數(shù)學微專題27之10-解析幾何中斜率之積為定值的問題探究

微專題：解析幾何中斜率之積為定值（）的問題探究【教學重點】掌握橢圓中的形成的路徑探尋及成果運用理性判斷【教學難點】運算的設(shè)計和化簡活動一：形成的路徑探尋1.

若AB是橢圓上的不過原點的弦，點P是弦AB的中點，且直線OP,AB的斜率都存在，求．【解析】：設(shè)點，，，則有（代點作差）將①式減②式得，，，所以所以，即．【結(jié)論形成總結(jié)】【結(jié)論1】

若AB是橢圓上的非直徑的弦，點P是弦AB的中點，且直線OP,AB的斜率都存在，則．2.已知AB是橢圓上過原點的弦，點P是橢圓異于A,B的任意一點，若直線PA,PB的斜率都存在，記直線PA,PB的斜率分別為．求的值?！窘夥?】：設(shè)，又因為A,B是關(guān)于原點對稱，所以點B的坐標為，所以．又因為點，在橢圓上，所以有兩式相減得，，所以．【方法小結(jié)】本解法從設(shè)點入手，利用“點在曲線上”代點作差使用“點差法”。-------------------------------------------------------------------------------【解法2】橢圓圓化；由圓的結(jié)論類比到橢圓中。過圓上異于直徑兩端點的任意一點與一條直徑的兩個端點連線,則兩條連線的斜率之積為定值類比上述圓的結(jié)論通過伸縮變換橢圓圓化令則有；點P,A,B為橢圓上點點p’,A’,B’為新圓上點由圓上的的關(guān)系過渡到PA,PB上【方法小結(jié)】解法2運用類比聯(lián)想的方法；由圓的結(jié)論過渡到橢圓，學生易于理解，但通過伸縮變換將橢圓圓化的過程對于學生的能力具有一定的要求。這也正是我們要加強訓練的地方?！窘Y(jié)論形成總結(jié)】【

結(jié)論2】

已知AB是橢圓的中心弦，點P是橢圓上任意一點，若直線PA,PB的斜率都存在，則．活動二：結(jié)論的應用【例1】已知橢圓C：，直線m與橢圓C相交于A,B兩點，且AB的中點為P(1,1)則直線m的方程為【解析】本題具有弦中點的特征所以應用結(jié)論1因為P(1,1)易求的，所以所以直線m的方程為：x+2y-3=0如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，B，C分別為橢圓的上、下頂點，直線BF2與橢圓的另一交點為.若，則直線的斜率為.【解析】觀察圖形易發(fā)現(xiàn)BC具有中心弦的特征選用結(jié)論2因為所以所以;在中易知所以直線BD的傾斜角為所以直線BD的斜率為;由結(jié)論可知所以【方法小結(jié)】通過兩道小題強化結(jié)論的應用；并讓學生能夠通過圖形自主發(fā)現(xiàn)中點弦，中心弦的特征，從而合理巧妙的應用結(jié)論?！纠?】如圖，橢圓中，A,B分別為橢圓的左右頂點，是橢圓的右準線，P是橢圓上的動點，直線AP,BP分別交于M,N，求線段MN的最小值?！窘馕觥俊驹O(shè)K法】設(shè)直線AP的斜率為K（k>0），則直線AP的方程為：y=k(x+2);又MN的方程為x=4.易求M(4,6K);又A(-2,0);設(shè)又點B（2,0）；所以；所以直線PB的方程為：；令x=4得；所以解法二：【利用中心弦結(jié)論】設(shè)直線AP的方程為：y=k(x+2);因為所以直線PB的方程為：；易得M(4,6K)；所以解法三：【設(shè)點法】設(shè)M(4,m)(m>0);N(4,n)(n<0);A(-2,),B(2,0)【點評】三種方法兩個角度：顯然從設(shè)點和設(shè)K的角度處理問題結(jié)合中心弦的結(jié)論能夠快速計算找到解題的突破口?！就卣寡由臁吭谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，設(shè)A,B為橢圓上異于頂點的兩點。若OA,OB的斜率之積為，求證：為定值；若OA,OB的斜率之積為，求證：線段AB的中點C在某個定橢圓上。【解析】第一小問設(shè)；；又因為點A,B在橢圓上代入上式得：（2）設(shè);因為C為AB中點因為；所以（1）+（2）×2可得【探究形成結(jié)論】在平面直角坐標系xOy中，設(shè)A,B為橢圓上異于頂點的兩點。若OA,OB的斜率之積為；【解析】設(shè)；；又因為點A,B在橢圓上移項得：由（1）（2）得：由（1）+（2）得：(2)若OA,OB的斜率之積為，求證：線段AB的中點C在某個定橢圓上。設(shè);因為C為AB中點因為；所以可得【小結(jié)】伴生結(jié)論：【鞏固練習】1.（2011江蘇卷18）如圖，在平面直角坐標系中，M、N分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k，對任意k>0，證明：法一：運用點差法求解；主要應用上述結(jié)論推導過程中設(shè)點作差的思想方法。由題意設(shè)，A、C、B三點共線，又因為點P、B在橢圓上，，兩式相減得：法二：注意有中心弦的特征所以嘗試運用結(jié)論1的方法由題意設(shè)，；;由結(jié)論1：;用則法三：因為AB不是中心弦，通過構(gòu)造弦AB中點嘗試運用結(jié)論2的方法設(shè),A、C、B三點共線，又因為點A、B在橢圓上,,兩式相減得：,,【點評】通過一道例題將上述結(jié)論的探究方法（設(shè)點法，點差法等）以及兩個結(jié)論都的到了運用。起到了典例示范的作用，并通過三種方法的對比訓練學生發(fā)現(xiàn)中心弦特征；挖掘弦中點的方法技巧；真正起到學以致用的作用。如圖，已知橢圓:橢圓：，橢圓的離心率為，P在橢圓上，過點P的直線L交橢圓于A,B兩點，且,若直線OP,OA的斜率之積為，求實數(shù)的值?！窘馕觥糠椒ㄒ唬河深}意得，，即，，則，解得所以則所以，即，所以方法二：不妨設(shè)點在第一象限，設(shè)直線，代入橢圓，解得，則，直線的斜率之積為，則直線，代入橢圓，解得，則，則，解得，所以則所以，即，即，所以【課時小結(jié)】通過本節(jié)課學習掌握以下四個方面解析幾何中設(shè)點法，點差法，對稱點，點在曲線上等對點的問題處理技巧。中心弦的特征：；中點弦的特征：；4.半弦的性質(zhì)特征：若OA,OB的斜率之積為；微專題全套27講見：數(shù)學微專題27之1-高考熱點之證明數(shù)列不等式數(shù)學微專題27之2-高考數(shù)學微專題立體幾何中關(guān)于折疊的所有問題數(shù)學微專題27之3-關(guān)于三角函數(shù)最大值問題數(shù)學微專題27之4-函數(shù)放縮公式集錦數(shù)學微專題27之5-函數(shù)視角下數(shù)列的單調(diào)性與最值數(shù)學微專題27之6-衡水中學內(nèi)部數(shù)學錯題集數(shù)學微專題27之7-極化恒等式在向量問題中的應用數(shù)學微專題27之8-解析策略-解析幾何中的數(shù)與形數(shù)學微專題27之9-精準培優(yōu)專練圓錐曲線離心率數(shù)學微專題27之10-解析幾何中斜率之積為定值的問題探究數(shù)學微專題27之11-立體幾何求角的三角函數(shù)值（非空間向量）數(shù)學微專題27之12-平面解析幾何：易錯點與二級結(jié)論數(shù)學微專題27之13-求數(shù)列通項公式的11種方法數(shù)學微專題27之14-三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)數(shù)學微專題27之15-數(shù)列求和的8種常用方法(最全)數(shù)學微專題27之16-數(shù)學手冊數(shù)學微專題27之17-雙變量的“任意性”與“存在性”五種題型的解題方法數(shù)學微專題27之18-同構(gòu)思想在指對型函數(shù)中的應用數(shù)學微專題27之19-外接球的幾種求法數(shù)學微專題2