定積分知識(shí)總結(jié)

..定積分知識(shí)總結(jié)一、根本概念和性質(zhì)〔1〕定義二、微積分根本公式1、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，對(duì)于任意，在區(qū)間上也連續(xù)，所以函數(shù)在上也可積.顯然對(duì)于上的每一個(gè)的取值，都有唯一對(duì)應(yīng)的定積分和對(duì)應(yīng)，因此是定義在上的函數(shù).記為，.稱叫做變上限定積分,有時(shí)又稱為變上限積分函數(shù).定理1：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，那么在上可導(dǎo)，且定理2、3：如果在區(qū)間上連續(xù)，那么它的原函數(shù)一定存在，且其中的一個(gè)原函數(shù)為.2、牛頓——萊布尼茨公式定理4〔微積分根本公式〕如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且是的任意一個(gè)原函數(shù)，那么.證由定理5.2知，是在區(qū)間的一個(gè)原函數(shù)，那么與相差一個(gè)常數(shù)C，即.又因?yàn)?，所?于是有.所以成立.為方便起見，通常把簡記為或，所以公式可改寫為三、定積分的積分法1、定積分的換元積分法定理1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并且滿足以下條件：〔1〕，且，；〔2〕在區(qū)間上單調(diào)且有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)；〔3〕當(dāng)從變到時(shí)，從單調(diào)地變到.那么有上述公式稱為定積分的換元積分公式.在應(yīng)用該公式計(jì)算定積分時(shí)需要注意以下兩點(diǎn)：=1\*GB3①從左到右應(yīng)用公式，相當(dāng)于不定積分的第二換元法.計(jì)算時(shí)，用把原積分變量換成新變量，積分限也必須由原來的積分限和相應(yīng)地?fù)Q為新變量的積分限和，而不必代回原來的變量，這與不定積分的第二換元法是完全不同的.=2\*GB3②從右到左應(yīng)用公式，相當(dāng)于不定積分的第一換元法〔即湊微分法〕.一般不用設(shè)出新的積分變量，這時(shí)，原積分的上、下限不需改變，只要求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，就可以直接應(yīng)用牛頓—萊布尼茲公式求出定積分的值.2、定積分的分部積分法設(shè)函數(shù)和在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，那么有.上述公式稱為定積分的分部積分公式.選取的方式、方法與不定積分的分部積分法完全一樣.四、定積分的應(yīng)用1、定積分應(yīng)用的微元法為了說明定積分的微元法，我們先回憶求曲邊梯形面積A的方法和步驟：(1)將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，相應(yīng)得到個(gè)小曲邊梯形，小曲邊梯形的面積記為；(2)計(jì)算的近似值，即〔其中〕；(3)求和得的近似值，即；(4)對(duì)和取極限得.下面對(duì)上述四個(gè)步驟進(jìn)展具體分析：第(1)步指明了所求量〔面積〕具有的特性：即在區(qū)間上具有可分割性和可加性.第(2)步是關(guān)鍵，這一步確定的是被積表達(dá)式的雛形.這可以從以下過程來理解：由于分割的任意性，在實(shí)際應(yīng)用中，為了簡便起見，對(duì)省略下標(biāo)，得，用表示的任一小區(qū)間，并取小區(qū)間的左端點(diǎn)為，那么的近似值就是以為底，為高的小矩形的面積〔如圖5.7陰影局部〕，即.通常稱為面積元素，記為.將(3),(4)兩步合并，即將這些面積元素在上"無限累加〞，就得到面積.即.一般說來，用定積分解決實(shí)際問題時(shí)，通常按以下步驟來進(jìn)展：〔1〕確定積分變量，并求出相應(yīng)的積分區(qū)間；〔2〕在區(qū)間上任取一個(gè)小區(qū)間，并在小區(qū)間上找出所求量的微元；〔3〕寫出所求量的積分表達(dá)式，然后計(jì)算它的值.利用定積分按上述步驟解決實(shí)際問題的方法叫做定積分的微元法.注能夠用微元法求出結(jié)果的量一般應(yīng)滿足以下兩個(gè)條件：=1\*GB3①是與變量的變化圍有關(guān)的量；=2\*GB3②對(duì)于具有可加性，即如果把區(qū)間分成假設(shè)干個(gè)局部區(qū)間，那么相應(yīng)地分成假設(shè)干個(gè)分量.2、定積分求平面圖形的面積〔1〕直角坐標(biāo)系下面積的計(jì)算(1)由曲線和直線所圍成曲邊梯形的面積的求法前面已經(jīng)介紹，此處不再表達(dá).(2)求由兩條曲線，及直線所圍成平面的面積〔如圖5.8所示〕.下面用微元法求面積.=1\*GB3①取為積分變量，.=2\*GB3②在區(qū)間上任取一小區(qū)間，該區(qū)間上小曲邊梯形的面積可以用高，底邊為的小矩形的面積近似代替，從而得面積元素.=3\*GB3③寫出積分表達(dá)式，即.=3\*GB2⑶求由兩條曲線，及直線所圍成平面圖形〔如圖5.9〕的面積.這里取為積分變量，，用類似(2)的方法可以推出：.〔2〕極坐標(biāo)系下面積的計(jì)算設(shè)曲邊扇形由極坐標(biāo)方程與射線所圍成〔如圖5.13所示〕.下面用微元法求它的面積A.以極角為積分變量，它的變化區(qū)間是，相應(yīng)的小曲邊扇形的面積近似等于半徑為，中心角為的圓扇形的面積，從而得面積微元為于是，所求曲邊扇形的面積為.3．定積分求體積(1)旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)平面圖形繞這平面的一條直線旋轉(zhuǎn)而成的立體.這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線和直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成〔如圖5.15〕.取為積分變量，它的變化區(qū)間為，在上任取一小區(qū)間，相應(yīng)薄片的體積近似于以為底面圓半徑，為高的小圓柱體的體積，從而得到體積元素為，于是，所求旋轉(zhuǎn)體體積為.(2)平行截面面積為的立體體積設(shè)一物體被垂直于某直線的平面所截的面積可求，那么該物體可用定積分求其體積.不妨設(shè)直線為軸，那么在處的截面面積是的連續(xù)函數(shù)，求該物體介于和之間的體積〔如圖5.19〕.取為積分變量，它的變化區(qū)間為，在微小區(qū)間上近似不變，即把上的立體薄片近似看作為底，為高的柱片，從而得到體積元素.于是該物體的體積為.類似地，由曲線和直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成〔如圖5.16〕，所得旋轉(zhuǎn)體的體積為.4、平面曲線的弧長分類公式直角坐標(biāo)設(shè)為光滑曲線，那么在弧段上弧長為：參數(shù)方程假設(shè)光滑曲線由參數(shù)方程給出，那么曲線弧弧長為：極坐標(biāo)假設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出，且上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么曲線弧弧長為：5、定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用分類公式變力沿直線作功假設(shè)積分變量為，變力的函數(shù)表達(dá)式為，那么變力沿直線所作的功為：水壓力假設(shè)將由曲線及直線所圍成的平面薄板鉛直放入水中，水的比重為，取軸鉛直向下，液面為軸，那么平面薄板一側(cè)所