哈密頓最小作用量原理課件

理論力學(xué)熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理理論力學(xué)第四講分析力學(xué)(二)哈密頓正則方程力學(xué)的變分原理(最小作用量原理)分析力學(xué)的哈密頓表述——正則力學(xué),正則方程

特征函數(shù)：哈密頓函數(shù)－廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量的函數(shù)數(shù)學(xué)表述：一階微分方程（拉格朗日表述為二階微分方程）發(fā)展：經(jīng)典力學(xué)－量子力學(xué)第四講分析力學(xué)(二)分析力學(xué)的哈密頓表述——正則力學(xué),凡是力學(xué)原理用到變分運(yùn)算的，叫做力學(xué)變分原理，力學(xué)變分原理有微分形式，也有積分形式。虛功原理是力學(xué)變分原理的微分形式，而本節(jié)的哈密頓原理，則是力學(xué)變分原理的積分形式。變分運(yùn)算的幾個(gè)法則

假設(shè)有兩個(gè)變量A和B，它們一般是q、p、t的函數(shù)，則：力學(xué)第一性原理1、牛頓定律2、虛功原理3、達(dá)朗貝爾原理4、最小作用量原理（1）等時(shí)不等能變分——哈密頓原理（2）不等時(shí)等能變分——莫培督原理凡是力學(xué)原理用到變分運(yùn)算的，叫做力學(xué)變分原理，力學(xué)變分原理有下面介紹變分的概念

目的是找出變分和微分運(yùn)算不同的地方，以及同時(shí)進(jìn)行微分、微商和變分運(yùn)算時(shí)的對(duì)易規(guī)則。

假定c是s維空間的一條曲線，且為質(zhì)點(diǎn)遵循運(yùn)動(dòng)定律運(yùn)行時(shí)的軌道，及動(dòng)力軌道或真實(shí)軌道，為鄰近c(diǎn)的一條曲線，但不是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力軌道，唯有c及的兩端點(diǎn)P1和P2相同，如圖所示，設(shè)質(zhì)點(diǎn)m沿c運(yùn)動(dòng)，而想象另一質(zhì)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)自P1出發(fā)，并同時(shí)到達(dá)P2

。

我們把相差甚微的軌道曲線c與之間的差異稱為變分。并用變分符號(hào)表示，以區(qū)別于表示在同一曲線軌道上由于自變量微小變化而引起的差異的微分符號(hào)d，則在P1及P2點(diǎn)上有：下面介紹變分的概念目的是找出變分和微分運(yùn)算不同的地方

如果P及是c及上兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即m和同時(shí)自P1出發(fā)，分別沿著c和運(yùn)動(dòng)，當(dāng)m到達(dá)P時(shí)，到達(dá)，Q點(diǎn)是P點(diǎn)附近的一點(diǎn)，并且和P在同一軌道c上。如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為：點(diǎn)的坐標(biāo)為：Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：至于在上和Q點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則可從兩方面來考慮：1)質(zhì)點(diǎn)自P至Q，然后到；2)質(zhì)點(diǎn)有P至，然后至。因此有：即：可見：與d的先后次序可以對(duì)易。如果P及是c及上兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即m和一般來講，與的先后次序不能對(duì)易

若：，則：可見在的假設(shè)下，與的先后次序是可以對(duì)易的，這種變分叫做等時(shí)變分。至于與的先后次序不能對(duì)易的那種變分，叫做不等時(shí)變分或全變分。用來代表不等時(shí)變分，所以

一般來講，與的先后次序不能對(duì)易若：設(shè)自變量為t，自變量的變化為Dt,則d變分有如下運(yùn)算法則對(duì)易關(guān)系設(shè)自變量為t，自變量的變化為Dt,則d變分有如下運(yùn)算法則對(duì)——保守系統(tǒng)的拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程廣義動(dòng)量：與牛頓方程對(duì)應(yīng)亦稱為拉格朗日力一、正則變量哈密頓函數(shù)由函數(shù)理論，可求出：將廣義坐標(biāo)和與之對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量定義為一對(duì)共軛正則變量兩者互為正則共軛。正則變換：如果能夠通過某種變數(shù)的變換，能夠找到新的函數(shù)，使正則方程的形式不變。——保守系統(tǒng)的拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程廣義動(dòng)量：與牛頓方程對(duì)應(yīng)亦稱為S個(gè)自由度的力學(xué)系統(tǒng)，2S個(gè)變量（S個(gè)廣義坐標(biāo)，S個(gè)廣義動(dòng)量）張開為2S維空間－相空間。相空間的一點(diǎn)表示力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)——相點(diǎn)。S個(gè)自由度的力學(xué)系統(tǒng)，2S個(gè)變量（S個(gè)廣義坐標(biāo)，S個(gè)廣義動(dòng)量二、勒讓德變換由拉格朗日力學(xué)哈密頓力學(xué)變量組設(shè)其中：(x,y)為舊變量f(x,y)為舊函數(shù)(u,v)為新變量二、勒讓德變換由拉格朗日力學(xué)哈密頓力學(xué)變量組設(shè)其中：(x,y用新變量代替舊變量則為以新變量表示的舊函數(shù)－中間函數(shù)故同理引入新函數(shù)：則用新變量代替舊變量則為以新變量表示的舊函數(shù)－中間函數(shù)故同理引于是得到：新舊變量和新舊函數(shù)間所具有的這種對(duì)稱性的變換稱為勒讓德變換考慮一類特殊的勒讓德變換保留舊變量x和新變量v去掉舊變量y和新變量uffx,yfu,vx,y于是得到：新舊變量和新舊函數(shù)間所具有的這種對(duì)稱性的變換稱為勒故即引入新函數(shù)則故即引入新函數(shù)則規(guī)則：yygv規(guī)則：yygv三、哈密頓正則方程可得——哈密頓正則運(yùn)動(dòng)方程按構(gòu)造哈密頓函數(shù)如下因?yàn)椋汗视?j=1,2,……,S)三、哈密頓正則方程可得——哈密頓正則運(yùn)動(dòng)方程按構(gòu)造哈密頓函數(shù)例。一半徑為r的光滑圓環(huán)形細(xì)管，可繞其過直徑的鉛直軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，該圓環(huán)對(duì)轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Iz。質(zhì)量為m的小球A可在圓環(huán)內(nèi)滑動(dòng)，試寫出系統(tǒng)的哈密頓正則方程。zrOA解：自由度：2廣義坐標(biāo)：圓環(huán)的轉(zhuǎn)角f、半徑OA的轉(zhuǎn)角q

動(dòng)能：勢能：零點(diǎn)：過點(diǎn)O的水平面例。一半徑為r的光滑圓環(huán)形細(xì)管，可繞其過直徑的鉛直軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，由于用、取代、由于用、取代、四、正則系統(tǒng)、哈密頓函數(shù)的物理意義正則系統(tǒng)：存在一個(gè)哈密頓函數(shù)，從而運(yùn)動(dòng)方程具有哈密頓正則運(yùn)動(dòng)方程形式的力學(xué)系統(tǒng)。由哈密頓函數(shù)的一般形式由為廣義坐標(biāo)的函數(shù)可見T為關(guān)于廣義速度的二次齊次式。四、正則系統(tǒng)、哈密頓函數(shù)的物理意義正則系統(tǒng)：存在一個(gè)哈密頓函循環(huán)坐標(biāo)：哈密頓函數(shù)H(q,p,t)及拉格朗日函數(shù)L(q,,t)中不出現(xiàn)的廣義坐標(biāo)稱為循環(huán)坐標(biāo)。對(duì)于循環(huán)坐標(biāo)，有：由二次齊函數(shù)的歐拉定理，得：故哈密頓函數(shù)又可寫成：哈密頓函數(shù)給出系統(tǒng)的總機(jī)械能即：循環(huán)坐標(biāo)：哈密頓函數(shù)H(q,p,t)及拉格朗日函數(shù)L(q,故動(dòng)量為常數(shù)，與循環(huán)坐標(biāo)共軛的廣義動(dòng)量為守恒量哈密頓函數(shù)不顯含時(shí)間稱為動(dòng)量積分哈密頓函數(shù)H對(duì)時(shí)間為常量，對(duì)保守力系：機(jī)械能守恒故動(dòng)量為常數(shù)，與循環(huán)坐標(biāo)共軛的廣義動(dòng)量為守恒量哈密頓函數(shù)不顯例：在直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中分別寫出自由質(zhì)點(diǎn)在勢場U(r)中運(yùn)動(dòng)的哈密頓函數(shù).例：在直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中分別寫出自由質(zhì)點(diǎn)在勢場哈密頓最小作用量原理課件力學(xué)的變分原理一變量,函數(shù)及其積分的變分二微分變分原理與積分變分原理的一般原理如果函數(shù)G直接是所有明顯地出現(xiàn)于它表達(dá)式中的變量的函數(shù)，稱為微分變分原理，它是每一瞬時(shí)判別真實(shí)運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)則。如果函數(shù)G是泛函，亦即函數(shù)G是定積分，例如為動(dòng)力學(xué)函數(shù)對(duì)時(shí)間t的積分，稱為積分變分原理，它是判別一段時(shí)間內(nèi)真實(shí)運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)則。三微分變分原理虛位移原理達(dá)朗貝爾—拉格朗日原理高斯原理………….四哈密頓原理最小作用量原理力學(xué)的變分原理一變量,函數(shù)及其積分的變分1.運(yùn)動(dòng)的變分在給定約束下，分析系統(tǒng)的所有可能的運(yùn)動(dòng)，從其中確定在已知主動(dòng)力及初始條件下的真實(shí)運(yùn)動(dòng)，是分析力學(xué)的基礎(chǔ)方法。2.變量的等時(shí)變分3.變量的全變分4.函數(shù)的變分5.依賴于動(dòng)力學(xué)函數(shù)的定積分的變分變分在數(shù)學(xué)和物理里面都有，學(xué)物理的人用的時(shí)候都不是那么嚴(yán)格，一般來說函數(shù)對(duì)自變量我們用偏導(dǎo)，微分；而泛函的自變量是函數(shù)，對(duì)函數(shù)就只能用變分了。

物理上變分法一般是讓泛函的自變量（函數(shù)）有小的變動(dòng)，但是兩個(gè)端點(diǎn)不能動(dòng)。然后要求泛函的變分為0，這樣可以求得運(yùn)動(dòng)方程，如果和實(shí)際的運(yùn)動(dòng)方程一致，我們認(rèn)為我們選擇的泛函是合理的。

一變量,函數(shù)及其積分的變分變分在數(shù)學(xué)和物理里面都有，學(xué)物理簡單的說，自變量是實(shí)數(shù)的，就是實(shí)變函數(shù)；是復(fù)數(shù)的，就是復(fù)變函數(shù)；是函數(shù)的，就是泛函。

例子

實(shí)變：y=x+1,x屬于R

復(fù)變：w=2*z，z屬于C

泛函：L(y)=y'+y,y=y(x)[y'代表y的導(dǎo)數(shù)]就是以函數(shù)為自變量的函數(shù)。

比如曲線的長度,閉合曲線圍成的面積等都和曲線的函數(shù)是一種泛函關(guān)系。

設(shè)對(duì)于任何y(x),有另一個(gè)函數(shù)J[y]與之對(duì)應(yīng),則稱J[y]為y(x)的泛函。這里的定義域,即函數(shù)集合,通常包含要求y(x)滿足的一定邊界條件,并且具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。

泛函和復(fù)合函數(shù)不同,泛函必須給出區(qū)間上整個(gè)函數(shù)y(x),才可以得到一個(gè)泛函值。簡單的說，自變量是實(shí)數(shù)的，就是實(shí)變函數(shù)；是復(fù)數(shù)的，就是復(fù)變函四哈密頓原理最小作用量原理四哈密頓原理最小作用量原理oxyAB四、哈密頓原理

最小作用量原理oxyAB四、哈密頓原理最小作用量原理哈密頓最小作用量原理課件哈密頓最小作用量原理課件哈密頓最小作用量原理課件設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)所形成的力學(xué)體系受有k個(gè)幾何約束，則這力學(xué)體系的自由度是：s=3n-k，因此，我們?nèi)绻軌蜃龅桨裺個(gè)廣義坐標(biāo)作為時(shí)間t的函數(shù)加以確定，我們也就確定了這力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)。為了尋求力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，哈密頓提出可以從具有相同端點(diǎn)，并為約束所許可的許多條可能的運(yùn)動(dòng)軌道，即s維空間曲線中，挑出一條真實(shí)軌道。為此，可以采用變分的方法來挑選這一條真實(shí)軌道，既然可以從約束所許可的許多軌道中，挑出真實(shí)軌道，當(dāng)然也就確定了力學(xué)體系沿著這條真實(shí)軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。二、哈密頓最小作用量原理設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)所形成的力學(xué)體系受有k個(gè)幾何約束，則這力學(xué)體系的自完整的、保守的力學(xué)體系在相同時(shí)間內(nèi)，由某一初位形轉(zhuǎn)移到另一已知位形的一切可能運(yùn)動(dòng)中，真實(shí)運(yùn)動(dòng)的主函數(shù)具有穩(wěn)定值，即對(duì)于真實(shí)運(yùn)動(dòng)來講，主函數(shù)的變分等于零。哈密頓原理的文字表述如下：完整的、保守的力學(xué)體系在相同時(shí)間內(nèi)，由某一初位形轉(zhuǎn)移到另一已在t1時(shí)刻到t2時(shí)刻內(nèi)，如果qj(t1)和qj(t2)對(duì)于約束所允許的各種可能的運(yùn)動(dòng)都相同，則真實(shí)運(yùn)動(dòng)的作用量必定取極小值。哈密頓最小作用量原理：在t1時(shí)刻到t2時(shí)刻的時(shí)間內(nèi)，如果所有可能的路徑有相同的始點(diǎn)qj(t1)和相同的終點(diǎn)qj(t2)，則真實(shí)發(fā)生運(yùn)動(dòng)的那條路徑的作用量必定取極小值?；騮t2t1qj(t1)qj(t2)qj路徑在相空間(qj,t)平面的投影qj(t1)到qj(t2)有許多可能的路徑，可表示為：是表示真實(shí)路徑上每一瞬間的廣義坐標(biāo)。最小作用量原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式在t1時(shí)刻到t2時(shí)刻內(nèi)，如果qj(t1)和qj(t2)對(duì)于約哈密頓最小作用量原理課件若拉格朗日函數(shù)為

用哈密頓原理可導(dǎo)出完整保守力系的拉格朗日方程為：若拉格朗日函數(shù)為用哈密頓原理可導(dǎo)出完整保守力系的拉格朗日方哈密頓最小作用量原理課件pABDh2h1irxn1n2S1S1’θθθS2pABDh2h1irxn1n2S1S1’θθθS2五利用哈密頓原理推導(dǎo)正則方程由哈密頓函數(shù)五利用哈密頓原理推導(dǎo)正則方程由哈密頓函數(shù)故：因故：由于是完整系統(tǒng)，各廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量是獨(dú)立變更的，即dqj、dpj是相互獨(dú)立的，故：哈密頓正則方程故：因故：由于是完整系統(tǒng)，各廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量是獨(dú)立變更的，結(jié)論：結(jié)論：哈密頓最小作用量原理課件哈密頓最小作用量原理課件哈密頓最小作用量原理課件例。在如圖所示的系統(tǒng)中，輪A沿水平面純滾動(dòng)，輪心A用剛度系數(shù)為k的水平彈簧連于固定墻上。不可伸長的繩子跨過定滑輪B，一端系于輪心A，另一端系一質(zhì)量為m1的物塊C。A、B二輪均可視為半徑為r、質(zhì)量為m2的勻質(zhì)圓盤，假設(shè)繩與輪B間不打滑，繩子和彈簧的質(zhì)量以及軸承處摩擦忽略不計(jì)，試求系統(tǒng)的振動(dòng)周期。CxxArkBr解：本系統(tǒng)為一完整的保守系統(tǒng)。以物塊C的平衡位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)，取x為廣義坐標(biāo)系統(tǒng)的動(dòng)能：勢能零點(diǎn)：平衡位置處，重力勢能為零，彈簧原長處，彈性勢能零點(diǎn)。平衡位置：彈簧伸長為：Dx=m1g/k例。在如圖所示的系統(tǒng)中，輪A沿水平面純滾動(dòng)，輪心A用剛度系數(shù)故當(dāng)物塊位于x處時(shí)，系統(tǒng)的勢能為：拉格朗日函數(shù)為：故：對(duì)易關(guān)系：故當(dāng)物塊位于x處時(shí)，系統(tǒng)的勢能為：拉格朗日函數(shù)為：故：對(duì)易關(guān)