數(shù)學人教A版（2023）選擇性必修第一冊1.3空間向量及其運算的坐標表示（共51張ppt）

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1.3空間向量及其運算的坐標表示

章節(jié)：第一章空間向量與立體幾何

標題：

1.3.1空間直角坐標系

PART01

教學目標

環(huán)節(jié)1：教學目標分解

教學目標素養(yǎng)目標

1.在平面直角坐標系的基礎上，了解空間直角坐標系，感受建立空間直角坐標系的必要性，會用空間直角坐標系刻畫點的位置.數(shù)學抽象直觀想象

邏輯推理

數(shù)學運算

2.掌握空間向量的線性運算和數(shù)量積的坐標表示.3.能借助空間向量的坐標表示，探索并得出空間兩點間的距離公式.4.能利用空間向量的坐標運算解決垂直、夾角、長度等問題環(huán)節(jié)2：教學重難點

重點：

1.掌握空間向量的線性運算和數(shù)量積的坐標表示

2.能利用空間向量的坐標運算解決垂直、夾角、長度等問題

難點：能利用空間向量的坐標運算解決垂直、夾角、長度等問題

PART02

新課講授

1.復習回顧

1.空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一的有序實數(shù)組，使得

.

若三個向量不共面，我們把叫做空間向量的一個基底，都叫做基向量。

空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底.

2.正交基底：特別地，如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示.

由空間向量基本定理知，對空間中的任意向量，均可以分解為三個向量，，，使.

像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解.

是否共面

三個空間向量是否能構成一個基底

假設，運用空間向量基本定理，建立，的方程組，

若有解，則共面，不能作為基底；

若無解，則不共面，能作為基底．

3.判斷基底

2.空間直角坐標系與空間點的坐標

回顧平面直角坐標系如何定義？

在平面內選取一點和一個單位正交基底以為原點，分別以,的方向為軸,軸的正方向建立平面直角坐標系.

O

A(x,y)

如圖，對平面內任一向量，存在唯一實數(shù)對，使=

類比平面直角坐標系得空間直角坐標系

情景一：

問題1類比到空間直角坐標系中，空間直叫坐標系包含哪些要素？這些要素滿足哪些條件？

三要素平面空間

原點原點原點

坐標軸兩條相互垂直的數(shù)軸：軸、y軸兩條相互垂直的數(shù)軸：

軸、y軸、軸

單位長度單位長度為1單位長度為1

概念1：

空間直角坐標系，其中為單位正交基底，為原點，坐標軸為軸、軸、軸，坐標平面為平面，平面，平面.

它們把空間分成八個部分.

x

y

z

i

j

k

O

問題2如何畫出空間直角坐標系？

橫軸

縱軸

豎軸

①畫軸：畫空間直角坐標系Oxyz時，一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.

②建系：建立右手直角坐標系.

注意：三線要兩兩垂直！

在平面直角坐標系中，每一個點和向量都可用一對有序實數(shù)(即它的坐標)表示.

情景二：

問題3對空間直角坐標系中的每一個點和向量，是否也有類似的表示呢？

對平面內任一向量，存在唯一實數(shù)對，使=

i

j

O

k

x

y

z

A

由空間向量基本定理，

存在唯一的有序實數(shù)組，使.

點在空間直角坐標系中的坐標：

：橫坐標；：縱坐標；：豎坐標

向量的坐標表示為=

點

向量

概念2：

在空間直角坐標系中,給定向量,由空間向量基本定理,存在唯一的有序實數(shù)組,使=x+y+z.

有序實數(shù)組叫做在空間直角坐標系z中的坐標,可簡記作=.

這樣在空間直角坐標系中，空間中的點和向量都可以用三個有序實數(shù)表示.

x

y

z

O

i

j

k

A(x,y,z)

1.平移

2.向量的運算（加減法）

3.末減初

課堂例題

例1如圖，在長方體中，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系.

(1)寫出四點的坐標；

(2)寫出向量，，，的坐標.

O

x

y

z

A

B

C

B′

A′

C′

D′

解(1):因為，所以，

因為，所以，

點在軸，軸，軸上的射影分別為,且在坐標軸上的坐標分別為,所以

點在軸，軸，軸上的射影分別為,且在坐標軸上的坐標分別為,所以.

(2):，

.

O

x

y

z

A

B

C

B′

A′

C′

D′

課堂例題

PART03

新課小結

1.空間直角坐標系:空間直角坐標系，其中為單位正交基底，為原點，坐標軸為軸、軸、軸，坐標平面為平面，平面，平面.

2.在空間直角坐標系中,給定向量,由空間向量基本定理,存在唯一的有序實數(shù)組,使=x+y+z.

有序實數(shù)組叫做在空間直角坐標系z中的坐標,可簡記作=.

章節(jié)：第一章空間向量與立體幾何

標題：1.3.2空間向量運算的坐標表示

目

錄

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1.教學目標

2.新課講授

3.新課小結

4.作業(yè)鞏固

環(huán)節(jié)1：教學目標分解

教學目標素養(yǎng)目標

1.在平面直角坐標系的基礎上，了解空間直角坐標系，感受建立空間直角坐標系的必要性，會用空間直角坐標系刻畫點的位置.數(shù)學抽象直觀想象

邏輯推理

數(shù)學運算

2.掌握空間向量的線性運算和數(shù)量積的坐標表示.3.能借助空間向量的坐標表示，探索并得出空間兩點間的距離公式.4.能利用空間向量的坐標運算解決垂直、夾角、長度等問題環(huán)節(jié)2：教學重難點

重點：

1.掌握空間向量的線性運算和數(shù)量積的坐標表示

2.能利用空間向量的坐標運算解決垂直、夾角、長度等問題

難點：能利用空間向量的坐標運算解決垂直、夾角、長度等問題

PART02

新課講授

1.空間向量的坐標運算表示

問題1平面向量中有哪些運算？

名稱坐標表示

加法

減法

數(shù)乘

數(shù)量積

情景一：

名稱坐標表示

模長

夾角

平行

垂直

問題2你能否類比到空間向量的運算？

設

與平面向量運算的坐標表示一樣，我們有：

下面我們證明空間向量數(shù)量積運算的坐標表示

設則

所以

利用向量數(shù)量積的分配律以及

得，

空間向量的運算證明，希望大家在課后自主證明

空間向量運算的坐標表示

設

名稱坐標表示

加法

減法

數(shù)乘

數(shù)量積

概念1：

名稱坐標表示

模長

夾角

平行當時

垂直

問題3你能利用空間向量運算的坐標表示推導空間兩點間的距離公式嗎？

如圖建立空間直角坐標系，

設，是空間中任意兩點，

則.

.

O

空間兩點間的距離公式

課堂例題

例2如圖，在正方體中，分別是，的中點.求證.

證明:不妨設正方體的棱長為1，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則所以.

又，，所以.

所以.

所以，即.

課堂例題

例3如圖，在棱長為1的正方體中，為的中點，分別在棱，上，，.

(1)求的長.

(2)求與所成角的余弦值.

解(1):建立如圖所示的空間直角坐標系，

則點的坐標為點的坐標為.

于是.

解(2):由已知，得，

，，

所以，

所以

所以

所以，與所成角的余弦值是.

PART03

新課小結

空間向量運算