二次函數(shù)求最值方法總結6資料文檔

二次函數(shù)求最值方法總結從近幾年的各地中考試卷來看，求面積的最值問題在壓軸題中比較常見，而且通常與二次函數(shù)相結合。在這里以一道中考題為例，介紹幾種不同的解題方法，供同學們參考，都掌握了之后一定會在壓軸題上有一個大的提升。ps.因格式問題，部分上標未能正常顯示，望知悉。1題目如圖1，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A(1，0)，B(－3，0)兩點。(1)求該拋物線的解析式；

(2)設(1)中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最?。咳舸嬖?，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點P的坐標及△PBC的面積最大值；若沒有，請說明理由。解答：

(1)拋物線解析式為y＝－x2－2x＋3；

(2)Q(－1，2)；下面著重探討求第(3)小題中面積最大值的幾種方法．解法1補形、割形法幾何圖形中常見的處理方式有分割、補形等，此類方法的要點在于把所求圖形的面積進行適當?shù)难a或割，變成有利于表示面積的圖形。方法一如圖3，設P點（x，－x2－2x＋3）(－3<x<0)．方法二

如圖4，設P點(x，－x2－2x＋3)(－3<x<0)．（下略．）解法2“鉛垂高，水平寬”面積法如圖5，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高(h)”，我們可得出一種計算三角形面積的另一種方法：S△ABC＝1/2ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半。根據(jù)上述方法，本題解答如下：解

如圖6，作PE⊥x軸于點E，交BC于點F．設P點（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0）．∴點P坐標為（－3/2，15/4）解法3切線法若要使△PBC的面積最大，只需使BC上的高最大．過點P作BC的平行線l，當直線l與拋物線有唯一交點(即點P)時，BC上的高最大，此時△PBC的面積最大，于是，得到下面的切線法。解

如圖7，直線BC的解析式是y＝x＋3，過點P作BC的平行線l，從而可設直線l的解析式為：y＝x＋b．

=27/8解法4三角函數(shù)法本題也可直接利用三角函數(shù)法求得．解

如圖8，作PE⊥x軸交于點E，交BC于點F，作PM⊥BC于點M．設P點（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0），則F(x，x＋3)．從以上四種解法可以看到，本題解題思路都是過點P作輔助線，然后利用相關性質(zhì)找出各元素之間的關系進行求解。二次函數(shù)的最值及其應用一、當自變量不受限制時二次函數(shù)求最值的方法有兩種：1、公式法——代入拋物線的頂點坐標公式對于二次函數(shù)

（）

（1）若a>0，當

時，

最小

由于拋物線開口向上，此時無最大值（2）若a<0，當

時，

最大

由于拋物線開口向下，此時無最小值2、配方法——先配方，再利用非負數(shù)的性質(zhì)先配方：

再利用非負數(shù)的性質(zhì)：因為

，（當

時，

）所以，（1）若a>0，當

時，

最小

（2）若a<0，當

時，

最大

【注】兩種方法同等重要，第一種方法過程較簡單，結合了拋物線的頂點坐標，是幾何法，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想；第二種方法是代數(shù)法，雖然步驟較麻煩，但卻是處理最值問題的一種常見方法，以后用途非常之廣。【例1】對于二次函數(shù)y=-2x2-4x+1，求其最值【解析】由于a=-2<0，拋物線開口向下，所以無最小值解法一：當

時，

最大2

解法二：配方得：y=-2(x+1)2+3因為-2(x+1)2≤0，(當x=-1時，-2(x+1)2=0)∴當x=-1時，

最大

二、當自變量有限制條件時此時，我們往往考慮三個方面：1、自變量的取值范圍是什么？2、在取值范圍內(nèi)，頂點橫坐標(對稱軸)能否取到？3、結合對稱軸，考慮二次函數(shù)增減性以及端點處離對稱軸的水平距離【例2】(例1變式)對于二次函數(shù)y=-2x2-4x+1（1）當-3≤x≤0時，求其最值（2）當-5≤x≤-3時，求其最值【解析】（1）

，而-3≤-1≤0即當x=-1時，y仍有最大值：最大2

由于拋物線開口向下，最小值應在最低點取得，對于x=-3和x=0的兩端點，誰離對稱軸水平距離較遠，誰為最低點。|-3-(-1)|=2，|0-(-1)|=1∴當x=-3時，y取得最小值：

最小2

（2）當x＜-1時，y隨x的增大而增大，而給定的自變量取值范圍-5≤x≤-3，包含其中，所以：①當x=-5時，

最小2

②當x=-3時，

最大2

【注】這里自變量的取值范圍是直接給出的，是“顯性”的，所以只需要考慮其他兩個方面就行了【例3】（江蘇南通）已知實數(shù)m，n滿足m-n2=1，則代數(shù)式m2+2n2+4m-1的最小值=______【解析】令y=m2+2n2+4m-1由m-n2=1可得：n2=m-1，代入代數(shù)式可得y=m2+6m-3這樣我們就建立了y關于m的二次函數(shù)。這里需要注意，自變量m的取值范圍并不是全體實數(shù)，這是由于m=n2+1≥1y=m2+6m-3=(m+3)2-12當m>-3時，y隨x的增大而增大所以，當m=1時，

最小2

【注】這里極易得到錯誤答案-12，這是因為這里自變量m的取值范圍是隱藏的，是“隱性”的。這就需要我們警惕，在解決函數(shù)最值問題時，自變量的取值范圍是要優(yōu)先考慮的，只有確定了自變量的取值范圍，其最值才能確定，這一點極其重要！【例4】（浙江嘉興）當-2≤x≤1時，二次函數(shù)y=-(x-m)2+m2+1有最大值4，則實數(shù)m的值為（

）

或

或

或或

【解析】這里給出了頂點式，可得頂點坐標為(m,m2+1)，但是最大值一定在頂點處嗎？由于對稱軸x=m位置不定，所以要分類討論：①若-2＜m＜1，當x=m時，

最大2

解得：

或

(與-2＜m＜1矛盾，故舍去)②若m≤-2，當-2≤x≤1時，y隨x的增大而減小當x=-2時，y取得最大值

最大22

解得：

(與m≤-2矛盾，故舍去)③當m≥1時，當-2≤x≤1時，y隨x的增大而增大當x=1時，y取得最大值

最大22

解得：

綜上所述，

或

，故選C【注】與【例2】【例3】不同，這里對稱軸的位置是不確定的，所以需要進行分類討論三、練習題1、已知二次函數(shù)y=3x2+6x-3（1）求其最值（2）當-2≤x≤1時，求其最值（3）當0≤x≤3時，