簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程市名師優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎(jiǎng)市公開課獲獎(jiǎng)?wù)n件

三

簡(jiǎn)單曲線極坐標(biāo)方程第1頁【自主預(yù)習(xí)】1.極坐標(biāo)方程與平面曲線在極坐標(biāo)系中,方程f(ρ,θ)=0叫做平面曲線C極坐標(biāo)方程,滿足條件:(1)平面曲線C上任意一點(diǎn)極坐標(biāo)中___________滿足方程f(ρ,θ)=0.最少有一個(gè)第2頁(2)坐標(biāo)適合方程___________點(diǎn)都在曲線C上.f(ρ,θ)=0第3頁2.圓極坐標(biāo)方程圓心位置極坐標(biāo)方程圖形圓心在極點(diǎn)(0，0)ρ=__(0≤θ<2π)圓心在點(diǎn)(r，0)ρ=_________圓心在點(diǎn)(r，)ρ=________(0≤θ<π)r2rcosθ2rsinθ第4頁圓心位置極坐標(biāo)方程圖形圓心在點(diǎn)(r，π)ρ=__________圓心在點(diǎn)ρ=_________(-π<θ≤0)-2rcosθ-2rsinθ第5頁3.直線極坐標(biāo)方程(ρ∈R)直線位置極坐標(biāo)方程圖形過極點(diǎn),傾斜角為α(1)θ=___(ρ∈R)或θ=______(ρ∈R)(2)θ=α(ρ≥0)和θ=π+α(ρ≥0)απ+α第6頁直線位置極坐標(biāo)方程圖形過點(diǎn)(a,0),且與極軸垂直________=a

過點(diǎn)且與極軸平行________=a(0<θ<π)ρcosθρsinθ第7頁【即時(shí)小測(cè)】1.極坐標(biāo)系中,圓心在極點(diǎn),半徑為2圓極坐標(biāo)方程為()A.ρ=2 B.ρ=4C.ρcosθ=1 D.ρsinθ=1第8頁【解析】選A.由圓心在極點(diǎn),半徑為r圓極坐標(biāo)方程為ρ=r,得圓心在極點(diǎn),半徑為r圓極坐標(biāo)方程為ρ=2.第9頁2.極軸所在直線極坐標(biāo)方程為________.【解析】如圖,設(shè)M(ρ,θ)是極軸所在直線上任意一點(diǎn),則θ=0(ρ∈R).答案:θ=0(ρ∈R)第10頁【知識(shí)探究】探究點(diǎn)曲線極坐標(biāo)方程1.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(ρ,θ)軌跡方程中一定同時(shí)含有ρ,θ嗎?提醒:不一定,如圓心在極點(diǎn),半徑為1極坐標(biāo)方程為ρ=1,方程中只含有ρ.第11頁2.怎樣求圓心為C(ρ0,θ0),半徑為r圓極坐標(biāo)方程?第12頁提醒:設(shè)圓C上任意一點(diǎn)極坐標(biāo)為M(ρ,θ),如圖,在△OCM中,由余弦定理,得|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos∠COM=|CM|2,即ρ2+-2ρρ0cos(θ-θ0)=r2.當(dāng)O,C,M三點(diǎn)共線時(shí),點(diǎn)M極坐標(biāo)也適合上式,所以圓心為C(ρ0,θ0),半徑為r圓極坐標(biāo)方程為ρ2+-2ρρ0cos(θ-θ0)-r2=0.第13頁【歸納總結(jié)】1.曲線極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程在極坐標(biāo)系中,因?yàn)辄c(diǎn)極坐標(biāo)表示形式不唯一,即(ρ,θ),(ρ,θ+2π),(-ρ,θ+π),(-ρ,θ-π)都表示同一點(diǎn),這與點(diǎn)直角坐標(biāo)含有唯一性顯著不一樣.所以對(duì)于曲線上同一點(diǎn)極坐標(biāo)各種表示形式,只要求第14頁點(diǎn)極坐標(biāo)中最少有一個(gè)能滿足曲線極坐標(biāo)方程即可.第15頁2.曲線極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程相互轉(zhuǎn)化及應(yīng)用(1)與點(diǎn)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)化一樣,以平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,且在兩坐標(biāo)系中取相同長(zhǎng)度單位.平面內(nèi)曲線(含直線)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程也能夠進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化.第16頁(2)較簡(jiǎn)單曲線極坐標(biāo)方程可直接求,較復(fù)雜曲線極坐標(biāo)方程能夠先求直角坐標(biāo)方程,然后再轉(zhuǎn)化.尤其提醒:極坐標(biāo)方程對(duì)應(yīng)曲線形狀往往不易看出,通常是先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,然后再分析形狀.第17頁類型一圓極坐標(biāo)方程【典例】在極坐標(biāo)系中,已知圓C圓心為C,半徑為1,求圓C極坐標(biāo)方程.第18頁【解題探究】求圓極坐標(biāo)方程時(shí)需要注意什么問題?提醒:求圓極坐標(biāo)方程時(shí)需要檢驗(yàn)特殊點(diǎn)是否適合方程.第19頁【解析】在圓C上任取一點(diǎn)P(ρ,θ),在△POC中,由余弦定理可得CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos∠POC,即化簡(jiǎn)可得第20頁當(dāng)O,P,C共線時(shí),此方程也成立,故圓C極坐標(biāo)方程為第21頁【延伸探究】1.試求圓直角坐標(biāo)方程.第22頁【解析】圓心極坐標(biāo)為故直角坐標(biāo)為又已知圓半徑為1,故圓直角坐標(biāo)方程為第23頁2.在極坐標(biāo)系中,試求該圓上點(diǎn)與點(diǎn)距離最大值.第24頁【解析】圓心與點(diǎn)距離

故圓上點(diǎn)與點(diǎn)P距離最大值為第25頁【方法技巧】求圓極坐標(biāo)方程步驟(1)設(shè)圓上任意一點(diǎn)極坐標(biāo)為M(ρ,θ).(2)在極點(diǎn)、圓心與M組成三角形中利用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ,θ)=0并化簡(jiǎn).(3)驗(yàn)證極點(diǎn)、圓心與M三點(diǎn)共線時(shí),點(diǎn)M(ρ,θ)極坐標(biāo)也適合上述極坐標(biāo)方程.第26頁【賠償訓(xùn)練】1.在極坐標(biāo)系中,圓C過極點(diǎn),且圓心極坐標(biāo)是(a>0),則圓C極坐標(biāo)方程是()A.ρ=-2asinθ B.ρ=2asinθC.ρ=-2acosθ D.ρ=2acosθ第27頁【解析】選B.因?yàn)閳A心極坐標(biāo)是,化為直角坐標(biāo)為(0,a),半徑為a,故圓直角坐標(biāo)方程為x2+(y-a)2=a2,再化為極坐標(biāo)方程為ρ=2asinθ.第28頁2.(·西安高二檢測(cè))將極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ化成直角坐標(biāo)方程為________.【解析】由ρ=2cosθ得ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2-2x=0.答案:x2+y2-2x=0第29頁類型二直線極坐標(biāo)方程【典例】在極坐標(biāo)系中,求過點(diǎn)(2,π)且與極軸傾斜角為直線極坐標(biāo)方程.第30頁【解題探究】求直線極坐標(biāo)方程普通方法是什么?提醒:設(shè)出直線上任意一點(diǎn)極坐標(biāo)(ρ,θ),列出ρ,θ關(guān)系式即可.第31頁【解析】令A(yù)(2,π),設(shè)直線上任意一點(diǎn)P(ρ,θ),在△OAP中,∠APO=θ-,由正弦定理得又因?yàn)辄c(diǎn)A(2,π)適合上式,故所求直線極坐標(biāo)方程為第32頁【方法技巧】關(guān)于直線極坐標(biāo)方程(1)求直線極坐標(biāo)方程普通方法.設(shè)出直線上任意一點(diǎn)(ρ,θ),利用三角形中定理,如正弦定理、余弦定理等列出ρ,θ關(guān)系式,即為直線極坐標(biāo)方程.第33頁(2)求直線極坐標(biāo)方程注意事項(xiàng).①當(dāng)ρ≥0時(shí),直線上點(diǎn)極角不是常量,所以直線極坐標(biāo)方程需要轉(zhuǎn)化為兩條射線極坐標(biāo)方程,所以直線極坐標(biāo)方程不如直線直角坐標(biāo)方程唯一且簡(jiǎn)便.②當(dāng)要求了“負(fù)極徑”意義,即ρ∈R時(shí),直線極坐標(biāo)方程就是唯一了.第34頁【變式訓(xùn)練】1.(·銅陵高二檢測(cè))已知點(diǎn)P極坐標(biāo)為(1,π),求過點(diǎn)P且垂直于極軸直線極坐標(biāo)方程.第35頁【解析】點(diǎn)P(1,π)直角坐標(biāo)為(-1,0),所求直線直角坐標(biāo)方程為x=-1,化為極坐標(biāo)方程為ρcosθ=-1.第36頁2.在極坐標(biāo)系中,求過點(diǎn)且與極軸平行直線方程.【解析】點(diǎn)在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)為即(0,2),所以過點(diǎn)(0,2)且與x軸平行直線方程為y=2.即為ρsinθ=2.第37頁類型三直線與圓極坐標(biāo)方程綜合題【典例】(·衡陽高二檢測(cè))在極坐標(biāo)系中,曲線C:ρ=2acosθ(a>0),l:,C與l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).(1)求a值.第38頁(2)O為極點(diǎn),A,B為曲線C上兩點(diǎn),且∠AOB=,求|OA|+|OB|最大值.第39頁【解題探究】(1)怎樣判斷曲線形狀?提醒:將曲線極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程判斷曲線形狀.第40頁(2)怎樣求|OA|+|OB|最大值?提醒:利用點(diǎn)極坐標(biāo)以及三角函數(shù)性質(zhì)求最大值.第41頁【解析】(1)由曲線C:ρ=2acosθ(a>0)得ρ2=2aρcosθ,化為直角坐標(biāo)方程為(x-a)2+y2=a2,直線l:得因?yàn)橹本€與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以d==a,解得a=1,a=-3(舍去).第42頁(2)不妨設(shè)A極角為θ,B極角為θ+,當(dāng)θ=-時(shí),|OA|+|OB|取得最大值2.第43頁【方法技巧】將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程關(guān)鍵因?yàn)橹本€和曲線是滿足某種條件點(diǎn)集合,所以將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程公式依然用點(diǎn)極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)公式y(tǒng)=ρsinθ,x=ρcosθ.第44頁【變式訓(xùn)練】1.(·衡水高二檢測(cè))在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)到圓ρ=-2cosθ圓心距離為()第45頁【解析】選D.點(diǎn)

直角坐標(biāo)為(1,-),圓ρ=-2cosθ即ρ2=-2ρcosθ直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=1,所以點(diǎn)(1,-)到圓心(-1,0)距離為.第46頁2.(·北京高考)在極坐標(biāo)系中,直線ρcosθ-ρsinθ-1=0與圓ρ=2cosθ交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=________.第47頁【解析】直線ρcosθ-ρsinθ-1=0可化為x-y-1=0.圓ρ=2cosθ可化為ρ2(cos2θ+sin2θ)=2ρcosθ,x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,所以圓心(1,0),半徑長(zhǎng)為1.圓心在直線AB上,所以|AB|=2.答案:2第48頁自我糾錯(cuò)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程【典例】(·漳州高二檢測(cè))化極坐標(biāo)方程ρ2cosθ-ρ=0為直角坐標(biāo)方程為(