大二下syx概率統(tǒng)計(jì)2012 1

§1.5事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性例1

已知袋中有5只紅球，3只白球，從袋中有放回地取球兩次，求在第一次取得白球的條件下，第二次取得白球的概率在第一次取得紅球的條件下，第二次取得白球的概率第一次取得白球的概率與第二次取得白球的概率在第二次取得白球的條件下，第一次取得白球的概率1解

設(shè)第一次取得白球?yàn)槭录?/p>

A1第二次取得白球?yàn)槭录嗀282

1P(

A A

)

=

3則8821P(

A

)

=

3P(

A

)

=

3,P(

A2

A1

)

=

P(

A2

)

=

P(

A2

A1

)事件A1

發(fā)生與否對(duì)A2

發(fā)生的概率沒(méi)有影響稱為事件A1

與事件A2

相互獨(dú)立218P(

A A

)

=

31

228P(

A A

)

=

3若

P(

A2

)

=

P(

A2

A1

)

P(

A1

A2

)

=

P(

A1

)P(

A2

)P(

A1

)

>

0,若P(A2)

>0,

P(A1)

=

P(A1

A2)3

P(A1A2)

=

P(A1)P(A2)定義

設(shè)

A

,

B為兩事件，若P(

AB)

=

P(

A)P(B)則稱事件A

與事件B

相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立的性質(zhì)：兩事件A

與B

相互獨(dú)立是相互對(duì)稱的若

P(

A)

>

0,

則P(B)

=

P(BA)若P(B)>0,

則P(A)=P(A

B)四對(duì)事件

A,

B;

A,

B

;

A,

B;

A,

B任何一對(duì)相互獨(dú)立，則其它三對(duì)也相互獨(dú)立A,B

獨(dú)立

A,B

獨(dú)立試證其一事實(shí)上P(

AB)

=

P(

A

-

AB)

=

P(A)

-P(AB)

=

P(A)

-P(A)P(B)=

P(

A)

1-

P(B)

=

P(

A)P(B)4若

P(

A)

>

0,

P(B)

>

0,則“事件A與事件B

相互獨(dú)立”和

“事件A與事件B

互斥”不能同時(shí)成立因?yàn)椋?/p>

A,

B

互斥:

A

˙

B

=

F

,

P(

AB)

=

0A,B

獨(dú)立，則A

˙

B

?F

，P(AB)=P(A)P(B)>0定義 三事件

A,B,C相互獨(dú)立是指下面的關(guān)系式同時(shí)成立：P(

AB)

=

P(

A)P(B)(1)P(

AC)

=

P(

A)P(C)P(BC)

=

P(B)P(C)P(

ABC)

=

P(

A)P(B)P(C)(2)注：1)

不能由關(guān)系式(1)推出關(guān)系式(2),反之亦然2)僅滿足(1)式時(shí),稱A,B,C

兩兩獨(dú)立A,

B,

C

相互獨(dú)立

A,

B,

C

兩兩獨(dú)立6例2

有一均勻的八面體，各面涂有顏色如下：712345678RRRRWYWWWYYY將八面體向上拋擲一次，觀察向下一面出現(xiàn)的顏色。事件R,W,Y分別表示向下一面出現(xiàn)紅色，白色，黃色8

24

1=P(R)

=

P(W

)

=

P(Y

)

=則P(RW

)

=

3,

P(WY

)

=

P(RY

)

=

18

888P(RWY

)

=

1

=

P(R)P(W

)P(Y

)但P(RW

)

?

P(R)P(W

)P(WY

)

?

P(W

)P(Y

)P(RY

)

?

P(R)P(Y

)本例說(shuō)明不能由關(guān)系式(2)推出關(guān)系式(1)例3

隨機(jī)投擲編號(hào)為

1

與

2

兩個(gè)骰子，令事件A

表示第一個(gè)骰子向上一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)B

表示第二個(gè)骰子向上一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)C

表示兩骰子向上一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)則2P(

A)

=

P(B)

=

P(C)

=

1=

P(

A)P(B)

=

P(B)P(C)

=

P(C)P(

A)但81=

P(

A)P(B)P(C)P(

ABC)

=

0?本例說(shuō)明不能由A,B,C兩兩獨(dú)立A,B,C

相互獨(dú)立1P(

AB)

=

=

P(BC)

=

P(CA)49定義

n個(gè)事件

A1,

A2,

…,

An

相互獨(dú)立是指下面的關(guān)系式同時(shí)成立：P(

Ai

Aj

)

=

P(

Ai

)P(

Aj

), 1

￡

i

<

j￡

nP(

Ai

Aj

Ak

)

=

P(

Ai

)P(

Aj

)P(

Ak

), 1

￡

i

<

j<

k

￡

n

P(

A1

A2

An

)

=

P(

A1

)P(

A2

)

P(

An

)常根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義判斷事件的獨(dú)立性10

若n個(gè)事件A1,A2,…,An

相互獨(dú)立，將這n個(gè)事件任意分成k組，同一個(gè)事件不能同時(shí)屬于兩個(gè)不同的組，則對(duì)每組的事件進(jìn)行求和、積、差、對(duì)立等運(yùn)算所得到的k個(gè)事件也相互獨(dú)立例4已知事件A,B,C

相互獨(dú)立，證明事件A

與B

¨

C

也相互獨(dú)立證

P

A(B

¨

C))=

P(B

¨

C)

-

P(A(B

¨

C))=

P(B)

+

P(C)

-

P(BC)-[P(

AB)

+

P(

AC)

-

P(

ABC)]=

P(

A)

P(B)

+

P(C)

-

P(BC)=

P(

A)P(B

¨

C)11常利用獨(dú)立事件的性質(zhì)計(jì)算它們的并事件的概率若n

個(gè)事件A1,A2,…,An

相互獨(dú)立，則ni=1P(

Ai

)

=

P(

A1

¨

A2

¨

¨

An

)ni=1=1

-

(1

-

P(

Ai

))=1-

P(

A1

¨

A2

¨

¨

An

)nni=1(1

-

P(

Ai

))P(

Ai

)=1

-i

=1n

P(

Ai

)i=1=1-

P(

A1

A2

An

)

=1-12例5設(shè)每個(gè)人的血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%,求來(lái)自不同地區(qū)的100個(gè)人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率解設(shè)這100個(gè)人的血清混合液中含有肝炎病毒為事件A,第i

個(gè)人的血清中含有肝炎病毒為事件Aii

=1,2,…,10013則100A

=

Aii=1100P(

A)

=1-

[1-P(

Ai

)]=1

-

(1

-

0.004)100

?

0.33i=1若Bn

表示n個(gè)人的血清混合液中含有肝炎病毒，則14nP(B

)

=1

-

(1

-

e)n

, 0

<

e

<1nfi

￥n

=1,2,

lim

P(Bn

)

=1——

不能忽視小概率事件，小概率事件遲早要發(fā)生=1-0.2

>

0.999nnii例

5*

某型號(hào)火炮的命中率為0.8，現(xiàn)有一架敵機(jī)即將入侵，如果欲以

99.9%的概率擊中它，則需配備此型號(hào)火炮多少門？解

設(shè)需配備

n

門此型號(hào)火炮設(shè)事件

Ai

表示第i

門火炮擊中敵機(jī)n=1-[1-

P(

A

)]P(¨

A

)i=1n

>

ln

0.001

?

4.29ln

0.2故需配備5

門此型號(hào)火炮.15一個(gè)系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性系統(tǒng)是由元件組成的，常見(jiàn)的元件的連接方式：串聯(lián)1并聯(lián)21

216系統(tǒng)的可靠性問(wèn)題例6設(shè)兩系統(tǒng)都是由2n個(gè)元件組成，每個(gè)元件正常工作的概率為p

,每個(gè)元件是否正常工作相互獨(dú)立。兩系統(tǒng)的連接方式如下圖所示，比較兩系統(tǒng)的可靠性。A117A2

AnB2

BnB1S1:P(S1

)

=

P(

A1

A2

An

)

+

P(B1B2

Bn

)-

P(

A1

A2

An

B1B2

Bn

)=

2

pn

-

p2n

=

pn

(2

-

pn

)A118A2AnBnB2B1S2:ni=1P(S2

)

=

P(

Ai

¨

Bi

)=

(2

p

-

p2

)n

=

pn

(2

-

p)nP(S2

)

?

P(S1

)ya0

<

a

<

b2a

+

b

b

x2an

+

bn

a

+

b

n2y=xn

—下凸2

2an

+

bn

a

+

b

n<

219pn

+

(2

-

p)n1

<取

a

=

p

,

b

=

2

-

p0

<

p

<12

-

pn

<

(2

-

p)nP(S1)

<

P(S2

)應(yīng)用舉例——腸癌普查設(shè)事件Ai

表示第i次檢查為陽(yáng)性，事件B

表示被查者患腸癌，已知腸鏡檢查效果如下：P(A

B

)=P(A

B

)=0.95,

且P(B)=0.005某患者兩次檢查反應(yīng)均為陽(yáng)性，試判斷該患者是否已患腸癌？若三次檢查反應(yīng)均為陽(yáng)性呢？利用Bayes

公式得20=

0.005·0.95

?

0.0870.005·0.95

+

0.995·0.05111P(B)P(

A1

B)P(

A

B)P(

A

)P(B

A

)

==P(B)P(

A1

B)

+

P(B)P(

A1

B)1

2P(B)P(

A1

A2

B)P(B)P(

A1

A2

B)

+

P(B)P(

A1

A2

B)P(B

A

A

)

=P(B)P(

A1

B)P(

A2

B)P(B)P(

A1

B)P(

A2

B)

+

P(B)P(

A1

B)P(

A2

B)=?

0.6446210.005·0.952=0.005·0.952

+

0.995·0.052兩次檢查反應(yīng)均為陽(yáng)性，還不能斷定患者已患腸癌.0.005·0.95322P(B

A1

A2

A3

)

=

0.005·0.953

+

0.995·0.053?

0.9718可見(jiàn)，連續(xù)三次檢查反應(yīng)為陽(yáng)性，則幾乎可以斷定患者患腸癌了.P(

A)

=

p,

0

<

p

<1設(shè)Bernoulli

試驗(yàn)概型每次試驗(yàn)的結(jié)果與其他次試驗(yàn)無(wú)關(guān)——稱為這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的n

重Bernoulli

試驗(yàn)概型感興趣的問(wèn)題為：

在n

次試驗(yàn)中事件A

出現(xiàn)k

次的概率，記為Pn

(k

)n

重Bernoulli

試驗(yàn)概型：將隨機(jī)試驗(yàn)重復(fù)n次每次試驗(yàn)感興趣的事件為A即可看作每次試驗(yàn)有兩個(gè)可能的結(jié)果：A,A23n

=

54W例8

袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，有放回地取球4

次,每次一只,求其中恰有2個(gè)白球的概率.解古典概型設(shè)B

表示4個(gè)球中恰有2個(gè)白球n

=

C

2

3222B

454C

2

3222P(B)=

4

244

5

5

3

2

2

2=

C

2

解二

每取一個(gè)球看作是做了一次試驗(yàn)記取得白球?yàn)槭录?/p>

A

P(

A)

=

35有放回地取4個(gè)球看作做了

4

重Bernoulli

試驗(yàn),記第

i次取得白球?yàn)槭录?/p>

Ai感興趣的問(wèn)題為：4次試驗(yàn)中A

發(fā)生2次的概率A1

A2

A3

A4A1

A2

A3

A4A1

A2

A3

A4A1

A2

A3

A4A1

A2

A3

A4A1

A2

A3

A4

4

5

5

3

2

2

2P(B)

=

C

2

250

<

p

<126一般地，若P(A)=p,則k

kn

n,

k

=

0,1,2,

,

nP

(k

)

=

C

p

(1

-

p)n-k

8k

=2k

k

8-kC

0.6

0.4P(B)

=8

18=1

-

k

=0k

k

8-kC

0.6

0.4=

0.9914例9八門炮同時(shí)獨(dú)立地向一目標(biāo)各射擊一發(fā)炮彈,若有不少于2發(fā)炮彈命中目標(biāo)時(shí),目標(biāo)就被擊毀.如果每門炮命中目標(biāo)的概率為

0.6,求目標(biāo)被擊毀的概率.解設(shè)一門炮擊中目標(biāo)為事件A

,P

(A)=0.6設(shè)目標(biāo)被擊毀為事件B,則解

設(shè)取出的5個(gè)數(shù)按由小到大排列為x1

￡

x2

￡

x3

￡

x4

￡

x5令

(x3

=

4)

表示所求的事件(x3

=