高中數(shù)學(xué)第8章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)訓(xùn)練提升新人教版選修3

8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)課后·訓(xùn)練提升基礎(chǔ)鞏固1.高二第二學(xué)期期中考試,按照甲、乙兩個(gè)班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀和及格統(tǒng)計(jì)人數(shù)后,得到如下列聯(lián)表:單位:人班級數(shù)學(xué)成績合計(jì)優(yōu)秀及格甲班113445乙班83745合計(jì)197190則隨機(jī)變量χ2的值約為()A.0.600 B.0.828 C.2.712 D.6.004答案:A解析:根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),可得隨機(jī)變量χ2=90×(11×37-34×2.分類變量X和Y的列聯(lián)表如下,則下列說法判斷正確的是()XY合計(jì)Y1Y2X1aba+bX2cdc+d合計(jì)a+cb+da+b+c+dA.ad-bc越小,說明X和Y關(guān)系越弱B.ad-bc越大,說明X和Y關(guān)系越強(qiáng)C.(ad-bc)2越大,說明X與Y關(guān)系越強(qiáng)D.(ad-bc)2越接近于0,說明X與Y關(guān)系越強(qiáng)答案:C解析:2×2列聯(lián)表可以較為準(zhǔn)確地判斷兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系,由χ2=(a+b+c+d)(ad-bc)2(a+b)(3.有兩個(gè)分類變量X,Y,其列聯(lián)表如下所示,XYY1Y2X1a20-aX215-a30+a其中a,15-a均為大于5的整數(shù),若變量X與Y不獨(dú)立,這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05,則a的值為()A.8 B.9 C.8或9 D.6或8答案:C解析:根據(jù)公式,得χ2=65×[a(30+a根據(jù)a>5,且15-a>5,a∈Z,求得當(dāng)a=8或9時(shí)滿足題意.4.若由一個(gè)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得χ2≈4.013,那么可以認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)系,這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過()α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.0.005 B.0.05 C.0.01 D.0.001答案:B解析:由一個(gè)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得χ2≈4.013,因?yàn)棣?≈4.013>3.841=x0.05,那么可以認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)系,這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05.5.下列關(guān)于等高堆積條形圖的敘述正確的是()A.從等高堆積條形圖中可以精確地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系B.從等高堆積條形圖中可以看出兩個(gè)變量頻數(shù)的相對大小C.從等高堆積條形圖中可以粗略地看出兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系D.以上說法都不對答案:C6.某大學(xué)為調(diào)查畢業(yè)學(xué)生的就業(yè)狀況,抽查了100名學(xué)生畢業(yè)一個(gè)月能否就業(yè)的情況,得到2×2列聯(lián)表如下:單位:人性別就業(yè)合計(jì)能就業(yè)不能就業(yè)男生401050女生302050合計(jì)7030100如果該大學(xué)認(rèn)為畢業(yè)學(xué)生一個(gè)月能否找到工作與性別有關(guān),那么犯錯(cuò)誤的概率不會超過.

附:χ2=nα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828答案:0.05解析:由列聯(lián)表數(shù)據(jù)可得,χ2=100×(40×20-10×30)250×故犯錯(cuò)誤的概率不會超過0.05.7.某學(xué)生對其親屬30人的飲食進(jìn)行了一次調(diào)查,30人的飲食指數(shù)如圖所示.(說明:圖中飲食指數(shù)低于70的人,飲食以蔬菜為主;飲食指數(shù)高于70的人,飲食以肉類為主)甲(50歲以下)214345587476777882838590乙(50歲以上)202125262627323336373942444558617578(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表;單位:人年齡主食合計(jì)主食蔬菜主食肉類50歲以下50歲以上合計(jì)(2)根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)分析其親屬的飲食習(xí)慣與年齡是否有關(guān),并寫出簡要分析.解(1)2×2列聯(lián)表如下:單位:人年齡主食合計(jì)主食蔬菜主食肉類50歲以下481250歲以上16218合計(jì)201030(2)零假設(shè)為H0:親屬的飲食習(xí)慣與年齡無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計(jì)算得到χ2=30×(4×2-16×8)2根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.8.某旅行社為調(diào)查市民喜歡“人文景觀”景點(diǎn)是否與年齡有關(guān),隨機(jī)抽取了55名市民,得到數(shù)據(jù)如下表所示:單位:人年齡是否喜歡合計(jì)喜歡不喜歡大于40歲2052520歲至40歲102030合計(jì)302555(1)根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)分析喜歡“人文景觀”景點(diǎn)與年齡是否有關(guān).(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法從喜歡“人文景觀”景點(diǎn)的市民中隨機(jī)抽取6人作進(jìn)一步調(diào)查,將這6名市民作為一個(gè)樣本,從中任選2人,求恰有1名大于40歲的市民和1名20歲至40歲的市民的概率.解(1)零假設(shè)為H0:喜歡“人文景觀”景點(diǎn)與年齡無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計(jì)算得χ2=55×(20×20-5×10)225×根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,因此可以認(rèn)為喜歡“人文景觀”景點(diǎn)與年齡有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.(2)由題意知抽取的6人中大于40歲的市民有4人,20歲至40歲的市民有2人,分別記為B1,B2,B3,B4,C1,C2,從中任選2人的可能結(jié)果有(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,B4),(B2,C1),(B2,C2),(B3,B4),(B3,C1),(B3,C2),(B4,C1),(B4,C2),(C1,C2),共15個(gè),其中恰有1名大于40歲的市民和1名20歲至40歲的市民的結(jié)果有(B1,C1),(B1,C2),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(B4,C1),(B4,C2),共8個(gè),因此恰有1名大于40歲的市民和1名20歲至40歲的市民的概率為8159.某市環(huán)保部門對該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參加機(jī)會,通過隨機(jī)抽樣,得到參與問卷調(diào)查的100人的得分(滿分:100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示.組別[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)男235151812女051010713(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”,請列出2×2列聯(lián)表,根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析“環(huán)保關(guān)注者”是否與性別有關(guān).(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達(dá)人”,視頻率為概率:①在我市所有“環(huán)保達(dá)人”中,隨機(jī)抽取3人,求抽取的3人中,既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率;②為了鼓勵(lì)市民關(guān)注環(huán)保,針對此次的調(diào)查制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:“環(huán)保達(dá)人”獲得兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會;其他參與的市民獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會,每次抽獎(jiǎng)獲得紅包的金額和對應(yīng)的概率如下表:紅包金額/元1020概率31現(xiàn)某市民要參加此次問卷調(diào)查,記X(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲得的紅包金額,求X的分布列及均值.附表及公式:χ2=n(ad-χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解:(1)零假設(shè)為H0:“環(huán)保關(guān)注者”與性別無關(guān)聯(lián).由題中表格可得2×2列聯(lián)表如下:單位:人性別是否為“環(huán)保關(guān)注者”合計(jì)非“環(huán)保關(guān)注者”“環(huán)保關(guān)注者”男104555女153045合計(jì)2575100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式χ2=n(ad-得χ2=100×(10×30-45×15)255×根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,因此可以認(rèn)為H0成立,即認(rèn)為性別與“環(huán)保關(guān)注者”無關(guān)聯(lián).(2)視頻率為概率,則抽取1人為男“環(huán)保達(dá)人”的概率為35,為女“環(huán)保達(dá)人”的概率為2①抽取的3人中既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率為P=1-25②X的取值為10,20,30,40;P(X=10)=12P(X=20)=12P(X=30)=C2P(X=40)=12故X的分布列為X10203040P31331E(X)=10×38+20×1332+30×316+40能力提升1.(多選題)針對當(dāng)下的“短視頻熱”,某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)”做了一次調(diào)查,其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同,男生喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的45,女生喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的35.若認(rèn)為喜歡短視頻和性別有關(guān)犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05,則調(diào)查中男生的人數(shù)可能是(α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828附:χ2=n(A.25 B.35 C.45 D.55答案:CD解析:設(shè)男生的人數(shù)為5n(n∈N*),根據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表如表所示:是否喜歡短視頻性別合計(jì)男生女生喜歡4n3n7n不喜歡n2n3n合計(jì)5n5n10n則χ2=10n因?yàn)檎J(rèn)為喜歡短視頻和性別有關(guān)犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05,則χ2≥3.841,即10n21≥3.841,得n≥8.因?yàn)閚∈N*,所以n的可能取值有9,10,11,…,所以調(diào)查人數(shù)中男生人數(shù)可能是45,50,55,….2.某校為了解學(xué)生對餐廳食品質(zhì)量的態(tài)度(滿意或不滿意),對在餐廳就餐的學(xué)生隨機(jī)做了一次調(diào)查.其中被調(diào)查的男生、女生人數(shù)相同,有16的男生態(tài)度是“不滿意”,有13的女生態(tài)度是“不滿意”,根據(jù)小概率值α=0.01的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)得到男生和女生對餐廳食品質(zhì)量的態(tài)度有差異,則調(diào)查的總?cè)藬?shù)可能為(A.120 B.160 C.240 D.260答案:C解析:設(shè)調(diào)查的總?cè)藬?shù)為x,則男生人數(shù)有x2人,女生人數(shù)有x2由題意完成2×2列聯(lián)表如下:性別態(tài)度合計(jì)滿意不滿意男生5xxx女生xxx合計(jì)3xxx根據(jù)小概率值α=0.01的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)得到男生和女生對餐廳食品質(zhì)量的態(tài)度有差異,則χ2=x·5x12·x6-x3·x122結(jié)合選項(xiàng)知,調(diào)查的總?cè)藬?shù)可能為240或260,又260×112≈21.7,不符合題意,故選C3.為研究某新藥的療效,給100名患者服用此藥,跟蹤調(diào)查后得到數(shù)據(jù)如下表所示:單位:人性別是否有效果合計(jì)無效有效男性患者153550女性患者64450合計(jì)2179100設(shè)H0:服用此藥的效果與患者的性別無關(guān),則χ2≈(結(jié)果精確到0.1).

答案:4.9解析:由公式計(jì)算得χ2≈4.9.4.為了研究玉米品種對產(chǎn)量的影響,某農(nóng)科院對一塊試驗(yàn)田種植的一批玉米共10000株的生長情況進(jìn)行研究,現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣方法抽取50株作為樣本,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:單位:株玉米粒的形狀植株的高矮合計(jì)高莖矮莖圓粒102030皺粒14620合計(jì)242650(1)現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法,先從該樣本所含的圓粒玉米中取出6株玉米,再從這6株玉米中隨機(jī)選出2株,求這2株之中既有高莖玉米又有矮莖玉米的概率;(2)根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析玉米粒的形狀與植株的高矮有無關(guān)聯(lián).解:(1)依題意,取出的6株圓粒玉米中含高莖2株,記為a,b;矮莖4株,記為A,B,C,D,從中隨機(jī)選取2株有如下15種情況:aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,ab,AB,AC,AD,BC,BD,CD.其中滿足題意的共有aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,共8種,則所求概率為P=815(2)零假設(shè)為H0:玉米粒的形狀與植株的高矮之間無關(guān)聯(lián).根據(jù)已知列聯(lián)表,得χ2=50×(10×6-14×20)230×20×24×26≈6.464>3.841=x0.05,根據(jù)小概率值α5.為比較注射A,B兩種藥物產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積,選200只家兔做試驗(yàn),將這200只家兔隨機(jī)地分成兩組,每組100只,其中一組注射藥物A,另一組注射藥物B.表1和表2所示的分別是注射藥物A和藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布.(皰疹面積單位:mm2)表1皰疹面積[60,65)[65,70)[70,75)[75,80]頻數(shù)30402010表2皰疹面積[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85]頻數(shù)1025203015(1)完成圖①和圖②所示的分別注射藥物A,B后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖,并求注射藥物A后皰疹面積的中位數(shù);圖①圖②(2)完成2×2列聯(lián)表,根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析皰疹面積是否與注射兩種藥物有關(guān).單位:只注射藥物皰疹面積合計(jì)皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2注射藥物Aa=b=注射藥物Bc=d=合計(jì)附:χ2=n(ad-χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解:(1)根據(jù)題意,完成圖①和圖②的頻率分布直方圖,如圖所示:圖①圖②注射藥物A后皰疹面積的中位數(shù)為x=65+5×0.20.4(2)零假設(shè)為H0:皰疹面積與注射兩種藥物獨(dú)立,即皰疹面積與注射兩種藥物無關(guān).單位:只注射藥物皰疹面積合計(jì)皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2注射藥物Aa=70b=30100注射藥物Bc=35d=65100合計(jì)10595200得χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為皰疹面積與注射兩種藥物有關(guān),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.6.高鐵、網(wǎng)購、移動支付和共享單車被譽(yù)為中國的“新四大發(fā)明”,彰顯出中國式創(chuàng)新的強(qiáng)勁活力.某移動支付公司從某市移動支付用戶中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):每周移動支付次數(shù)1次2次3次4次5次6次及以上男10873215女5464630合計(jì)1512137845(1)把每周使用移動支付超過3次的用戶稱為“移動支付活躍用戶”,依據(jù)小概率值α=0.005的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),分析“移動支付活躍用戶”與性別是否有關(guān).(2)把每周使用移動支付6次及6次以上的用戶稱為“移動支付達(dá)人”,視頻率為概率,在該市所有“移動