2022高考22 二項(xiàng)式定理必刷小題100題(解析版)

專題22二項(xiàng)式定理必刷小題100題

任務(wù)一:善良模式（基礎(chǔ)）1-30題

一、單選題

i.口+9］的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.8B.28C.56D.70

【答案】B

【分析】

先得出（X+金）的展開式的通項(xiàng)公式，從而得出常數(shù)項(xiàng).

【詳解】

口+￡|黑尸閨=牛3

的展開式的通項(xiàng)公式為

4

令8-，=0,得尸=6

的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C：=28

故選：B

2.在1的二項(xiàng)展開式中，-的系數(shù)為（）

A.40B.20C.-40D.-20

【答案】A

【分析】

由二項(xiàng)式得到展開式通項(xiàng)，進(jìn)而確定上的系數(shù).

【詳解】

X-福J的展開式的通項(xiàng)=C；/,.（_2））3=（-2）「仁產(chǎn)”

令5-3r=-l,解得廠=2,故'的系數(shù)為（-2）2。；=40,

X

故選：A.

3.(1■+“(x+y)6的展開式中的系數(shù)為()

A.12B.16C.20D.24

【答案】B

【分析】

利用乘法運(yùn)算律進(jìn)行展開可得(m+q(x+y)6=§?(x+y)6+y(x+y)6,再分別求Wy5得系數(shù)即可得解.

【詳解】

因?yàn)閇亍+)，卜+城=1.(x+y『+y.(x+y)6,

所以的系數(shù)為(x+yf展開式中y6,的系數(shù)之和，

由于&i=C"Jy,(r=0,l,2,-,6),

2

對(duì)于匚(x+y)6項(xiàng)，(x+y『需取儼，系數(shù)為C：,

y

對(duì)于+項(xiàng)，(x+y『需取系數(shù)為c：,

所以xR的系數(shù)為C：+C：=16,

故選：B.

4.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有(2x-3)"=4+“(x-1)+%(》-1)2+4(》-1丫+…+q,(x-l)9.則下列結(jié)論不成立的是

()

A,%=—144B.4=1

C.〃o+〃|+〃2+,?,+"9=]D.〃0_4+Q,-+.,,一=一§9

【答案】B

【分析】

令，=x-l,/0)=(2，-1)9=%+。/+%產(chǎn)+名/+…+a/,利用展開式通項(xiàng)可判斷A選項(xiàng)的正誤，利用賦

值法可判斷BCD選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

23

令/=冗_(dá)1,貝Ijx=/+],令/(f)=(2，-1)9=a()+a}t4-a2t4-a3tH----1?出產(chǎn).

對(duì)于A選項(xiàng),(21)9的展開式通項(xiàng)為&|=C；?(2/廣.(-1)r=0.2f(-1)"尸,

令9一廠=2,可得廠=7,則4=提-22.(_1)7=-144,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，4=〃0)=(—1『=—1,B錯(cuò)；

9

對(duì)于C選項(xiàng)，a0+a,+a2+---+ax)-/(1)=(2-1)=1,C對(duì)，；

對(duì)于D選項(xiàng)，a?-ai+a2-a3+---4=/(-I)=(-37=-3。，D對(duì).

故選：B.

5.已知。＞0,的二展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于60,貝心=()

A.3B.2C.6D.4

【答案】B

【分析】

先寫出展開式的通項(xiàng)，然后令》的指數(shù)部分為零，求解出，?的值，則常數(shù)項(xiàng)可求.

【詳解】

展開式的通項(xiàng)為Tr+l=C；.產(chǎn)，(一1j=(-a)'y?產(chǎn)"，

令6-3/■=(),所以/^=2,所以常數(shù)項(xiàng)為/-最=60,

所以/=4,。＞0,所以。=2,

故選：B.

6.在(1—x)+(1—xf+(1—X)，+(1—X)'+(1—x)s+(1—X)'+(1—x)1的展開式中，/的系數(shù)為()

A.70B.35C.-35D.-70

【答案】D

【分析】

利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求出V的系數(shù).

【詳解】

對(duì)于的展開式中，通項(xiàng)為：加=￡；(-1)'父，

則(=-C%3(〃23),所以『的系數(shù)為：

VY-C-Q-70.

故選：D

7.若〃為正奇數(shù)，則7"+01+亡72+...+禺被9除所得余數(shù)是()

A.0B.3C.-1D.8

【答案】D

【分析】

7"+C：7一+C>7-2+…+c；i-7+禺=(7+1)"=(9-1)"利用二項(xiàng)式定理可得結(jié)論.

【詳解】

解：因?yàn)椤笆钦鏀?shù)，則7"+C17"T+G：7"2+…+G"T7+C；

=(7+1)"=(9-1)"=9"-C：9"'+C；9"2+…++C；；-1-9?(-1嚴(yán)+C；；9°?(-1)"

又n正奇數(shù)，

???倒數(shù)第一項(xiàng)C；9°<-1)"=-1,而從第一項(xiàng)到倒數(shù)第二項(xiàng)，每項(xiàng)都能被9整除，

7"+C：7+C：7-2+…+C,：被9除所得余數(shù)是8.

故選：D.

8,二項(xiàng)式［x+怖］的展開式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】

rr

根據(jù)二項(xiàng)式定理展開：C；H2x°^'要為有理項(xiàng)，則10-|「為整數(shù)即可.

【詳解】

9jo--r

山題可得：展開式的通項(xiàng)為卻=G/j(%)「=，2”2,

\lx

要為有理項(xiàng)，則10-2〃為整數(shù)，故廠可取024,6,8,10共有6項(xiàng)有理數(shù).

故選：B.

9.若+的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)和為81,則該展開式的常數(shù)項(xiàng)為()

A.10B.8C.6D.4

【答案】B

【分析】

由給定條件求出某指數(shù)〃值，再求惘展開式的通項(xiàng)即可作答.

【詳解】

在(2x+J=)"的二項(xiàng)展開式中，令x=l得所有項(xiàng)的系數(shù)和為3"=81,解得〃=4,

于是得(2x+京y展開式的通項(xiàng)為心=C：(2x廣?任|A4.

=2"yx3,reN,r44,

令4-$=0,得r=3,常數(shù)項(xiàng)為2c：=8.

故選：B

10.已知正整數(shù)底7,若(x-L(l-x)"的展開式中不含好的項(xiàng)，則"的值為()

x

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】

結(jié)合二項(xiàng)式的展開式，求出V的項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)題意建立方程，解方程即可求出結(jié)果.

【詳解】

(1-xf的二項(xiàng)展開式中第HI項(xiàng)為

又因?yàn)?x--)(l-x)n=x(l-x)n--(l-x)n的展開式不含/的項(xiàng)

XX

所以;<(一1)'/一1^(-1)晨6=0

X

Ck-『=。

即C：=C

所以〃=10,

故選：D.

2

11.(士-幻"展開式中的各二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024,則/的系數(shù)是()

x

A.-210B.-960C.960D.210

【答案】B

【分析】

山二項(xiàng)式系數(shù)和等于2"，求得〃的值，寫出通項(xiàng)公式，再按指定項(xiàng)計(jì)算可得.

【詳解】

依題意得：2"=1024,解得”=10,

rrMr2r

于是得展開式的通項(xiàng)為?(-x)=(-l)-2-q0x-'0,r&N,r<10,

由2廠—10=4,解得/'=7,從而有（-I），2叱7cz=-960,

所以/的系數(shù)是960.

故選：B

12.已知（2/+1）（1一1］的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為0,則該展開式的常數(shù)項(xiàng)是（）

A.-10B.-7C.9D.10

【答案】C

【分析】

根據(jù)（2/+1）已-lj的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為0,令x=l可得參數(shù)。，再根據(jù)通項(xiàng)公式可求解.

【詳解】

（2x2+1）^-1j的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為0.

令X=1得3（4-1）’=0,解得4=1.

（"+1）仔t）-

則，-J展開式的通項(xiàng)公式為：2=4塔］（一1）'=（-"；”

則尸=4或r=5,

則該展開式的常數(shù)項(xiàng)是2x（-1），仁+（-1）5c；=9.

故選：C.

13.已知(l+G『="+bG(a,6為有理數(shù))，貝!|a=()

A.0B.2C.66D.76

【答案】D

【分析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理將(1+6『展開，根據(jù)“，人為有理數(shù)對(duì)應(yīng)相等求得”的值.

【詳解】

53

因?yàn)?1+X/3)=Cf(x/3)°+C'5(可+C；+C；(x/3)+C；+C；,

所以(l+6『=1+56+30+30石+45+9劣=76+44＞萬(wàn)，

因?yàn)?1+石I=a+b百，且a,b為有理數(shù)，所以a=76,

故選：D

14.(好+2初田)5的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為1024,則a的值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

賦值x=l即可.

【詳解】

賦值法：令X=1可知道展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為3+1)5=1024,所以a=3.

故選：C

4234

15.(1+x)=a()++a2x+a3x+a4x,則％-q+%-%+4=()

A.5B.3C.0D.-3

【答案】C

【分析】

根據(jù)展開式，利用賦值法取x=-l求值即可.

【詳解】

令x=-11a。—4+4—/+"4=(1—1)=0.

故選：C

16.(x+y)(3x-y)’的展開式中d/的系數(shù)為()

A.-80B.-180C.180D.80

【答案】C

【分析】

先求得(3x-yp展開式的通項(xiàng)公式，分別令4=2和左=3,計(jì)算整理，即可得答案.

【詳解】

5

(3x-y)展開式的通項(xiàng)公式為:Tk+i=以(3x)5(_,)*=以35T(一1?/R,

令k=2,得n=C；33(-l)2x3y2,

令人=3,得q=C；32(-l)3fy3.

所以原式展開中含Vy3的系數(shù)為C；33(T)2xl+C32(-1)3x1=180

故選：C.

17.U--的展開式中-^的系數(shù)為()

A.15B.-15C.10D.-10

【答案】D

【分析】

/\5-r/3廠、4r_5=]

5

根據(jù)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式&尸C；2--=(-1)'3二產(chǎn),，解方程3-'即可得解.

WI”〔5-2「=-1,

【詳解】

4廠

令5一'=T解得〃=3,

5-2r=-l,

所以展開式中的系數(shù)為(-1/C；=-10.

故選：D.

18.在多項(xiàng)式(x-l)(2x+l)4的展開式中，含Y項(xiàng)的系數(shù)為()

A.-32B.32D.16

【答案】C

【分析】

求出(2x+1)4中x和/的系數(shù)，然后由多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算可得.

【詳解】

(2X+1)4=(1+2X)4,展開式通項(xiàng)為M=C；(2x式

所求爐的系數(shù)為C；X2-C；X22=-16.

故選：C.

二、多選題

19.已知二項(xiàng)式［依-9］,則下列說(shuō)法正確的是()

A.若a=2,則展開式的常數(shù)為60

B.展開式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為3

C.若展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64,貝!|〃=3

D.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大為第4項(xiàng)

【答案】AD

【分析】

寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，對(duì)4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析

【詳解】

(_1Y_3

A選項(xiàng)：當(dāng)a=2時(shí)，=(-1)'品2~—6其中r為整數(shù)，且04r46,令

6--r=0,解得：r=4,此時(shí)(-1)‘C；26T=15x4=60,故常數(shù)項(xiàng)為60；A正確；

B選項(xiàng)：二產(chǎn)C；(詞6r-3)=(-i)rqa6-rx6^,其中，為整數(shù)，且04"6,

3333

當(dāng)r=0U1,6—r=6,當(dāng)r=2時(shí)，6—r=3,,當(dāng)廠=4時(shí)，6—r=0,,當(dāng)r=6時(shí)，6--r=-3,滿足

2222

有理項(xiàng)耍求，故有4項(xiàng)，故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：令far-；］中的x=l得：(a-l)6=64,所以。=3或a=T,故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：展開式共有7項(xiàng)，最中間一項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，而最中間為第4項(xiàng)，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最

大為第4項(xiàng)，D正確

故選：AD

二專）的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,下列說(shuō)法正確的是（）

20.已知[5x-

A.2,〃，10成等差數(shù)列

B.各項(xiàng)系數(shù)之和為64

C.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)

D.展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)

【答案】ABD

【分析】

先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和求出〃的值，再令x=l可求系數(shù)和，根據(jù)展開式的總項(xiàng)數(shù)可得：項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng),

利用展開式的通項(xiàng)公式求第5項(xiàng).

【詳解】

5》-子）的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"=64,得〃=6,得2,6,10成等差數(shù)列，A正確;

由

5.)="64,

令X=1,的各項(xiàng)系數(shù)之和為64,B正確;

的展開式共有7項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，C不正確:

[5x_的展開式中的第5項(xiàng)為C：（5X）2=15x25x81為常數(shù)項(xiàng)，D正確.

故選:ABD

21.已知的二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則下列結(jié)論正確的是（）

A.二項(xiàng)展開式中無(wú)常數(shù)項(xiàng)

B.二項(xiàng)展開式中第3項(xiàng)為2401

C.二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為

D.二項(xiàng)展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

【答案】BCD

【分析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式驗(yàn)證選項(xiàng)即可得出答案.

【詳解】

由題意可知，2"=64,解得〃=6,所以二項(xiàng)展開式的通式為卻|=禺（2姍]2）=26，C；吟,

當(dāng)6-]r=0時(shí)，解得廠=4,所以展開式的笫5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

:項(xiàng)展開式中第3項(xiàng)為1=26",C2.產(chǎn)3=240x3,選項(xiàng)B正確；

令x=l,則(2+以=36,即二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為變，選項(xiàng)C正確；

〃=6,則二項(xiàng)展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

22.若(l-2x)W=4(,+平+%*2■<--------|_%O2OX2O20(XWR),則()

A.%=1

32020_?

B?4+%+%+…+〃2019=-

3202。+1

C?《)+〃2+々4+?一+42020=---

D.幺+與+鼻+…+第=-1

22222020

【答案】ACD

【分析】

設(shè)“x)=(l-2x)2°2°=a°+qx+a/2+為x3+…+/*>2。，利用賦值法可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

(l32020

設(shè)/(x)=(l-2x)-°-=a0+a,xH-----1-^(，^,

對(duì)于A選項(xiàng)，％=/(0)=產(chǎn)20=1,A對(duì)；

對(duì)于BC選項(xiàng)，M+%+-八=K，

=+/一。3+…+々2020=3

2020

rrhI1-3

所以，q+r+牝+…+%>19="2、)=-2—，

2020

_/(1)+/(-1)_3+1R「什

%+4+%+…+42020=----------------------------=~"2'B'm‘C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，件+袋+$+…+^^=%+冬+/+/+…+

=/[1]-/(O)=O-l=-l,D對(duì).

故選：ACD.

2

23.已知(3x-1)"=%+乎+a2x+...+anx",設(shè)(3x-1)”的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為S?,

7；=4+/+...+4,則下列說(shuō)法正確的是()

A.%=1

nn

B.Tfl=2-(-l)

C."為奇數(shù)時(shí)，S.<(;〃為偶數(shù)時(shí)，S?>Tn.

D.S“=Tn

【答案】BC

【分析】

根據(jù):項(xiàng)式系數(shù)之和公式，結(jié)合賦值法進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

設(shè)(3x-l)"的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為S”,所以有:S?=2",

在(3x—I)"=%+4》+。2乂~+…+a"x"中，令x=0,得當(dāng)"為偶數(shù)時(shí),%=1,

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，?0=-1,所以A說(shuō)法不正確；

在(3x—I)"=%+4%+見式+...+a“x"中，令x=l,所以有%+q+叼+…+a“=2",

而%=(f,所以北=2"-(一1)",因此選項(xiàng)B說(shuō)法正確；

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，7；=2"-1<2",即S”>7；,當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，T?=2"+l>2n,即S“<7；,

因此選項(xiàng)C說(shuō)法正確，選項(xiàng)D說(shuō)法不正確，

故選：BC

24.已知(l-2x)7=%+4X+生/+…+出/,則()

A.%=1

B.%=-280

C.q+%―%=-2

D.q+2。、+?—F7%=-7

【答案】ABC

【分析】

令x=0即可求得％可判斷選項(xiàng)A；令x=l,求得％+4+%+…+%,進(jìn)而求得4+。2+…+/可判斷選項(xiàng)

C;根據(jù)二項(xiàng)式定理寫出該二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，即可得的可判斷選項(xiàng)B;利用導(dǎo)數(shù)即可得q+2%+…+7%,

可判斷選項(xiàng)D,進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【詳解】

2

因?yàn)?l-2x)7=a?+a,x+a2xM---1"生/

令x=0,得1=%,故選項(xiàng)A正確；

令X=l,得T=%+q+出+…+%,

所以q+電+…+%=-2,故選項(xiàng)C正確；

易知該二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)4“=C；l，T(-2xA=(-2yCR,所以%=(-2)3<2；=-280,故選項(xiàng)B正確；

7276b

對(duì)(1-2x)=a?+a,x+a^x+???+a,x兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得-14(l-2x)=a,+2a2x+---+7a1x,

令X=1,得q+2a2+―-+7%=-14,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選:：ABC

第II卷(非選擇題)

三、填空題

25.已知(X-1)3*+a)2(aeZ)的展開式中X的系數(shù)等于8,則a等于.

【答案】2

【分析】

把(x-l)3和(x+“)2(“eZ)展開，根據(jù)展開式中X的系數(shù)等于8,求出a的值.

【詳解】

解：,.,(x-l)3(x+a)2=(x3-3A2+3X-1)(X2+lax+a1),

4

所以展開式中x的系數(shù)等于3a2_2a=8,解得a=2或a=-：,

因?yàn)閍eZ,所以a=2.

故答案為：2.

26.楊輝三角在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中被記載.如圖所示的楊輝三角

中，第15行第15個(gè)數(shù)是.(用數(shù)字作答)

第。行1

第1行11

第2行121

第3住1331

第4行14641

第5行15101051

【答案】15

【分析】

根據(jù)楊輝三角得到規(guī)律是第〃行，第Ml4廠＜〃+1）個(gè)數(shù)為C：'求解.

【詳解】

由楊輝三角知：

第1行：c；，c；,

第2行:

第3行：d-

第4行：c：c；c：，c：，c：，

由此可得第〃行，第耳1VrV〃+1）個(gè)數(shù)為C；',

所以第15行第15個(gè)數(shù)是C：；=C；=15,

故答案為：15

27.若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為0,則該展開式的常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】-120

【分析】

根據(jù)卜+三）（2x-￡）的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為0,令x=l求得”，再利用通項(xiàng)公式求解.

【詳解】

因?yàn)榈恼归_式中各項(xiàng)系數(shù)的和為0,

令x=l得l+a=0,

解得。=—1，

所以(x-j(2x-J)5的常，數(shù)項(xiàng)為xc；(2x)［-￡|［：戲(2切［一=T20.

故答案為：-120

28.如果l+2C；+2?第+…+2"C；=2187,則C：+C；+…+C：=.

【答案】127

【分析】

依題意可得(1+2)"=2187,計(jì)算〃，然后計(jì)算2"-1即可.

【詳解】

由題可知:1+2C：+22d+…+2"C；=(1+2)”=2187,所以”=7

所以C：+C：+…+C；=2"-1,由〃=7,所以結(jié)果為127

故答案為：127

29.二項(xiàng)式(l+x)5的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為(用數(shù)字表示結(jié)果).

【答案】16

【分析】

根據(jù)二項(xiàng)展開式，分別令x=l和x=-1,兩式相加，即可求解.

【詳解】

45

由題意，二項(xiàng)式的展開式為(1+X7=4+4犬+%/+”3丁+a4x+a5x

令x=l,則q>+4+%+/+4+%=2、=32,

令x=-1,則％—q+%-％%=0，

兩式相加，可得2(4+a2+4)=32,所以〃0+4+”4=16.

故答案為：16.

30.已知(1+到°=%+4(1_*)+42(1_1)2+—+40(1-*)">，則.

【答案】180

【分析】

將(l+x)l°改寫成［2-(l-x)丁，利用二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?1+X)'°=[2_0_x)『，

1r

其展開式的通項(xiàng)公式為[-(17)了=G021A(-展(l-x),

令，=8,則4=4。=180,

故答案為為：180.

任務(wù)二：中立模式(中檔)1-40題

一、單選題

1.已知隨機(jī)變量X~N(1,〃)，且P(X<0)=尸(XNa),貝!|(/+“)卜—Tj的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

()

A.25B.-25C.5D.-5

【答案】B

【分析】

先由正態(tài)分布的概率情況求出。=2,然后由二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式可得答案

【詳解】

由隨機(jī)變量且尸(x<O)=P(X4a),則。=2

4+i=墨》6-1_^)=(—l)'Cx62,O〈r〈6,reN

由的展開式的通項(xiàng)公式為:

令6-2廠=-2,解得廠=4,令6-2廠=0,解得廠=3

所以(42)卜一￡fx-J，的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：屐-2C；=-25

故選：B.

2.(3x-5)2(x-l)7的展開式中一項(xiàng)的系數(shù)為()

A.140B.-1120C.-140D.1120

【答案】B

【分析】

利用二項(xiàng)式定理求(x-1)，的展開式中d和x6項(xiàng)的系數(shù)，從而可求(3x-5)2(x-l)7的展開式中一項(xiàng)的系

數(shù).

【詳解】

(3x-5)2(x-1)7=(9X2-30X+25)(X-1)7,

(x-1)，的展開式的通項(xiàng)公式為&=Gx"(T)'>=°」，…,7，

令7—r=4,得r=3,所以C*'(—1丫=—35x4；

令7-r=5,得/*=2,所以C"(-iy=2"；

令7f=6,得r=l,所以C；f(—1)=—7f,

所以(3x-5)2(x-l)7的展開式中/項(xiàng)的系數(shù)—35x9+21x(-30)+25x(-7)=-1120.

故選：B.

3.若二項(xiàng)式(L-x]的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值的和為二，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為

(2)64

()

A.--x3B.C.-20x3D.15x4

【答案】A

【分析】

令x=T,根據(jù)展開式中系數(shù)的絕對(duì)值的和得到“=6.再判斷二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式

定理計(jì)算得到答案.

【詳解】

令x=-l,可得展開式中系數(shù)的絕對(duì)值的和為(3]=—,解得“=6.

⑶64

二展開式有7項(xiàng)，

.??二項(xiàng)式(g-xj展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的為第4項(xiàng)，n=篌(](_[八3=_|尤3

故選A.

4.設(shè)(2x-后=4+4》+.—+4彳6,貝！)(4+43+45)2—(4+。2+4+。6)2=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】

分別令x為1和7得到兩個(gè)等式，進(jìn)而將(4+4+%)2-(/+%+%+&丫因式分解即可解出答案.

【詳解】

令x=l得(2—百)6=(2—6)6

=%+4+/+4+。4+。5+。6，

令x=-l得(-2-廚

=/_q+劣-％+%—%+4，

2

二.(q+-(6704-iz24-6z44-ez6)=一(4+4+/+生+44+〃5+4)(4)-4+/-%+4)

故選：A.

5.在二項(xiàng)式+式］的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為M,各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為N,且M-N=992,則展開

式中含1項(xiàng)的系數(shù)為（

A.90B.180C.360D.540

【答案】A

【分析】

令x=l得到4"=M，再結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得到2"=N,利用”-N=992可以求出”的值，進(jìn)而結(jié)合二

項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果.

【詳解】

令x=l,=M,即4"=M,

而C；+C：+C：+…C；=2"=N,

由M-N=992,貝ij4"-2"=992,令2"=f>0，則”-f-992=0,解得f=32,即2"=32，故"=5,

的二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為Q［義］=C；35-rx~,

令r=3,則展開式中含V項(xiàng)的系數(shù)為C；3“3=10x9=90,

故選：A.

X|

6.在（萬(wàn)-五）〃的展開式中，只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式常數(shù)項(xiàng)是（

55

C.-28D.28

~2

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意可得：”=12,求展開式的常數(shù)項(xiàng)，要先寫出展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0,則為常數(shù)項(xiàng)，求出

『的值代入展開式，可以求得常數(shù)項(xiàng)的值

【詳解】

展開式中，只有第7項(xiàng)的：項(xiàng)式系數(shù)最大，可得展開式有13項(xiàng)，所以〃=12,展開式的通項(xiàng)為：

4

若為常數(shù)項(xiàng)，則12-1r=0,所以，r=9,得常數(shù)項(xiàng)

為：Zo=a（T）［；）=22055

82

的展開式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（)

B.4D.6

【答案】C

【分析】

i-2)(?1)8

先化簡(jiǎn)原二項(xiàng)式為+再由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式可得選項(xiàng).

【詳解】

解:,+2_2）'=（^^=”注

又（4-D'的展開式的通項(xiàng)小=。言（-1丫，所以51=G（-i）”話.

當(dāng)x的指數(shù)是整數(shù)時(shí)，該項(xiàng)為有理項(xiàng)，所以當(dāng)r=0,2,4,6,8時(shí)，該項(xiàng)為有理項(xiàng)，即有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為5.

故選：C.

8.已知（2-X）'"'=%+4（丫+1）+組（x+lp+…+%021a+1廣，則同+|%|+|%|+…+1%，=（）

A.241）42B.1C.2202'D.0

【答案】A

【分析】

令f=x+l,可得x=r-l,可得出（3T）2以=%+印+%/+…+%。2戶'，利用展開式通項(xiàng)可知當(dāng)「為奇數(shù)

時(shí)，ar<0,當(dāng)/"為偶數(shù)時(shí)，?r>0,然后令.=一1可得出⑷+悶+同+…+1%/的值.

【詳解】

o

令r=x+l,可得x=I,則[2_（"1）了°2'=（3T嚴(yán)=%+卬+%*+?..202r2i,

二項(xiàng)式（3—）的的展開式通項(xiàng)為&?（-，）'，則4=4/3.~?（一1）;

當(dāng)「為奇數(shù)時(shí)，ar<0,當(dāng)r為偶數(shù)時(shí)，q>0,

20214W2

因此,聞+聞+同+…+|?2021|=%-q+a2-------02azi=（3+1）=2.

故選：A.

9.（2x-y）（x+3y）4的展開式中Yye項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.96B.-96C.120D.-120

【答案】A

【分析】

題意（x+3?通項(xiàng)公式為&=禺k~（3）了=3匕一了,接著討論當(dāng)4-廠=2時(shí)；當(dāng)4-廠=3時(shí)，求出相應(yīng)的

「，即可求出對(duì)應(yīng)系數(shù).

【詳解】

解:依題意（x+3yy的展開式的通項(xiàng)公式為J=C^-r（3yY=3T：針了，

當(dāng)4—r=2時(shí)-，得/*=2；當(dāng)4一r=3時(shí)，得r=I,

故可得展開式中含xW的項(xiàng)為2x.32C12y2+（_y）.3C%3），=96x3y2,

即展開式中Vy2項(xiàng)的系數(shù)為96.

故選:A

13

10.設(shè)隨機(jī)變量x~8（〃,p）,若二項(xiàng)式（》+同"=%+5X+]/+…+4戶"，則（）

A.E（X）=3,D（X）=2B.E（X）=4,￡>（X）=2

C.E（X）=2,D（X）=1D.E（X）=3,D（X）=i

【答案】C

【分析】

利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，建立方程組，解出“，P,代入公式得到結(jié)果.

【詳解】

二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為&=。：b"'"€{0，1，…，小，

13

2n

又（x+〃）”=a0+—x+^x+---+anx,

22

（,T+產(chǎn)C：""T=gx,T“.=C；；-Vp--=|x,

即\,解得：6p=n-l,

C；2p-2=；

此時(shí)，/i-l<6,

經(jīng)檢驗(yàn)可得，〃=4,p=g,

AE（X）=np=2,O（X）=叩（l-p）=l,

故選：C

11.已知（1+"）"=4+4工+々2尤2+…+當(dāng)〃=5時(shí)，q+%+%+4+%=242,則當(dāng)〃二6

時(shí)，q+3%+5%的值為（）

A.-1452B.1452C.-726D.726

【答案】B

【分析】

本題首先可令x=0,求出《）=1,然后令x=l,九=5,通過(guò)4+生+%+%+%=242求出。=2,最后通過(guò)

二項(xiàng)展開式求出4=12、^=160.4=192,即可求出結(jié)果.

【詳解】

（1+ar）”=々0+%工+生工2+—+4］（〃￡/7”）,

令x=0,則％=1；

令x=l,n=5,貝=4+4+%+…+%，

因?yàn)閝+4+%+%+%=242,

2n

所以（l+a）5=243=3"a=2,（l+2x）"=aQ+a1x-^a2x^--??+aHx,

當(dāng)〃=6時(shí)，

（1+2x）6=屋x（2x）°+Cx（2x）'+C~X（2x）2+C；x（2x）3+C：x（20+C>（2x）5+C：x（2x）6

=l+12x+60x2+160x3+240x4+192x5+64x6,

則q=12,a3=160,a5=192,4+3%+5%=1452,

故選：B.

12.設(shè)（2x-l）">+…+40丫°,貝!|a|+4+a5+%+49的值為（）

10

A1+3'°。1-3,3'°-1c1+3'°

A.--------B.-------C.--------D.----------

2222

【答案】B

【分析】

設(shè)/（x）=（2x—l）'°,計(jì)算可得q+4+.+%+%=/⑴/（7），即可得解.

【詳解】

設(shè)/（x）=（2x-l）10,則/（l）=a（）+q+/+/+4+q+4+%+/+49+40=]，

/（—1）=%一%+%+〃4~a5+。6+%-4+4o=（—3）°=310,

所以，6+%+%+%+%/⑴[㈠）=7.

故選：B.

13.在的展開式中，除常數(shù)項(xiàng)外，其余各項(xiàng)系數(shù)的和為()

A.32B.-32C.33D.-33

【答案】D

【分析】

令x=l求出各項(xiàng)系數(shù)和，然后利用展開式通項(xiàng)求出常數(shù)項(xiàng)，兩者相減可得結(jié)果.

【詳解】

在1+彳-lJ的展開式中，令x=l,可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為(1+27)4=2’=16,

的展開式通項(xiàng)為4“=。1(-1)4-1+：),

2

(x+j的展開式通項(xiàng)為BM=C%"?(：］=C-2*Z-*,

所以，(x+j—1)的展開式通項(xiàng)可表示為Tr+lk+l=C：C；?(-1廣'2//口(0<A：<r<4,r^e/V),

[r=0[r=2[r=4

令r_2&=0,可得｛,[或｛心o,

[Z=0[攵=1[Z=2

所以，展開式中常數(shù)項(xiàng)為c：+C：G?2+C：C：?2?=49,

因此，展開式中除常數(shù)項(xiàng)外，其余各項(xiàng)系數(shù)的和為16-49=-33.

故選：D.

14.在+的展開式中，除『項(xiàng)外，其余各項(xiàng)的系數(shù)之和為()

A.230B.231C.232D.233

【答案】C

【分析】

令x=l,求得(2x+4-l)的展開式各項(xiàng)的系數(shù)之和，然后求得的通項(xiàng)公式

\X)VX)

4+1(-1)5-/?再分r=0，r=l,r=2,r=3,r=4,r=5求解.

【詳解】

令x=l,則(2x+’-lj的展開式各項(xiàng)的系數(shù)之和為25,

(2x+4-l]的通項(xiàng)公式為：7;+i=C；(2x+，)(-l)5-r,

當(dāng)r=0時(shí)，n=(-1)5,無(wú)一項(xiàng)出現(xiàn)，

當(dāng)r=1時(shí)，&=C；(2X+；|(-1)4無(wú)*2項(xiàng)出現(xiàn)，

當(dāng)時(shí)，比彳㈢

r=2T3=+：J(-1)3=622&-2)3,當(dāng)％=2時(shí),當(dāng)項(xiàng)的系數(shù)為

dd22(-l)3=-40,

當(dāng)時(shí)，；(人無(wú)產(chǎn)項(xiàng)出現(xiàn)

r=3q=C2x+lJ3,?

當(dāng)-4時(shí)，4=C；(2x+j4(_[)=c；c：2.x2s-4,當(dāng)5=3

時(shí)，/項(xiàng)的系數(shù)為-C；C：23=-160,

當(dāng)r=5時(shí)，"=C；(2X+￡|=C5C42'x2'~5)無(wú)/項(xiàng)出現(xiàn)，

所以除V項(xiàng)外，其余各項(xiàng)的系數(shù)之和為32-(-40T60)=232,

故選：C

15.已知(1+x+丁)"=7；。+7>+7>2+…+〃wM其中q為(1+x+/)"展開式中￡項(xiàng)的系數(shù)，

i=0,1,2,…,2”，則下列說(shuō)法不正確的有()

A.T'=T^,i=0,l,2,…,16B.邛+或+媼=短

c.c+r+…+挈=n'+或+…+窗D.c是m，…&中的最大項(xiàng)

【答案】C

【分析】

依題意”=8,寫出(1+x+Y『的展開式，再一一判斷即可；

【詳解】

解：依題意〃=8

所以(l+x+d)8=[(l+x)+d]8

=C：(1+x)8+C；(1+X)，1?+廢(1+x)6X4+C；(1+X)5?/+C：(1+x)4xs+C；(1+x)3x'°+C：(l+x)2x'2+c；(1+x)x"+C；x'6

=1+8X+36X?+112/+266/+504/+784x，+IO16x7+1107x8+1016x9+784x'0+504x"+266x12+112x13+36.r14+8x15+x16

由上式可知，選項(xiàng)A,。正確；

(l+x+x2)9=[(l+x)+x2]?展開式中C；(l+X)9,C；(l+X)y,C；(1+X)'/的f的系數(shù)和為：

甕=《C；+C：仁+C：C；=414,而7^+4+4=36+112+266=414,

故邛+4+1二看，故8正確；

由式子可得，日+以+…+->￡+3+…+邛,故選項(xiàng)C不正確.

故選：C.

16.若(x-2)”>=4+…+即/”>,xeR則下列結(jié)論正確的是()

A.《>=-1024B.4+%+…+%>=-1

C.|%|+聞+同+…+廂=丁°D.a,+2a2+3a3+---+9a9=10

【答案】C

【分析】

A.令x=0可計(jì)算出即的值；

B.令x=l結(jié)合x=0的結(jié)果可計(jì)算出4+a2+…+4o的值；

C.分別令x=±l,然后根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式判斷取值的正負(fù)即可計(jì)算出|%|+|力+|生|+-+|即)|的值；

D.將原式求導(dǎo)，然后令x=l即可得4+2a2+3a3+…+9%+1。4。的值，再根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式即可求解

I11a”)的值，則4+2a2+3a3-+---49a的值可求.

【詳解】

A.令x=0,所以％=(-2戶=2">=1024,故錯(cuò)誤；

B.令x=l,所以%+4+/+…+”10=1，所以6+%+…+4O=T°23,故錯(cuò)誤;

C.令x=-l,所以%-4+6一...+010=(-3)|°=3‘°,又4+4+。2+...+40=1,

所以2(4+<X>+%+…+4o)=3"'+1,2(f/|+6lj+<2j+...+dg)=1—3"',

又因?yàn)?x-2-的展開式通項(xiàng)為Go2)’,所以當(dāng)「為奇數(shù)時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，

O10I1

所以⑷+M+LI+…+|即)|=—^—+=3°,故正確；

929

D.因?yàn)?x-2)")=4+平+出爐+…+40/，所以求導(dǎo)可得：10(x-2)=a}+2a2