時，一般選用簡化公式：、:二、:+a.其中，常數a通常取接近這組數據平均數的較“整”的數，.、一i二.、」-a, *,???,'；/O?:."心-...+頃）是新數據的平均數（通常把工1,耗，…，?、「，叫此L亡、數據，：?，，'；」，…，打，叫做新數據）?！附校喊袿左邊的數據相加，把O右邊的數據相加，得到一個等式：："+二］?? X|=i-a+?、-r-a+.，+；iLa：,，+.'：］.. Xh二1、；1+二■■+…+：；nLna(2)亦即f+a(2)亦即f+a方差的基本公式方。證明：E=代「.、一一.「「+「.?方。證明：E=代「.、一一.「「+「.?'.：一.；「 ..Ln-a「］■■-:“二-二?1'：+二+二：-上1'：+二+…+打-二「：+二］…+5）-2—1+二■■+…+二n：；+n、、勺方差的基本公式由方差的概念而來。方差的概念是：在一組數據,撲中,各數據與他們的平均數、:的差的平方的平均數，叫做這組數據的方差。通常用心”表示，即：:『二P'.?'一-.「「+「.'.：_.；「 //］方差的簡化計算公式成二H+,??+、）-n、L］也可寫成：『二」3+頊+???+、）］-、「此公式的記憶方法是：方差等于原數據平方的平均數減去平均數的平="，打+?：］+…+：指)-2n「r?：:=［3+二+,?,+-'；)-n：：］=卜"+--：+???+-'"')-'.- .(I)根據O,有"=、i+a,5=_：+a,…w=_“+a,和、:二、：+a（詳見（1）的證明）代入簡化公式（I）,則有：濯=J疽+XL+■■■+XrI-X?禮L、、.【'+"：；疽+…"-:'■-KI"=[（：：】+?+???+.：i）+2a（x+.、-i+,?,+Xh）+n.L]-（-：'+2、：a+.「）禮（"+『???+，「=）+2/一'--、?+..4「2E-F=（.：「+.、一「+???+.：「）+2、：a+普%..?.」=（"+，、「+…+疽）■注 .（II）此公式的記憶方法是：方差等于新數據平方的平均數減去新數據平均數的平方。由方差的基本公式，經恒等變形后，產生了簡化公式（I）；由簡化公式（I）進行等量代替產生了簡化公式（II）.因此，基本公式和簡化公式（I）（II）所計算出的方差疽都相同?；竟胶秃喕剑↖）按原數據:，?…，*計算方差；簡化公式（II）按新數據-,-?-:,…，、「計算方差，計算出的方差相同。（4） 用新數據法計算方差原數據用，"，…，…的方差與新數據；=F-a,.、.」=『-a,…，'搭二\-a的方差相等。也就是說，根據方差的基本公式，求得的一一，n,…*方差就等于原數據W"：、,…，的方差，證明：把O式里的每一個式子的兩邊，減去O式的兩邊（左邊-左邊，右邊-右邊）有：x：-、：=（；-a）-（、：-a）=.、-i-、：xi-、;二（：—-a）-（、；-a）二、■-、；再把以上每一個新生成等式左右兩邊平方，即有左2二右2：最后把這些式子的左邊加左邊，右邊加右邊，其和分別除以n,即有: