多元統(tǒng)計(jì)應(yīng)用分析課件

多元統(tǒng)計(jì)分析研究的對(duì)象

一元統(tǒng)計(jì)分析是研究一個(gè)隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科。

多元統(tǒng)計(jì)分析是研究多個(gè)隨機(jī)變量之間相互依賴關(guān)系以及內(nèi)在統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門統(tǒng)計(jì)學(xué)科。它的內(nèi)容既包括一元統(tǒng)計(jì)學(xué)中某些方法的直接推廣，也包括多個(gè)隨機(jī)變量特有的一些問題。多元統(tǒng)計(jì)分析是一類范圍很廣的理論和方法。多元統(tǒng)計(jì)分析研究的對(duì)象1多元統(tǒng)計(jì)分析研究的內(nèi)容和方法簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(降維問題)箱式數(shù)據(jù)平面數(shù)據(jù)變換主成分分析PrincipleAnalysis因子分析FactorAnalysis多元統(tǒng)計(jì)分析研究的內(nèi)容和方法簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(降維問題)箱式數(shù)據(jù)2按觀測(cè)點(diǎn)分類或按變量分組

分類比較是一切科學(xué)比較的基礎(chǔ)和開端對(duì)觀測(cè)點(diǎn)分類:銀行發(fā)放貸款對(duì)各企業(yè)財(cái)務(wù)指標(biāo)、信用狀況進(jìn)行分析對(duì)變量分組:股票市場(chǎng)是宏觀經(jīng)濟(jì)的晴雨表經(jīng)濟(jì)指標(biāo)與股票市場(chǎng)各種指標(biāo)間的群組關(guān)系多元統(tǒng)計(jì)分析研究的內(nèi)容和方法聚類分析判別分析ClusterAnalysisDiscriminantAnalysis按觀測(cè)點(diǎn)分類或按變量分組多元統(tǒng)計(jì)分析研究的內(nèi)容和方法聚類分析3多元統(tǒng)計(jì)分析研究的內(nèi)容和方法變量間的依存關(guān)系、相互關(guān)系尋找變量間的依存關(guān)系是一切科學(xué)研究的主要內(nèi)容尋找一般的規(guī)律：預(yù)測(cè)、控制回歸分析RegressionAnalysis典型相關(guān)分析

Canonicalcorrelatinalanalysis多元統(tǒng)計(jì)分析研究的內(nèi)容和方法變量間的依存關(guān)系、相互關(guān)系回歸分4多元數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)推斷

關(guān)于參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)問題。特別是多元正態(tài)分布的均值向量及協(xié)方差陣的估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)等問題。多元統(tǒng)計(jì)分析的理論基礎(chǔ)

包括多維隨機(jī)向量及多維正態(tài)隨機(jī)向量，及由此定義的各種多元統(tǒng)計(jì)量，推導(dǎo)其分布和性質(zhì)，研究它們的抽樣分布理論。多元統(tǒng)計(jì)分析研究的內(nèi)容和方法多元數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)推斷多元統(tǒng)計(jì)分析研究的內(nèi)容和方法5多元統(tǒng)計(jì)分析的應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析是解決實(shí)際問題的有效的數(shù)據(jù)處理法。它已廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)的各個(gè)方面。如：教育學(xué)、醫(yī)學(xué)、氣象學(xué)、環(huán)境科學(xué)、地質(zhì)學(xué)、考古學(xué)、服裝工業(yè)——服裝的定形分類問題、經(jīng)濟(jì)學(xué)、農(nóng)業(yè)、社會(huì)科學(xué)、文學(xué)、體育科學(xué)、軍事科學(xué)、心理學(xué)、生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、火警預(yù)報(bào)、地震預(yù)報(bào)、保險(xiǎn)科學(xué)等領(lǐng)域。多元統(tǒng)計(jì)分析的應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析是解決實(shí)際問題的有效的6內(nèi)容提要多元正態(tài)分布與參數(shù)估計(jì)1多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)2回歸分析3判別分析45主成分分析6因子分析7聚類分析典型相關(guān)分析8內(nèi)容提要多元正態(tài)分布與參數(shù)估計(jì)1多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)27教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)多元正態(tài)參數(shù)估計(jì)、檢驗(yàn)OneTwoThree回歸分析聚類分析判別分析主成分分析因子分析多元統(tǒng)計(jì)分析典型相關(guān)分析教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)多元正態(tài)參數(shù)OneTwoThree回歸分析聚類分8參考書目應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析（高惠旋編著）北京大學(xué)出版社AppliedMultivariateStatisticalAnalysis

RichardA.Johnson&DeanW.Wichern

PrenticeHall.2001,(4thed).

多元統(tǒng)計(jì)分析引論（張堯庭方開泰編著）科學(xué)出版社參考書目應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析（高惠旋編著）9第一章多元正態(tài)分布與參數(shù)估計(jì)第一章10多元正態(tài)分布與參數(shù)估計(jì)1隨機(jī)向量及其數(shù)字特征2多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)3條件分布與獨(dú)立性5多元正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)多元正態(tài)分布與參數(shù)估計(jì)1隨機(jī)向量及其數(shù)字特征2多元正態(tài)分布的111隨機(jī)向量及其分布

P維隨機(jī)向量聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合密度函數(shù)1隨機(jī)向量及其分布P維隨機(jī)向量12特征函數(shù)一元隨機(jī)變量

的特征函數(shù)：二元隨機(jī)向量的特征函數(shù):P元隨機(jī)向量的特征函數(shù)：求1.邊緣密度.

2.與是否相互獨(dú)立？3.的特征函數(shù)例1特征函數(shù)一元隨機(jī)變量的特征函數(shù)：求1.邊緣密度.例113條件分布與獨(dú)立性兩隨機(jī)向量間的條件分布的D.Fd.fc.f的D.Fd.fc.f的D.Fd.fc.f給定時(shí)，的條件密度函數(shù)條件分布與獨(dú)立性兩隨機(jī)向量間的條件分布的D.F14條件分布與獨(dú)立性

兩隨機(jī)向量獨(dú)立的充分必要條件

與相互獨(dú)立相互獨(dú)立不成立條件分布與獨(dú)立性兩隨機(jī)向量獨(dú)立的充分必要條件15

隨機(jī)向量的數(shù)字特征隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)向量X的方差陣或協(xié)方差陣標(biāo)準(zhǔn)差矩陣:

隨機(jī)向量的數(shù)字特征隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望標(biāo)準(zhǔn)差16隨機(jī)向量的數(shù)字特征兩隨機(jī)向量間的協(xié)方差陣隨機(jī)向量X的相關(guān)系數(shù)陣隨機(jī)向量的數(shù)字特征兩隨機(jī)向量間的協(xié)方差陣17隨機(jī)向量的數(shù)字特征的性質(zhì)隨機(jī)向量X與Y不相關(guān):若X,Y相互獨(dú)立，則；反之不一定成立。均值向量和協(xié)方差陣的性質(zhì):對(duì)稱、非負(fù)定矩陣隨機(jī)向量的數(shù)字特征的性質(zhì)隨機(jī)向量X與Y不相關(guān):對(duì)稱、非負(fù)定18隨機(jī)向量的數(shù)字特征的性質(zhì)

其中L為非負(fù)定矩陣.當(dāng)矩陣(正定)時(shí)，矩陣L稱為的平方根矩陣，記為協(xié)方差陣還可分解為（A為可逆陣）隨機(jī)向量的數(shù)字特征的性質(zhì)其192多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)一元正態(tài)分布一元正態(tài)分布密度函數(shù)形式特征函數(shù)形式一般正態(tài)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)之間的關(guān)系多個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍為正態(tài)變量2多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)一元正態(tài)分布一元正態(tài)分布密20多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)定義1

p維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布設(shè)獨(dú)立同分布于,則稱隨機(jī)向量服從p維正態(tài)分布,記特征函數(shù):密度函數(shù):多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)定義1p維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布特征函21多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)定義2

p維一般正態(tài)分布

設(shè),A為實(shí)數(shù)矩陣，為p維實(shí)數(shù)向量，則

是p維正態(tài)分布，記為：其中為非負(fù)定陣。多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)定義2p維一般正態(tài)分布22多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)性質(zhì)1若服從，則

(1)，

(2)定義3若p維隨機(jī)向量X的特征函數(shù)為則稱X服從p元正態(tài)分布，記為多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)性質(zhì)1若服從23多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)

性質(zhì)2:若服從

(1)

令,為實(shí)數(shù)矩陣，為維實(shí)數(shù)向量，則服從

(2)

服從,c為實(shí)數(shù).

性質(zhì)3:服從為一元正態(tài)隨機(jī)變量.

定義4:設(shè)為p維隨機(jī)向量，若，為一元正態(tài)隨機(jī)變量，則稱

X服從p元正態(tài)分布，記為用于驗(yàn)證用于驗(yàn)證多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)性質(zhì)2:若服從24多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)

定義5:若p維隨機(jī)向量的聯(lián)合密度函數(shù)為其中,則稱X服從p元正態(tài)分布,記為

性質(zhì)4:若為正定矩陣，則服從具有密度函數(shù)多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)定義5:若p維隨機(jī)向量25多元正態(tài)分布的四個(gè)等價(jià)定義

其中為一元正態(tài)隨機(jī)變量特征函數(shù)密度函數(shù)多用于驗(yàn)證多用于證明多元正態(tài)分布的四個(gè)等價(jià)定義多用于驗(yàn)證多用于證明26二元正態(tài)分布的密度函數(shù)二元正態(tài)分布的等高線(面)是一族中心在的橢圓.二元正態(tài)分布的密度函數(shù)二元正態(tài)分布的等高線(27p元正態(tài)分布密度函數(shù)的等高面

p元正態(tài)分布密度函數(shù)的等高面為橢球面，即在距離的平方為常數(shù)的表面上多元正態(tài)密度是常數(shù)，這些密度曲線稱為輪廓線。常數(shù)概率密度輪廓線={滿足的所有x}=中心在的橢球的表面。常數(shù)密度的每個(gè)橢球面的中心在u且軸在的特征向量的方向上，而且其長(zhǎng)度是與的特征值的平方根的倒數(shù)成比例的。p元正態(tài)分布密度函數(shù)的等高面p元正態(tài)分布密28(

11=1,

22=1,

12=0)

二元正態(tài)分布曲面(11=1,22=1,12=0)二元正態(tài)分布曲面29二元正態(tài)分布曲面(

11=1,

22=1,

12=0)二元正態(tài)分布曲面(11=1,22=1,12=0)30二元正態(tài)分布曲面(

11=2,

22=4,

12=－0.75

)二元正態(tài)分布曲面(11=2,22=4,12=－0.731二元正態(tài)分布曲面(

11=2,

22=4,

12=0.75)二元正態(tài)分布曲面(11=2,22=4,12=0.75)32二元正態(tài)分布曲面(

11=2,

22=4,

12=－0.75

)二元正態(tài)分布曲面(11=2,22=4,12=－0.733二元正態(tài)分布曲面剖面(

11=1,

22=1/2,

12=－0.75)二元正態(tài)分布曲面剖面(11=1,22=1/2,12=－343條件分布與獨(dú)立性定理1

若服從，

(1)

服從，服從；

(2)與相互獨(dú)立.

(不相關(guān))定理2若相互獨(dú)立，且

則.3條件分布與獨(dú)立性定理1若35條件分布與獨(dú)立性說明正態(tài)總體獨(dú)立性與不相關(guān)性是等價(jià)的推論2若，則相互獨(dú)立推論1若對(duì)角陣，則

相互獨(dú)立.推論3:若不服從正態(tài)分布，則不服從正態(tài)分布.條件分布與獨(dú)立性說明正態(tài)總體獨(dú)立性與不相關(guān)性是等價(jià)的推論236條件分布與獨(dú)立性定理3設(shè)則

Y與Z相互獨(dú)立定理4設(shè)則Y與Z相互獨(dú)立？定理5設(shè)則當(dāng)給定時(shí)，的條件分布為其中條件分布與獨(dú)立性定理3設(shè)？定理5設(shè)37p元正態(tài)分布的性質(zhì)每一個(gè)變量均服從正態(tài)分布。變量的線性組合服從正態(tài)分布。p元正態(tài)分布中的任意k(0<k<m)個(gè)變量服從k元正態(tài)分布。p元正態(tài)分布的條件分布仍服從正態(tài)分布。協(xié)方差為0的變量間相互獨(dú)立。p元正態(tài)分布的性質(zhì)每一個(gè)變量均服從正態(tài)分布。385多元正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)多元樣本及數(shù)字特征多元樣本的概念——P維隨機(jī)樣本

P維總體的一個(gè)容量為n的樣本：的樣本的樣本5多元正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)多元樣本及數(shù)字特征的樣本39樣本數(shù)據(jù)陣(樣本資料陣)樣本數(shù)據(jù)陣(樣本資料陣)40樣本均值其中樣本均值其中41樣本離差陣樣本離差陣樣本離差陣樣本離差陣42樣本方差陣樣本方差陣其中為的樣本方差；稱為的樣本標(biāo)準(zhǔn)差.樣本方差陣樣本方差陣其中為的樣本方差；43樣本相關(guān)系數(shù)陣與的樣本相關(guān)系數(shù)樣本相關(guān)系數(shù)陣與的樣本相關(guān)系數(shù)44多元正態(tài)均值向量及協(xié)方差陣的極大似然估計(jì)定理1設(shè)是p元正態(tài)總體的隨機(jī)樣本，，則為的極大似然估計(jì)，即

樣本的似然函數(shù)多元正態(tài)均值向量及協(xié)方差陣的極大似然估計(jì)定理1設(shè)45多元正態(tài)均值向量及協(xié)方差陣的極大似然估計(jì)定理2

當(dāng)時(shí)，的極大似然估計(jì)是多元正態(tài)均值向量及協(xié)方差陣的極大似然估計(jì)定理2當(dāng)46極大似然估計(jì)量的性質(zhì)定理3若和分別是正態(tài)總體的樣本均值和樣本離差陣，則(1)(2),其中獨(dú)立同分布于(3)與相互獨(dú)立(4)證明：設(shè)是n階正交陣，極大似然估計(jì)量的性質(zhì)定理3若和分別是正態(tài)總體47極大似然估計(jì)量的性質(zhì)極大似然估計(jì)量的性質(zhì)48極大似然估計(jì)量的性質(zhì)極大似然估計(jì)量的性質(zhì)49極大似然估計(jì)量的性質(zhì)極大似然估計(jì)量的性質(zhì)50極大似然估計(jì)量的性質(zhì)定理4，若為正定矩陣，則

可作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量極大似然估計(jì)量的性質(zhì)定理4，51極大似然估計(jì)量的性質(zhì)無偏性與分別是和的無偏估計(jì)， 即有效性

與分別是和的最小方差無偏估計(jì)量.相合性(一致性)

當(dāng)時(shí)與分別是和的強(qiáng)相合估計(jì).充分性與分別是和的充分統(tǒng)計(jì)量.極大似然估計(jì)量的性質(zhì)無偏性與52第二章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)第二章53多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布2單總體均值向量的檢驗(yàn)3多總體均值向量的檢驗(yàn)5獨(dú)立性檢驗(yàn)66正態(tài)性檢驗(yàn)及其SAS實(shí)現(xiàn)多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布2單總體均值541幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布一、正態(tài)變量二次型的分布

1.分量獨(dú)立的n維隨機(jī)向量X的二次型定義1中心分布與矩陣表達(dá)設(shè)獨(dú)立同分布于,則若記,且則

推廣：若則

1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布一、正態(tài)變量二次型的分布55分量獨(dú)立的n維隨機(jī)向量X的二次型定義2非中心分布與矩陣表達(dá)設(shè)且則隨即變量服從自由度為n，非中心參數(shù)為的卡方分布，并記為或推廣：若則若則其中分量獨(dú)立的n維隨機(jī)向量X的二次型定義2非中心56分量獨(dú)立的n維隨機(jī)向量X的二次型性質(zhì)

(i)設(shè)相互獨(dú)立，則(ii)設(shè)則(iii)(iv)若則X

特征函數(shù)為分量獨(dú)立的n維隨機(jī)向量X的二次型性質(zhì)57分量獨(dú)立的n維隨機(jī)向量X的二次型定理1設(shè)則(A為對(duì)稱冪等陣)證明:分量獨(dú)立的n維隨機(jī)向量X的二次型定理1設(shè)58分量獨(dú)立的n維隨機(jī)向量X的二次型分量獨(dú)立的n維隨機(jī)向量X的二次型59分量獨(dú)立的n維隨機(jī)向量X的二次型定理2設(shè) 則(A為對(duì)稱冪等陣)其中對(duì)稱冪等陣的性質(zhì)：1.I-A是對(duì)稱冪等的；2.A的特征值是1或0；

3.

r(A)=tr(A)分量獨(dú)立的n維隨機(jī)向量X的二次型定理2設(shè)60證明要點(diǎn)：若A是對(duì)稱冪等的，則存在正交矩陣P,使令，

若，則存在正交矩陣P,使

分量獨(dú)立的n維隨機(jī)向量X的二次型證明要點(diǎn)：分量獨(dú)立的n維隨機(jī)向量X的二次型61定理3設(shè)則定理4設(shè) 則

分量獨(dú)立的n維隨機(jī)向量X的二次型定理5(Cochran定理)已知(1)服從(2)為階實(shí)對(duì)稱陣；且

(3)則服從與服從且相互獨(dú)立定理3設(shè)分量獨(dú)立的n維隨機(jī)向量X的二次型定理562分量獨(dú)立的n維隨機(jī)向量X的二次型定理6設(shè)(1)(2)(3)非負(fù)定則且與相互獨(dú)立.分量獨(dú)立的n維隨機(jī)向量X的二次型定理6設(shè)63一般p維正態(tài)隨機(jī)向量的二次型定理1若則(1)，其中(2)用于構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并檢驗(yàn)異常點(diǎn)定理2若 則定理3若則一般p維正態(tài)隨機(jī)向量的二次型定理1若64非中心t分布和非中心F分布當(dāng)時(shí)，F(xiàn)服從自由度為m,n中心F分布記為：定義3非中心t分布設(shè)與相互獨(dú)立，令則隨機(jī)變量T

服從自由度為n，非中心參數(shù)為非中心t分布，并記為：當(dāng)時(shí)，T服從自由度為n中心t分布記為：定義4非中心F分布設(shè)與相互獨(dú)立，令則隨機(jī)變量F服從自由度為m,n，非中心參數(shù)為非中心F分布，并記為：非中心t分布和非中心F分布當(dāng)時(shí)，F(xiàn)65非中心分布、非中心t分布和非中心F分布利用非中心分布、非中心t分布和非中心F分布可以計(jì)算一元統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中犯第二類錯(cuò)誤的概率。例未知，檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為犯第一類錯(cuò)誤的概率為犯第二類錯(cuò)誤的概率為非中心分布、非中心t分布和非中心F分布利用非中心66威沙特(Wishart)分布定義1隨機(jī)矩陣的分布定義2(中心Wishart分布)設(shè)服從且相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)矩陣服從中心Wishart分布，并記為，其中定義3(非中心Wishart分布)設(shè)服從且相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)矩陣服從非中心Wishart分布，并記為其中為非中心參數(shù)，威沙特(Wishart)分布定義1隨機(jī)矩陣的分布67威沙特(Wishart)分布性質(zhì)

結(jié)論1分布是Wishart分布的特例結(jié)論2

性質(zhì)1若且相互獨(dú)立，則性質(zhì)2若(1)且獨(dú)立同分布于(2)是秩為r的實(shí)對(duì)稱陣，則威沙特(Wishart)分布性質(zhì)結(jié)論1分布是68威沙特(Wishart)分布性質(zhì)性質(zhì)3設(shè)p階隨機(jī)陣是常數(shù)陣，則特例(1)(2)設(shè)則性質(zhì)4設(shè)相互獨(dú)立，其中則(1)(2)當(dāng)時(shí)，威沙特(Wishart)分布性質(zhì)性質(zhì)3設(shè)p階隨機(jī)陣69威沙特(Wishart)分布性質(zhì)性質(zhì)5設(shè)p階隨機(jī)陣性質(zhì)6(Cochran定理)若(1)且獨(dú)立同分布于(2)為階實(shí)對(duì)稱陣；且

(3)則服從與服從且相互獨(dú)立威沙特(Wishart)分布性質(zhì)性質(zhì)5設(shè)p階隨機(jī)陣70服從正態(tài)分布服從卡方分布服從多元正態(tài)分布服從Wishart分布推廣服從服從正態(tài)分布服從卡方分布服從多元正態(tài)分布服從Wishart分71霍特林(Hotelling)T2分布Hotelling

分布

定義1設(shè)且相互獨(dú)立，則稱服從自由度為n的霍特林T2分布。若則稱服從自由度為n的非中心霍特林T2分布。

結(jié)論1分布是t分布的推廣性質(zhì)1獨(dú)立同分布于,

則霍特林(Hotelling)T2分布Hotelling分72分布與分布之間的關(guān)系性質(zhì)2若和是的樣本均值和樣本離差陣，記

則

分布與分布之間的關(guān)系性質(zhì)2若和是73霍特林(Hotelling)T2分布性質(zhì)4若和是的樣本均值和樣本離差陣，記則其中性質(zhì)5T2統(tǒng)計(jì)量的分布只與p,n有關(guān)，而與無關(guān).性質(zhì)6T2統(tǒng)計(jì)量對(duì)可逆變換保持不變.性質(zhì)3若和是的樣本均值和樣本離差陣，記

則霍特林(Hotelling)T2分布性質(zhì)4若和是74威爾克斯(Wilks)統(tǒng)計(jì)量及分布威爾克斯分布定義1設(shè)則稱協(xié)方差陣的行列式為X的廣義方差.若為p元總體X的隨機(jī)樣本，A為樣本離差陣，則稱或?yàn)闃颖緩V義方差.定義2設(shè)則稱廣義方差比為威爾克斯統(tǒng)計(jì)量或統(tǒng)計(jì)量，其分布稱為威爾克斯分布，記為威爾克斯(Wilks)統(tǒng)計(jì)量及分布威爾克斯75統(tǒng)計(jì)量與或F統(tǒng)計(jì)量的關(guān)系結(jié)論1

統(tǒng)計(jì)量與或F統(tǒng)計(jì)量的關(guān)系結(jié)論176統(tǒng)計(jì)量與或F統(tǒng)計(jì)量的關(guān)系結(jié)論2結(jié)論3結(jié)論4結(jié)論5統(tǒng)計(jì)量與或F統(tǒng)計(jì)量的關(guān)系結(jié)論2結(jié)論3結(jié)論477一元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)來自總體第一步：建立零假設(shè)第二步：尋找檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在下的分布第三步：依據(jù)小概率原理建立檢驗(yàn)準(zhǔn)則若

則拒絕零假設(shè).一元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)來自總78一元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)來自總體第一步：建立零假設(shè)第二步：尋找檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在下的分布第三步：依據(jù)小概率原理建立檢驗(yàn)準(zhǔn)則由于，故若則拒絕零假設(shè).不應(yīng)含有未知數(shù)一元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)79單總體均值向量的檢驗(yàn)及置信域單總體均值向量的檢驗(yàn)設(shè)總體隨機(jī)樣本檢驗(yàn)

1.當(dāng)已知時(shí)，均值向量的檢驗(yàn)

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布是：?jiǎn)慰傮w均值向量的檢驗(yàn)及置信域單總體均值向量的檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量802.當(dāng)未知時(shí)，均值向量的檢驗(yàn)單總體均值向量的檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是：且2.當(dāng)未知時(shí)，均值向量的檢驗(yàn)單總體均值向量的檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)81p值的計(jì)算p值通常由下面公式計(jì)算而得到:p=P{|W|≥|W0|}=2P{W≥|W0|}(拒絕域?yàn)閮蛇厡?duì)稱的區(qū)域時(shí))p=min{P{W≥W0}，P{W

W0}}(拒絕域?yàn)閮蛇叿菍?duì)稱區(qū)域時(shí))p=P{W≥W0}(拒絕域?yàn)橛疫厖^(qū)域時(shí))p=P{W

W0}(拒絕域?yàn)樽筮厖^(qū)域時(shí))只需根據(jù)SAS計(jì)算出的p值，就可以在指定的顯著水平下，作出拒絕或不能拒絕原假設(shè)的決定.p值的計(jì)算p值通常由下面公式計(jì)算而得到:82似然比統(tǒng)計(jì)量設(shè)p元總體的密度函數(shù)為其中是未知參數(shù)，且是來自總體X的容量為n的樣本，檢驗(yàn)樣本的似然函數(shù)為似然比統(tǒng)計(jì)量為否定域似然比統(tǒng)計(jì)量設(shè)p元總體的密度函數(shù)為83似然比統(tǒng)計(jì)量定理1當(dāng)樣本容量n很大時(shí)，

其中似然比統(tǒng)計(jì)量定理1當(dāng)樣本容量n很大時(shí)，84多元總體均值向量的檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)零假設(shè)

情形1

i.i.d于

i.i.d于(1)

正定且已知時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布(2)

正定且未知時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布相互獨(dú)立多元總體均值向量的檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)零假設(shè)85例1.兩組貧血患者的血紅蛋白濃度(%,X1)及紅細(xì)胞計(jì)數(shù)(萬/mm3,X2)A組B組X1X2X1X23.92104.82704.21904.71803.72405.42304.01704.52454.42204.62705.22304.42202.71605.92902.42605.52203.62404.32905.51805.13102.92003.3300例1.兩組貧血患者的血紅蛋白濃度(%,X1)及紅細(xì)胞計(jì)數(shù)(萬86檢驗(yàn)假設(shè)或兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)檢驗(yàn)假設(shè)兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)87檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由樣本值得兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由樣本值得兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)88p=0.0030.兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)p=0.0030.兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)89兩正態(tài)總體協(xié)方差陣不等時(shí)均值向量的檢驗(yàn)情形2

i.i.d于

i.i.d于

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布(1)構(gòu)造新樣本：(2)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：相互獨(dú)立相互獨(dú)立兩正態(tài)總體協(xié)方差陣不等時(shí)均值向量的檢驗(yàn)情形290兩正態(tài)總體協(xié)方差陣不等時(shí)均值向量的檢驗(yàn)情形3

i.i.d于

i.i.d于

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布(1)構(gòu)造新樣本：

(2)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：相互獨(dú)立且相互獨(dú)立.兩正態(tài)總體協(xié)方差陣不等時(shí)均值向量的檢驗(yàn)情形391多個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)——多元方差分析多元方差分析Multivariateanalysisofvariance,MANOVA一元方差分析的基本思想：對(duì)方差的分解多元方差分析的基本思想：對(duì)方差-協(xié)方差陣的分解。多個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)——多元方差分析多元方差分析Mul92一元方差分析k個(gè)一元正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)零假設(shè)

相互獨(dú)立i.i.d于i.i.d于················································總偏差平方和組內(nèi)偏差平方和組間偏差平方和一元方差分析k個(gè)一元正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)零假設(shè)相互93一元方差分析平方和分解公式SST=SSA+SSE多元方差分析設(shè)第i個(gè)p元正態(tài)總體的數(shù)據(jù)陣為一元方差分析平方和分解公式SST=SSA+SSE多94總離差陣T的分解總離差陣T=組內(nèi)離差陣A+組間離差陣B.k個(gè)p元正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)零假設(shè)

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布否定域總離差陣T的分解總離差陣T=組內(nèi)離差陣A+組間離差陣B.k95例2.三組貧血患者的血紅蛋白濃度(%,X1)及紅細(xì)胞計(jì)數(shù)(萬/mm3,X2)A組B組C組X1X2X1X2X1X23.92104.82704.42504.21904.71803.73053.72405.42302.92404.01704.52454.53304.42204.62703.32305.22304.42204.51952.71605.92903.82752.42605.52203.73103.62404.32905.51805.13102.92003.3300例2.三組貧血患者的血紅蛋白濃度(%,X1)及紅細(xì)胞計(jì)數(shù)(萬96檢驗(yàn)假設(shè)設(shè)第i組為2元正態(tài)總體來自3個(gè)總體的樣本容量檢驗(yàn)：檢驗(yàn)假設(shè)設(shè)第i組為2元正態(tài)總體97結(jié)論2結(jié)論4k個(gè)p元正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量結(jié)論2結(jié)論4k個(gè)p元正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量98例2.(續(xù))三組的均向量和離差矩陣?yán)?.(續(xù))三組的均向量和離差矩陣99三組的離差矩陣之和(組內(nèi)變異)總離差矩陣組間離差矩陣?yán)?.(續(xù))三組的離差矩陣之和(組內(nèi)變異)例2.(續(xù))100多元方差分析表變異來源SSCPn組間Bn1=k-1組內(nèi)An2=n-k總Tn-1多元方差分析表變異來源SSCPn組間Bn1=k-1組內(nèi)An2101p=2,k=3,n=30:n1=n-k=27，n2=k-1=2;2n2=4,2(n1-1)=52.p=0.001161.例2.(續(xù))p=2,k=3,n=30:例2.(續(xù))102獨(dú)立性檢驗(yàn)(正態(tài)總體)若，則相互獨(dú)立檢驗(yàn)似然比統(tǒng)計(jì)量及其分布獨(dú)立性檢驗(yàn)(正態(tài)總體)若103獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)104正態(tài)性檢驗(yàn)p元正態(tài)分布的性質(zhì)每一個(gè)變量均服從正態(tài)分布。變量的線性組合服從正態(tài)分布。p元正態(tài)分布中的任意k(0<k<m)個(gè)變量服從k元正態(tài)分布。p元正態(tài)分布的條件分布仍服從正態(tài)分布。協(xié)方差為0的變量間相互獨(dú)立。正態(tài)隨機(jī)向量的概率密度等高線為橢球。正態(tài)性檢驗(yàn)p元正態(tài)分布的性質(zhì)每一個(gè)變量均服從正態(tài)分布。105一維邊緣分布的正態(tài)性檢驗(yàn)把p元正態(tài)性檢驗(yàn)化為p個(gè)一元數(shù)據(jù)的正態(tài)性檢驗(yàn)，常用的方法有以下幾種：檢驗(yàn)：用于連續(xù)型或離散型隨機(jī)變量分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn).Kolmogorov檢驗(yàn):用于連續(xù)型分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn).僅用于正態(tài)性檢驗(yàn)的方法偏峰(Skewness)檢驗(yàn):在SAS中：

●關(guān)于均值對(duì)稱的數(shù)據(jù)其偏度為0；●左側(cè)更為分散的數(shù)據(jù)，其偏度為負(fù)，稱為左偏；●右側(cè)更為分散的數(shù)據(jù)，其偏度為正，稱為右偏。一維邊緣分布的正態(tài)性檢驗(yàn)把p元正態(tài)性檢驗(yàn)化106一維邊緣分布的正態(tài)性檢驗(yàn)峰度(Kortosos)檢驗(yàn):利用峰度研究數(shù)據(jù)分布的形狀是以正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)(假定正態(tài)分布的方差與所研究分布的方差相等)比較兩端極端數(shù)據(jù)的分布情況，若近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則峰度接近于零；尾部較正態(tài)分布更分散，則峰度為正，稱為輕尾,尾部較正態(tài)分布更集中，則峰度為負(fù)，稱為厚尾.W(Wilks)檢驗(yàn)和D檢驗(yàn).(0<W<1)W統(tǒng)計(jì)量是基于次序統(tǒng)計(jì)量線性組合平方的方差最佳估計(jì)與通常校正平方和估計(jì)之比.當(dāng)樣本來自正態(tài)總體時(shí)，由樣本構(gòu)造的W的值接近1.若一維邊緣分布的正態(tài)性檢驗(yàn)峰度(Kortosos)檢驗(yàn):107一維邊緣分布的正態(tài)性檢驗(yàn)Q-Q(Quantile-Quantile)圖形檢驗(yàn)法.P-P(Probability-Probability)圖形檢驗(yàn)法.

QQ圖是一種散點(diǎn)圖。對(duì)應(yīng)于正態(tài)分布的QQ圖由點(diǎn)構(gòu)成，其橫坐標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)，縱坐標(biāo)x(i)（i=1，2，…，n）是將x1，…，xn從小到大排序后的數(shù)列，為總體i/n分位點(diǎn)的估計(jì)。若觀測(cè)數(shù)據(jù)近似正態(tài)分布N(μ，

2)，則QQ圖上這些點(diǎn)近似在直線y=

x+μ附近。(n<2000),則否定正態(tài)性假設(shè).當(dāng)n>2000時(shí)，采用D統(tǒng)計(jì)量，若否定正態(tài)性假設(shè).一維邊緣分布的正態(tài)性檢驗(yàn)Q-Q(Quantile-Quan108(1)分布函數(shù)與分位數(shù)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，若則稱是的上側(cè)分位數(shù)或的下側(cè)分位數(shù).此時(shí)有：F的上側(cè)分位數(shù)F的下側(cè)分位數(shù)Q-Q圖形檢驗(yàn)法(1)分布函數(shù)與分位數(shù)F的上側(cè)分位數(shù)F的109(2)樣本分布函數(shù)

設(shè)為一組樣本，將它們