2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 9-2-3總體集中趨勢的估計9-2-4總體離散程度的估計 課件（39張）

9.2.3總體集中趨勢的估計9.2.4總體離散程度的估計微課1平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)

思考：

利用9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)，計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù).思考1：該市某小區(qū)有2000戶，你能估計該小區(qū)的月用水總量嗎？

思考2：小明用統(tǒng)計軟件計算了100戶居民用水量的平均數(shù)和中位數(shù)，但在錄入數(shù)據(jù)不小心把一個數(shù)據(jù)7.7錄成了77.請計算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù).

中位數(shù)沒有變化，還是6.6t思考3:并與真實的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較。哪個量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？

平均數(shù)由原來的8.79t變?yōu)?.483t,中位數(shù)沒有變化.這是因為樣本平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān),樣本中的任何一個數(shù)據(jù)的改變會引起平均數(shù)的改變；但中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個或兩個值,并未利用其他數(shù)據(jù)，所以不是任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起中位數(shù)的改變,因此,與中位數(shù)較,平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息,對樣本中的極端值更加敏感.微課2：中位數(shù)和平均數(shù)的大小與數(shù)據(jù)分布形態(tài)的關(guān)系思考：平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢,它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在下圖的三種分布形態(tài)中,平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系?（1）單峰，直方圖形狀對稱：（2）右邊“拖尾”：（3）左邊“拖尾”：結(jié)論：和中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“長尾巴”那邊.例1：某學(xué)校要定制高一年級的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格，據(jù)統(tǒng)計，高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如下表所示，校服規(guī)格155160165170175合計頻數(shù)39641679026386如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個量比較合適？試討論用上表中的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生校服規(guī)格的合理性.分析：雖然校服規(guī)格是用數(shù)字表示的，但它們事實上是幾種不同的類別，對于這樣的分類數(shù)據(jù)，用眾數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的代表比較合適.解：為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖來表示表中的數(shù)據(jù)（下圖)可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級女生校服的規(guī)格比較合適.由于全國各地的高一年級女生的身高存在一定的差異，所以用一個學(xué)校的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生的校服規(guī)格不合理.微課3：由頻率分布直方圖估計平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)思考:樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以分別作為總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計，但在某些情況下我們無法獲知原始的樣本數(shù)據(jù)，例如，我們在報紙、網(wǎng)絡(luò)上獲得的往往是已經(jīng)整理好的統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖，這時該如何估計樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？在頻率分布直方圖中，我們無法知道每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的，此時，通常假設(shè)它們在組內(nèi)均勻分布，這樣就可以獲得樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計，進而估計總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).例2

你能以下圖居民用水的頻率分布直方圖提供的信息，估計出樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)嗎?1.由頻率分布直方圖估計平均數(shù)2.由頻率分布直方圖估計中位數(shù)取最高矩形下端中點的橫坐標5.7作為眾數(shù).3.由頻率分布直方圖估計眾數(shù)類題通法(知頻率分布直方圖中求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))(1)眾數(shù)：頻率分布直方圖中，最高矩形的底邊中點的橫坐標．(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分的分界線與x軸交點的橫坐標稱為中位數(shù)．(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和．變式訓(xùn)練如圖為學(xué)生身高頻率分布直方圖.(1)如何在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中估計出眾數(shù)的值?(2)如何在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中估計出中位數(shù)的值?(3)如何在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中估計出平均數(shù)的值?(4)從樣本數(shù)據(jù)可知,該樣本的眾數(shù)是166cm,172cm,中位數(shù)是171cm,平均數(shù)是170.1cm,這與我們從樣本頻率分布直方圖得出的結(jié)論有偏差,你能解釋一下原因嗎?解:(1)眾數(shù)大致的值就是樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中最高小長方形的中點的橫坐標.由直方圖可估計學(xué)生身高眾數(shù)應(yīng)為174.5cm.(2)在樣本中,有50%的個體小于或等于中位數(shù),也有50%的個體大于或等于中位數(shù),因此,在頻率分布直方圖中,中位數(shù)使得在它左邊和右邊的直方圖的面積相等,由此可以估計中位數(shù)的值,如圖,由于0.08+0.22=0.3,0.08+0.22+0.22=0.52,所以中位數(shù)落在區(qū)間[167,172)內(nèi).設(shè)中位數(shù)是x,由0.08+0.22+(x-167)×=0.5,解得x≈171.55.所以學(xué)生身高的中位數(shù)約為171.55cm.(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,是頻率分布直方圖的平衡點,因此,每個小長方形的面積與小長方形底邊中點的橫坐標的乘積之和為平均數(shù).由159.5×0.08+164.5×0.22+169.5×0.22+174.5×0.36+179.5×0.12=170.6,得學(xué)生身高的平均數(shù)為170.6cm.(4)因為樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖只是直觀地表明分布的形狀,從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,也就是說頻率分布直方圖損失了一些樣本數(shù)據(jù)的信息,得到的是一個估計值,且所得估計值與數(shù)據(jù)分組有關(guān),所以估計的值有一定的偏差.

微課4：方差、標準差思考:有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:

甲:7

8

7

9

5

4

9

10

7

4

乙:9

5

7

8

7

6

8

6

7

7如果你是教練,你應(yīng)當如何對這次射擊作出評價?計算平均數(shù)、方差思考1:甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)?

他們的平均成績一樣嗎?提示:經(jīng)計算得(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7,同理可得他們的平均成績一樣..=7思考2:難道這兩個人的水平就沒有什么差異了嗎?你能作出這兩人成績的頻率分布條形圖來說明其水平差異在哪里嗎?提示:頻率分布條形圖如下:從圖上可以直觀地看出,他們的水平還是有差異的,甲成績比較分散,乙成績相對集中.思考：如何度量數(shù)據(jù)的離散程度？一種簡單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法就是用極差，根據(jù)甲、乙運動員的10次射擊成績，可以得到甲命中環(huán)數(shù)的極差=10-4=6乙命中環(huán)數(shù)的極差=9-5=4.這種方法有什么不足？

極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度，但因為極差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個值的信息，對其他數(shù)據(jù)的取值情況沒有涉及，所以極差所含的信息量很少.是否還有更合適的方法？

思考：對于樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)設(shè)想通過各數(shù)據(jù)到其平均數(shù)的平均距離來反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度，那么這個平均距離如何計算？為了避免式中含有絕對值，通常改用平方來代替，即方差對于樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，稱下式為這組數(shù)據(jù)的方差（variance).有時為了計算方差的方便，我們還把方差寫成由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方，與原始數(shù)據(jù)不一致.為了使二者單位一致，我們對方差開平方，取它的算術(shù)平方根，即我們稱上式為這組數(shù)據(jù)的標準差（standarddeviation).思考3:現(xiàn)實中的總體所包含的個體數(shù)往往是很多的,總體的平均數(shù)與標準差是不知道的.如何求得總體的平均數(shù)和標準差呢?提示：通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標準差去估計總體的平均數(shù)與標準差.這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的.例3在對樹人中學(xué)高一年級學(xué)生身高的調(diào)查中,采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù),只知道抽取了男生23人,其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,抽取了女生27人,

其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的方差,并對高一年級全體學(xué)生身高方差作出估計嗎?解：把男生樣本記為x1,x2,…，x23,其平均數(shù)記為，方差記為

;把女生樣本記為y1,y2,...y27,其平均數(shù)記為

,方差記為

;把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為

.根據(jù)方差的定義，總樣本方差為男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62把已知的男生、女生樣本平均數(shù)和方差的取值代入，可得

并據(jù)此估計高一年級學(xué)生身高的總體方差為51.4862.（1）中位數(shù)不受少數(shù)極端值的影響（2）眾數(shù)無法客觀地反映總體的特征（3）平均數(shù)受極端值的影響較大數(shù)字特征（1）數(shù)學(xué)抽象：通過樣本的數(shù)字特征，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)（2）數(shù)學(xué)運算：通過數(shù)字特征的計算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)（3）數(shù)據(jù)分析：利用樣本的數(shù)字特征的分析數(shù)據(jù)、預(yù)測問題利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征的方法(1)眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點的橫坐標.(2)中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖的面積相等。(3)平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和。中位數(shù)眾數(shù)頻率分布直方圖中的數(shù)字特征平均數(shù)標準差：方差：集中離散易錯提醒核心知識核心素養(yǎng)方法總結(jié)總體集中趨勢的估計總體離散程度的估計1.一組樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為13,14,19,x,23,27,28,31,其中位數(shù)為22,則x等于(

)

A.21 B.22 C.20 D.23解析:根據(jù)題意知,中位數(shù)22=,則x